Hur Relativa Entropi och Absolut Kontinuerliga Sannolikhetsmått Kopplas Samman

I teorin om sannolikhetsmått spelar begreppet absolut kontinuitet en central roll i förståelsen av relationerna mellan olika mått. Ett mått Q på ett mätbart rum (Ω, F) sägs vara absolut kontinuerligt med avseende på ett annat mått P, vilket skrivs som $Q \ll P$, om varje mängd $A \in F$ som har sannolikhet noll enligt P också har sannolikhet noll enligt Q. Detta betyder att när P inte "ser" en mängd (dvs. P[A] = 0), så kommer inte heller Q att "se" denna mängd (dvs. Q[A] = 0). En särskild karaktärisering av denna relation ges genom Radon-Nikodym derivatan.

För att förstå denna definition djupare, bör man också reflektera över hur denna densitetsfunktion tillåter oss att omvandla förväntningar under ett sannolikhetsmått till förväntningar under ett annat, och hur absolut kontinuitet förenklar detta samband.

Vidare ger den så kallade Lebesgue-dekompositionen oss ett sätt att dela upp ett sannolikhetsmått P i två delar: en som är absolut kontinuerlig med avseende på ett annat mått Q och en som är singular med avseende på Q. Enligt teorem B.9 kan detta skrivas som:

För att ytterligare förstå detta samband kan vi betrakta den relativa entropin mellan två sannolikhetsmått P och Q, vilket ger en uppfattning om "avståndet" mellan dessa mått. Den relativa entropin, definierad som:

ger oss en kvantifiering av hur mycket information P innehåller i förhållande till Q. Denna kvantifiering är särskilt användbar i informations- och statistikområden där vi är intresserade av att mäta skillnader mellan modeller eller mått.

De som arbetar med sannolikhetsteori och statistik bör därför vara medvetna om att förståelsen av Radon-Nikodym derivatan och den relativa entropin är grundläggande för att utveckla mer avancerade metoder för att jämföra och analysera olika sannolikhetsmodeller.

Vad är en arbitrage-möjlighet och varför är det viktigt i finansiella marknader?

Inom finansiell teori definieras en portfölj $\xi \in \mathbb{R}^{d+1}$ som en arbitrage-möjlighet om den uppfyller följande villkor: $\pi \cdot \xi \leq 0$ men $\xi \cdot S \geq 0$ P-a.s. (nästan säkert enligt sannolikhetsmåttet $P$) och $P[\xi \cdot S > 0] > 0$. En intuitiv förklaring är att en arbitrage-möjlighet är en investering som, med strikt positiv sannolikhet, ger en strikt positiv vinst utan att vara utsatt för någon nedåtrisk.

Förekomsten av arbitrage anses vara ett tecken på marknadsineffektivitet, vilket innebär att vissa tillgångar inte prissätts på ett rimligt sätt. I praktiken är sådana arbitrage-möjligheter mycket svåra att hitta. När de väl dyker upp, tenderar marknadsdeltagare att snabbt utnyttja dem, vilket leder till att priser justeras och möjligheten försvinner. Detta leder oss till en grundläggande antagande inom finansiell teori: marknader bör vara arbitragefria, vilket innebär att inga sådana möjligheter finns.

Detta leder till en viktig insikt om marknader: om det finns arbitrage, finns det ineffektivitet i prissättningen. Om marknaderna är effektiva, kommer alla tillgångar att vara korrekt prissatta enligt det underliggande sannolikhetsmåttet.

Det är också värt att påpeka att avsaknaden av arbitrage är ekvivalent med ett annat centralt begrepp inom finansiell teori, nämligen existensen av riskneutrala mått. Ett sådant mått, även kallat martingalmått, innebär att tillgångarnas priser på marknaden kan representeras som nuvarande förväntade värden av framtida kassaflöden, justerade för ränta. Riskneutrala mått innebär att marknadsdeltagarna inte är riskaverta – vilket inte innebär att de inte tar risk, utan att de inte kräver någon extra avkastning för att ta risker.

Enligt den så kallade "fundamentala teoremet för tillgångsprissättning" (FTAP) är ett marknadsmodell arbitragefri om och endast om det finns ett riskneutralt mått $P^*$, vilket är ekvivalent med det ursprungliga måttet $P$. Denna ekvivalens innebär att marknaden inte har några arbitrage-möjligheter, eftersom alla portföljer som skulle kunna ge arbitrage i ett sådant system kommer att uppfylla villkoren för ett riskneutralt mått, där alla tillgångars förväntade framtida värde exakt motsvarar deras nuvarande pris.

För att sammanfatta, avsaknaden av arbitrage innebär att marknaden är effektiv, och alla tillgångar är korrekt prissatta med hjälp av riskneutrala mått. Detta skapar en grundläggande förutsättning för prissättning och riskbedömning i moderna finansiella marknader, och är grundläggande för modeller som används för att förstå hur finansiella instrument bör prissättas och handlas.

Hur bevisar vi att nollpunkten ligger i C?

Vi antar att $C$ inte innehåller nollpunkten och ska genom en motbevisning visa att detta inte kan vara fallet. Vi använder oss av "separating hyperplane theorem" i sin grundläggande form, enligt Proposition A.5, vilket ger oss en vektor $\xi \in \mathbb{R}^d$ som uppfyller villkoren:

• $\xi \cdot x \geq 0$ för alla $x \in C$,

• $\xi \cdot x_0 > 0$ för något $x_0 \in C$.

och

Från det senare villkoret följer att $P[\xi \cdot Y > 0] > 0$. Detta ger oss en ledtråd om att vi måste kunna bevisa att $\xi \cdot Y$ nästan säkert är icke-negativ, vilket skulle stå i kontrast till vår ursprungliga antagande.

Om $E[|Y|] = \infty$, ersätter vi $P$ med ett ekvivalent mått $\tilde{P}$ för vilket $E_{\tilde{P}}[|Y|] < \infty$. Detta kan göras genom att definiera $\tilde{P}$ med en densitet som är bunden och därmed får vi ett riskneutralt mått $P^*$ som är ekvivalent med $P$, och som vi kan använda för att slutföra vårt bevis.

För att illustrera detta med ett konkret exempel, antag att $P$ är ett sannolikhetsmått på den ändliga mängden $\Omega = \{\omega_1, \ldots, \omega_N\}$ där $p_i$ är strikt positivt för varje element i mängden. Om det finns en riskig tillgång definierad genom priset $\pi = (\pi_1)$ och den slumpmässiga variabeln $S = S_1$, med distinkta värden $s_1 < \ldots < s_N$, så säger Theorem 1.7 att denna modell inte tillåter arbitrage om och endast om $N \pi (1 + r) \in \{EQ[S] \mid Q \sim P\}$. Det är också så att den riskneutrala måtten $P^*$ är lösningen på de linjära ekvationerna som relaterar till priset på den riskiga tillgången.

Endast genom att beakta den riskfria räntan som en nödvändig referenspunkt kan vi objektivt jämföra priser på olika tillgångar och därmed säkerställa att marknaden är arbitragefri. Det är också viktigt att förstå att definitionen av en arbitragefri marknad inte påverkas av valet av numéraire, eller basvaluta. Det betyder att vi kan omvandla priser till vilken positiv tillgång som helst, vilket gör att alla dessa ekvationer förblir konsistenta.

Vad innebär optimal stoppning för en köpare av amerikanska derivat?

Optimal stoppningstider är en central del i finansiella modeller för amerikanska derivat och deras prissättning, särskilt när det gäller att maximera den förväntade vinsten i en given marknad. Ett viktigt verktyg i analysen av sådana problem är Snell-enveloppen, som ger ett sätt att formulera och lösa problem med stoppningstid. Här beskriver vi de matematiska och ekonomiska grunderna för dessa problem och deras lösningar.

För att förstå problemet utgår vi från antagandet att vi har en funktion $H_t$, som representerar den diskonterade payoffen av ett amerikanskt derivat. Målet är att maximera den förväntade vinsten $E[ H_{\tau} ]$ genom att välja den optimala stoppningstiden $\tau$. I en komplett finansiell modell, där det finns en ekvivalent martingalåtgärd $P^*$, är denna stoppningstid en central fråga för att förstå prissättningen av derivatet.

Denna lösning får en särskild betydelse om vi betraktar det teoretiska underlaget för optimala stoppningstider. Teoremet 6.18 visar att Snell-enveloppen uppfyller ett väsentligt supremumkrav för de stoppade värdena, vilket gör att $U_t$ kan uttryckas som $E[ H_{\tau(t)} | F_t ]$. Med andra ord är $U_t$ det bästa möjliga betingade värdet för payoffen givet informationen till tiden $t$.

För att ytterligare förtydliga detta resultat, betonas det att det kan finnas många olika optimala stoppningstider, men den största av dessa kan beskrivas explicit. Den största optimala stoppningstiden är den första tidpunkten innan $T$ där Snell-enveloppen förlorar martingal-egenskapen. Denna stoppningstid $\tau_{\max}$ definieras som den första tiden där den förväntade förändringen $E[ U_{t+1} - U_t | F_t ] \neq 0$, vilket motsvarar att den ökande processen i Doob-dekompositionen för Snell-enveloppen inte längre är noll.

När vi betraktar en köpares stoppstrategi för amerikanska derivat, är det centralt att notera att en optimal stoppningstid inte bara handlar om att maximera payoffen från köparens synvinkel, utan också om att förstå relationen mellan köparens och säljarens värdering. För att förstå denna dynamik på ett djupare plan, måste vi också ta hänsyn till hur en perfekt hedge för derivatet kan konstrueras ur säljarens perspektiv.

Det är också viktigt att förstå att även om den amerikanska optionen kan verka mer attraktiv än den europeiska motsvarigheten – eftersom den tillåter stoppning vid vilken tidpunkt som helst före $T$ – kan skillnaderna mellan de två typerna av optioner analyseras genom att jämföra deras prissättningsmetoder och stoppningstider. Här spelar begreppen Snell-enveloppen och Doob-dekompositionen en central roll för att förstå varför en amerikansk option ofta har ett högre pris än en europeisk, eftersom den ger fler möjligheter för att maximera payoffen.