Efter att ha eliminerat ϕ̇ från H, blir systemet ett system med en frihetsgrad, vilket gör det fullständigt integrerbart. Förfall 2. När A = B, σ = 1 och ρ = 3, får vi ett annat första integrerat uttryck för Hamiltonfunktionen H2 = p1p2 + Aq1q2 + q1q2 q21 + q22, som är oberoende av och i involution med Hamiltonfunktionen. Genom att införa en transformering enligt Q1 = q1 + q2, Q2 = q1 − q2, P1 = p1, P2 = p2, kan Hamiltonfunktionen separeras, vilket resulterar i en fullständig separering i koordinater Q och P. Det innebär att systemet är helt integrerbart och separerbart i dessa nya koordinater.

En annan form av Hamiltoniansystem, som beskriver två icke-linjärt kopplade diffusionsoscillatorer, kan skrivas som H = p21 + p22 + Aq1 + Aq22 + (q1 − q2)2 + D(q1 − q2)4. Genom att införa samma transformering som tidigare separeras systemet till två delar H1 och H2. Därmed blir systemet också fullständigt integrerbart och separerbart i koordinater Q och P.

För Hénon-Heiles-oscillatorn, som kan justeras genom olika koefficienter, finns det fyra olika fall där systemet blir helt integrerbart. När C = 0 separeras Hamiltonfunktionen. Vid A = B, C/D = −1 och andra liknande betingelser, kan Hamiltonfunktionen separeras i två termer, H1 och H2, vilket gör systemet helt integrerbart i dessa specifika inställningar. Ett intressant exempel här är när C/D = −1/6, där det finns ett första integrerat uttryck som gör rörelseekvationerna separerbara i parabolisk koordinat.

Således är det uppenbart att Hamiltoniansystem kan vara fullständigt integrerbara under vissa betingelser. När koefficienterna för olika termer är specificerade på ett sätt som gör att Hamiltonfunktionen kan separeras, blir systemet förutsägbart och analyserbart. Integrerbara system är enklare att förstå eftersom de har lösningar som kan uttryckas analytiskt, och deras rörelser följer ett regelbundet mönster.

Men det finns också system som inte är fullständigt integrerbara. Ett Hamiltoniansystem med n frihetsgrader (n ≥ 2) kallas icke-integrerbart om det inte finns några andra första integraler än Hamiltonfunktionen som är oberoende av och i involution med den. Dessa system är mycket svårare att studera direkt, och i icke-linjär vetenskap undersöker man ofta effekterna av små störningar på dessa icke-integrerbara system. En sådan teori, känd som kanonisk perturbation, syftar till att approximera lösningen av ett nästan integrerbart Hamiltoniansystem som en summa av den exakta lösningen av den integrerbara delen och en liten korrigering för den icke-integrerbara delen.

Det är också intressant att notera KAM-teoremet, som behandlar små störningar i icke-integrerbara system. Enligt KAM-teoremet kommer de torus som representerar icke-resonanta lösningar i ett icke-integrerbart system fortfarande att existera, men kommer att deformeras svagt. Däremot kommer resonanta torus att förstöras av små störningar, och denna förstörelse är en grundläggande källa till kaos i icke-integrerbara Hamiltoniansystem. Detta kan ses i exempel som Hénon-Heiles-oscillatorn, där små förändringar i systemets energi kan övergå från regelbundna rörelser till kaotiska rörelser, beroende på hur systemet störs.

För att förstå dessa system är det avgörande att inse att kaotiska rörelser inte är helt slumpmässiga utan istället resultatet av att resonanszoner förstörs och systemet gradvis övergår till ett kaotiskt tillstånd. När systemets energi ökar blir det alltmer icke-integrerbart, och rörelsen går från regelbunden till kaotisk.

I samband med detta är det också värt att notera skillnaden mellan fullständigt integrerbara och delvis integrerbara system. Ett Hamiltoniansystem med n frihetsgrader (n ≥ 3) och r (1 < r < n) oberoende första integraler i involution kallas ett delvis integrerbart Hamiltoniansystem. I sådana system är det möjligt att separera det integrerbara subsystemet från det icke-integrerbara och analysera dem individuellt. Dessa system kan innehålla både regelbundna och kaotiska rörelser beroende på deras specifika egenskaper och den integrerbara delens resonans.

Det är viktigt att förstå att Hamiltoniansystem, oavsett om de är integrerbara eller icke-integrerbara, representerar grundläggande strukturer för att beskriva komplex dynamik och rörelse i många fysiska och matematiska sammanhang. Fördjupning i denna dynamik, inklusive studier av kaos och periodiska rörelser, hjälper till att förstå mycket av det som sker i system som spänner över områden som astrofysik, meteorologi och till och med ekonomiska modeller.

Hur påverkar energi och dämpning ett system med dubbelbrunnspotential?

I system med dubbelbrunnspotentialer är förståelsen för de naturliga perioderna och frekvenserna avgörande för att kunna analysera systemets dynamik under varierande energinivåer. Ett sådant system, som beskrivs med ekvationen

x¨+αx−βx3=0\ddot{x} + \alpha x - \beta x^3 = 0

representerar en typisk mekanism som reagerar på små variationer i energinivå, vilket kan ge insikter om systemets stabilitet och respons. När vi analyserar ett sådant system ur energiperspektiv ser vi att den naturliga perioden och frekvensen förändras beroende på värdet av energi λ\lambda. För exempelvis α=2\alpha = 2 och β=1\beta = 1, när λ=α24β=1\lambda = \frac{\alpha^2}{4\beta} = 1, sker ett plötsligt hopp i periodens värde, vilket reflekterar ett byte från en liten bana till en mycket större. Detta sker därför att systemet övergår från en mindre svängning i en viss del av fasplanet till en mycket större svängning som sträcker sig över hela planet.

För λ<α24β=1\lambda < \frac{\alpha^2}{4\beta} = 1 är termen −αx-\alpha x dominerande, vilket betyder att systemets styvhet minskar när energinivån ökar. Detta leder till en längre period och en lägre frekvens. För λ>α24β=1\lambda > \frac{\alpha^2}{4\beta} = 1 blir istället termen βx3\beta x^3 dominerande, vilket återspeglar ett förstärkt styvhetsbeteende. Ju högre energinivå, desto kortare blir perioden och desto högre blir den naturliga frekvensen. Dessa variationer i frekvens och period är centrala för att förstå hur systemet kommer att bete sig vid olika energinivåer och i vilka situationer systemet kan förändra sitt dynamiska tillstånd.

Vid λ→0\lambda \to 0, när systemet närmar sig en av potentialens yttersta gränser, tenderar systemet att närma sig ett jämviktsläge, där det antingen stabiliseras vid αβ\frac{\alpha}{\beta} eller vid −αβ-\frac{\alpha}{\beta}. Vid denna gräns kan systemet approximeras som en linjär oscillator som rör sig kring detta jämviktsläge, och systemets period tenderar att närma sig en begränsning som beskrivs av formeln:

T=2παT = \frac{2\pi}{\sqrt{\alpha}}

För att förstå hur ett system med dubbelbrunnspotential beter sig under stokastiska processer krävs en vidare analys som innefattar stokastiska genomsnitt och olika typer av excitationer. Ett sådant system, som beskrivet med ekvationen

X¨+h(X,X˙)−αX+βX3=∑i=1ngi(X,X˙)ξi(t)\ddot{X} + h(X, \dot{X}) - \alpha X + \beta X^3 = \sum_{i=1}^n g_i(X, \dot{X}) \xi_i(t)

kan ersättas av två förstagradsekvationer, vilket underlättar studiet av energiprocessen Λ(t)\Lambda(t), som är långsamt varierande och kan approximeras som en Markov-diffusionsprocess. Detta gör att vi kan använda stokastiska differentialekvationer för att modellera systemets utveckling under påverkan av externa störningar.

Ett viktigt begrepp här är de genomsnittliga koefficienterna m(Λ)m(\Lambda) och σ(Λ)\sigma(\Lambda), som styr systemets energiprocess och kan beräknas genom att analysera korrelationsfunktionerna mellan excitationerna. För lågpassfilterade stokastiska processer kan dessa koefficienter beräknas explicit och ger värdefulla insikter om hur systemet svarar på svaga externa excitationer.

För att verkligen förstå hur energi och dämpning påverkar systemet i praktiken är det nödvändigt att också överväga de särskilda gränserna för Λ\Lambda. När systemet rör sig mot vänstergränsen (Λ→0\Lambda \to 0) tenderar systemet att stabiliseras, medan det närmar sig högergränsen (Λ→∞\Lambda \to \infty) upplever en mer komplex dynamik som kan beskrivas genom asimptotiska beteenden och genomsnittliga övergångar mellan de olika potentialbrunnarna.

Den stationära sannolikhetsdensiteten för energi, p(Λ)p(\Lambda), ger en ytterligare nyckel för att förstå systemets långsiktiga beteende, och genom att använda Monte Carlo-simuleringar kan vi verifiera våra teoretiska resultat. Detta gör det möjligt att förutse övergången mellan de två brunnarna när systemet överskrider en kritisk energinivå.

För att tillämpa denna kunskap är det avgörande att förstå hur systemets dynamik förändras beroende på både den interna styvheten (α\alpha, β\beta) och de externa excitationerna (ξi(t)\xi_i(t)), samt hur dessa interagerar med systemets energinivå λ\lambda. Vidare kan den metod som används för att beräkna den stokastiska genomsnittliga energinivån vara användbar för att förutsäga hur systemet kommer att reagera på svaga störningar och externa påverkningar.

Hur påverkar Poissonvit brus Hamiltoniansystem?

Det är uppenbart att effekten av Gaussiskt vitt brus på ett Hamiltoniansystem är mer signifikant än effekten av Poissonvit brus, när brusintensiteten är densamma. Denna skillnad blir tydligare när man jämför systemets stationära sannolikhetsdensitetsfunktion (PDF) under olika brusförhållanden. Figur 6.4 illustrerar hur den genomsnittliga ankomsttiden för Poissonvitt brus påverkar den stationära PDF:n för Hamiltonianen i systemet, där alla andra parametrar hålls konstant, precis som i fallet med endast Gaussiskt vitt brus. Här kan vi observera att ju högre den genomsnittliga ankomstfrekvensen λi\lambda_i för Poissonvitt brus är, desto närmare kommer den stationära PDF:n för det kombinerade bruset att likna PDF:n för endast Gaussiskt vitt brus.

Detta bekräftar att när den genomsnittliga ankomstfrekvensen λ\lambda närmar sig oändligheten, närmar sig Poissonvitt brus Gaussiskt vitt brus under förutsättningen att den totala brusintensiteten är konstant. Denna observation belyser den grundläggande skillnaden mellan Poissonvitt och Gaussiskt vitt brus i dynamiska system, där Poissonvitt brus förlorar sina specifika egenskaper och i praktiken beter sig som Gaussiskt vitt brus när ankomstfrekvensen blir mycket hög.

När vi nu fokuserar på effekterna av Poissonvitt brus kan vi separera det från Gaussiskt vitt brus, som framgår av de medelvärdesbildande ekvationerna för det quasi-icke-integrerbara Hamiltoniansystemet under påverkan av Poissonvitt brus. Genom att eliminera termer associerade med Gaussiskt vitt brus, kan vi härleda en medelvärdesmodell för Hamiltoniansystemet som endast påverkas av Poissonvitt brus. Enligt denna modell, baserad på de stokastiska differentialekvationerna (SDE), kan det quasi-icke-integrerbara Hamiltoniansystemet under påverkan av Poissonvitt brus beskrivas med hjälp av en ny uppsättning ekvationer.

Den medelvärdesbildade SDE:n för Hamiltoniansystemet under Poissonvitt brus påverkan (uttryckt genom ekvationerna 6.64 och 6.67) återspeglar systemets dynamik i närvaro av Poissonprocesser. Här beskrivs hur Hamiltonianen förändras i lång tidsperspektiv som en svagt varierande process, medan övriga variabler, såsom de allmänna förskjutningarna och momenta, förändras snabbt. För att kunna härleda en slutgiltig medelvärdesmodell görs en förenkling av ekvationerna genom att identifiera de dominerande termerna och förkasta högre ordningens termer.

Det är också viktigt att notera att den trunki-erade medelvärdesekvationen som härleds (6.70) är en avgörande komponent för att beskriva den långsiktiga fördelningen av Hamiltonianen. Den använder den så kallade Fokker-Planck-ekvationen (FPK), som är ett kraftfullt verktyg för att beskriva sannolikhetsfördelningen i system som påverkas av stokastiska processer.

Vid analys av dessa processer måste man beakta både de tidsmässiga och rumsliga genomsnittsoperationerna. Den exakta lösningen på dessa modeller kan hjälpa till att bättre förstå det långsiktiga beteendet i system som påverkas av olika typer av vitt brus. Detta ger värdefulla insikter för tillämpningar inom fysik och teknik, där man behöver modellera komplexa dynamiska system som är utsatta för stokastiska störningar.

För att korrekt förstå och använda de stokastiska medelvärdesmetoderna, är det avgörande att ha en grundläggande förståelse för Poissonprocesser och deras beteende under olika förhållanden. Specifikt innebär det att förstå hur variabler som brusintensitet och ankomstfrekvens påverkar systemets långsiktiga stabilitet och hur man effektivt kan härleda modeller som beskriver dessa processer på en praktisk nivå.

Vilka är de största utmaningarna för utbildningen i framtiden?
Hur långsamkokaren förvandlar dina matlagningserfarenheter
Hur kan moduler och plattformar användas för att optimera produktutveckling?