Vad kännetecknar kontinuerliga multilineära avbildningar och deras normer?

Givet vektorrum $E_1, \ldots, E_m$ och $F$ samt en multilineär avbildning $\varphi : E_1 \times \cdots \times E_m \to F$ definieras normerna för dessa avbildningar genom att undersöka hur $\varphi$ agerar på element i varje rum. Genom att normalisera varje insatsvektor $y_j$ till enhetsvektorer $x_j = y_j / \|y_j\|$ får vi ett inslag som tillåter oss att karakterisera $\varphi$ via en konstant $\alpha$, så att

Denna konstruktion är fundamentalt för att definiera normer på mängden av multilineära kartor.

Mängden $L(E_1, \ldots, E_m; F)$ av kontinuerliga multilineära kartor är en vektorrumssubdelmängd av $C(E_1 \times \cdots \times E_m, F)$ och kan utrustas med normen

vilket gör $L(E_1, \ldots, E_m; F)$ till en Banachrymd.

En fundamentalt viktig egenskap är isometrin mellan $L(E_1, \ldots, E_m; F)$ och successiva rum av linjära avbildningar, t.ex. $L(E_1, L(E_2, F))$ vid $m=2$. Denna isomorfism bekräftar att den naturligt utvidgade normen från linjära operatorer till multilineära kartor bevarar distanser och topologiska egenskaper. Konstruktionen bygger på att för varje $T \in L(E_1, L(E_2, F))$ definieras en motsvarande bilinjär funktion $\varphi_T(x_1, x_2) = (Tx_1)(x_2)$, vilken uppfyller normbegränsningar som speglar isometrin.

Multilineära kartor är också kontinuerligt deriverbara i sin natur. Derivatan i en punkt kan uttryckas som summan av (m-1)-linjära funktioner, där varje partiell derivata motsvarar att ersätta ett insatsargument med ett variationsled. Detta ger en struktur som underlättar beräkningar och tillämpningar inom flervariabelanalys, speciellt då sammansatta funktioner med multilineära inslag studeras.

Denna teoretiska ram är grunden för att förstå och arbeta med mer komplexa strukturer inom funktionalanalys, multilineär algebra och differentialkalkyl i flera variabler.

För att läsa och tillämpa denna teori korrekt bör läsaren också inse vikten av normernas definition och deras samband med kontinuitet, samt förstå hur isomorfierna mellan olika rum av multilineära kartor bevarar strukturer. Att behärska sambandet mellan multilinearitet och differentierbarhet är nödvändigt för att kunna analysera mer avancerade funktioner och operatorer. Dessutom är förståelsen av symmetriska och antisymmetriska multilineära kartor central för att utforska tensorprodukter, determinanter och deras roll inom linjär algebra och analys.

Hur manifolder kan beskrivas genom lokala koordinater och kartor i Rn

Om M är en m-dimensionell Cq-undermångfald i Rn, så existerar det alltid en lokal parametrisering av M runt varje punkt p ∈ M. Detta innebär att M kan beskrivas i små, öppna områden i termer av Rm, med hjälp av så kallade lokala kartor. I denna sammanhang är det viktigt att förstå både den topologiska och geometriska betydelsen av dessa kartor, samt hur de används för att beskriva komplexa geometriska objekt.

En Cq-mångfald M är en undergrupp av Rn som är lokalt homeomorf med ett öppet delmängd i Rm, det vill säga, i små områden ser M ut som Rm. Detta framgår tydligt genom begreppet av en Cq-chart, där varje sådan chart är en hemomorfism mellan ett öppet område i M och ett öppet område i Rm. För varje punkt p i M existerar således en karta ϕ, där det öppna området U i M omges av ett motsvarande område i Rm, och ϕ är en bijektiv, kontinuerlig avbildning som bevarar de geometriska egenskaperna hos M.

En atlas för en mångfald är en samling av sådana kartor, som täcker hela mångfalden. För varje punkt p i M kan man hitta en karta som beskriver ett lokalt öppet område runt p, och genom att kombinera dessa lokala kartor kan man ge en global beskrivning av hela mångfalden. Det är viktigt att notera att om M är kompakt, kommer denna atlas att vara ändlig, det vill säga, det finns endast ett ändligt antal kartor som behövs för att täcka hela M.

När man arbetar med lokala kartor är det nödvändigt att förstå hur dessa kartor relaterar till varandra. När man rör sig mellan två olika kartor på M, måste man kunna "ändra" från en karta till en annan utan att förlora information om den geometriska strukturen. Detta görs genom övergångsfunktioner, som definieras som sammansättningar av inverserna till kartorna. Övergångsfunktionerna anger hur en karta kan "sys ihop" med en annan, och för att dessa ska vara väldefinierade krävs att dessa övergångsfunktioner är Cq-differentiabla.

En viktig aspekt som man måste förstå är att den geometriska betydelsen av en kurva eller yta i en mångfald är oberoende av vilken specifik karta som används för att beskriva den. Kartorna ger bara ett sätt att representera den lokala strukturen på en specifik plats, men den verkliga geometrin hos M påverkas inte av valet av kartor. När man exempelvis beräknar egenskaper hos en yta i en mångfald, är det viktigt att välja en karta som gör beräkningarna enklare. Men när man rör sig bort från en karta till en annan, kan det bli nödvändigt att använda övergångsfunktioner för att fortsätta arbeta med den nya kartans parametrisering.

Det är också viktigt att förstå att lokala parametriseringar av en mångfald kan beskriva den på olika sätt beroende på om mångfalden är inbäddad i ett omgivande utrymme som Rn eller om den är en abstrakt, icke-inbäddad mångfald. För inbäddade mångfalder kan man alltid använda en Cq-embeddning, som är en karta som avbildar en öppen mängd i Rm till en undergrupp av Rn, och den lokala strukturen kan beskrivas genom sådana kartor.

En särskild typ av exempel på mångfalder är sfärerna, som ofta används för att illustrera begreppen av kartor och övergångsfunktioner. Till exempel har S^2, en tvådimensionell sfär, en atlas som består av exakt två kartor. Den ena kartan kan definieras som en stereografisk projektion från en delmängd av sfären, medan den andra kartan definieras som en projektion från en annan del. Denna typ av exempel visar på vikten av att förstå kartornas struktur och hur de kan användas för att beskriva mångfalder i ett globalt sammanhang.