Hur kan hysteretiska krafter ekvivaleras i kvasi-integrerbara Hamiltonska system?

I analysen av kvasi-integrerbara Hamiltonska system med hysteretiska krafter är en central metod att ersätta de komplexa hysteretiska återställande krafterna med motsvarande ekvivalenta krafter som består av en kombination av restaurerings- och dämpningskrafter. Den första ekvivalensmetoden bygger på att beskriva systemets lösningar som slumpmässiga periodiska rörelser, där varje frihetsgrad har en egen amplitud och frekvens som är beroende av energin i systemet. Den hysteretiska kraften kan då skrivas som en linjär kombination av en återställande kraft och en dämpningskraft, vars parametrar bestäms genom integrering över en period av rörelsen.

För bilinjära hysteretiska krafter kan integralerna beräknas explicit, och funktionerna för motsvarande styvhet och dämpning uttrycks som styckvis definierade funktioner av amplituden. För mer komplexa hysteretiska modeller, såsom Bouc-Wen, Duhem eller Preisach-modeller, utförs liknande integreringar med hjälp av de specifika uttryck som beskriver deras kraft–förskjutningsrelationer. Resultatet är ekvivalenta system som är fria från hysteretiska krafter, men som istället innehåller energi- och amplitudberoende styvheter och dämpningar.

Den andra metoden utgår från hysteretiska loopars stigande och sjunkande grenar och använder områdena under kurvorna som uttryck för potentiell energi och energiförlust i systemet. Genom att anta antisymmetri i hysteretiska loopar och beräkna energi som funktion av amplitud och residualförskjutning, kan ett ekvivalent system definieras där återställande kraft motsvaras av gradienten av potentiell energi, och dämpningskraft uttrycks via ett visköst dämpningskoefficient relaterat till energiförlusten per cykel. Detta gör det möjligt att beskriva komplexa hysteretiska egenskaper med hjälp av energibaserade parametrar.

Vidare möjliggör dessa ekvivalensmetoder att tillämpa stokastisk averaging för att analysera systemets respons under olika typer av stokastiska excitationer, såsom Gaussiskt vitt brus eller Poisson-stötar. Det är viktigt att beakta eventuella korrektioner som uppstår vid modellering av dessa brusprocesser, exempelvis Wong-Zakai-korrektioner. Således kan man effektivt reducera komplexa icke-linjära stokastiska system till enklare ekvivalenta modeller som fortfarande bevarar den fundamentala dynamiken och energiflödet i systemet.

Det är avgörande att förstå att hysteretiska krafter inte bara introducerar förlust av energi utan också påverkar systemets dynamiska beteende på ett icke-trivialt sätt, där både styvhet och dämpning blir amplitud- och frekvensberoende. Detta innebär att linjära approximationer ofta är otillräckliga och att en noggrann ekvivalens kräver integrerade beräkningar över hela rörelsecykeln. Läsaren bör även beakta att hysteresis ofta leder till minneffekter, vilka kan ge upphov till komplexa transient- och steady-state-responser, och att dessa fenomen måste hanteras med både teoretiska och numeriska metoder för att få full förståelse.

Ett ytterligare viktigt perspektiv är att denna ekvivalens gör det möjligt att behandla hysteretiska system inom ramen för Hamiltonsk mekanik och stokastiska differentialekvationer, vilket öppnar för analytiska och numeriska lösningar med kraftfulla verktyg från modern matematisk fysik. Det framhäver också betydelsen av att korrekt modellera den hysteretiska energiförlusten som en form av ekvivalent visköst dämpning, vilket förenklar analys och kontroll av sådana system.

Hur påverkar stokastiska excitationer elkraftsystem?

Vid modelleringen av generatorn används en andra ordningens svängningsekvation, som grundas på flera antaganden: den inre spänningen E′ hålls konstant, den transienta saliens-effekten försummas och den mekaniska effekten Pm är konstant. Det deterministiska fallet beskriver rörelsen hos rotorn enligt ekvationen $M \frac{d^2\delta}{dt^2} + D \frac{d\delta}{dt} = P_m - P_e$, där δ representerar rotorvinkeln, $P_m$ är den mekaniska effekten och $P_e$ är den elektromagnetiska effekten. Vid frånvaro av elektrisk resistans och under antagandet att E′ är konstant kan $P_{\text{max}}$ uttryckas som $P_{\text{max}} = \frac{U}{X}$, där U är nätets spänning och X är systemets totala reaktans.

För att förenkla analysen av ett flerfasmaskinsystem med stokastiska excitationer görs flera antaganden. För det första måste det finnas en referensmaskin (t.ex. ett oändligt bussystem) för att systemets rörelseekvationer inte ska bli singulära. Om inget oändligt bussystem finns, måste en referensmaskin anges, och varje generator får sin egen ekvation i relation till denna referens. Vidare antas att E′ är konstant, att de transienta saliens-effekterna kan försummas, och att den mekaniska effekten Pm är konstant.

De stokastiska excitationerna för varje generator i ett flerfasmaskinsystem beskrivs som:

För att ytterligare förenkla analysen betraktas systemet som ett quasi-Hamiltoniansystem, där den totala energin i systemet kan beskrivas genom en Hamiltonfunktion. Denna funktion definieras som en summa av den kinetiska energin hos alla rotorer, den potentiella energin i varje rotor och den magnetiska fältenergin i alla systemets grenar. De partialderiverade av Hamiltonfunktionen i relation till tillståndsvariablerna ger uttryck för de dynamiska egenskaperna hos systemet.

Med hjälp av stokastisk averaging-teori kan de stokastiska differentialekvationerna för detta quasi-Hamiltoniansystem skrivas om i en förenklad form:

En sådan modell för ett flerfasmaskinsystem under stokastiska excitationer gör det möjligt att analysera och förutsäga systemets beteende under realistiska förhållanden, där störningar från externa källor inte kan ignoreras. Detta är särskilt viktigt när det gäller att förstå hur nya teknologier och förändringar i energikällorna påverkar stabiliteten och driftsäkerheten hos kraftsystemen.

Den djupare förståelsen av denna dynamik är nödvändig för att designa mer robusta och effektiva elkraftsystem som kan hantera de osäkerheter som kommer med nya och ofta fluktuerande energikällor. En korrekt modellering av stokastiska excitationer hjälper också till att förutsäga systemets respons på plötsliga förändringar, vilket är avgörande för att säkerställa att kraftsystemet förblir stabilt och pålitligt under varierande driftförhållanden.