Hur bevaras invarians i svetsade grafer under olika omformningar?

Invarians under ändring av kanternas ordning vid ett trivalent hörn i en svetsad graf hanteras elegant med hjälp av tre fundamentala operationer: push, expansion och kontraktion. Utgångspunkten är att varje graf kan antas vara uni-trivalent genom upprepade expansioner och kontraktioner. Det innebär att varje vertex har högst tre incidenta kanter, vilket förenklar analysen av lokala förändringar. Ett särskilt intressant fall är när en trädstruktur $T$ måste "flyttas ner" genom att reversera den cykliska ordningen vid ett trivalent hörn. Genom push- och kontraktionsoperationer reduceras $T$ först till en linjär graf $T_L$, markerad med en w-etikett. Därefter pressas alla dekorationer nedåt tills vertikala kanter kan kontraheras, vilket möjliggör en omvändning av ordningen med bibehållen topologisk ekvivalens.

Vidare undersöks invarians under Reidemeister-move R1. På nivån av den associerade svetsade stränglänken ξSL kan detta leda till en eller två nya pilar beroende på om den aktuella kanten är en extra kant eller inte. Pilarna, med huvuden och svansar, separeras av sekvenser av andra svansar och huvuden. Då sammansättningen av de associerade orden är trivial i den fria gruppen, kan Lemma 18.5.1 användas för att dra svansen intill huvudet. Detta möjliggör eliminering av pilen genom en R1-transformation.

Vid övergång till svetsade länkar, snarare än stränglänkar, introduceras ytterligare komplexitet. Extra kanter kontraheras för att erhålla en cyklisk $w$-graf, men denna har ingen kanonisk orientering. Detta påverkar det tredje steget i konstruktionen av ξL, där man måste välja en godtycklig orientering för varje cirkelkomponent. För att lösa detta introduceras Global Reversal-operationen, som identifierar två Gaussdiagram som skiljer sig endast genom denna orienteringsval. Samma orienteringsval påverkar även det första steget i algoritmen, där varje vertex $v$ i en $w$-graf projiceras till en linjär version $v_L$. Denna motsvarar en bunt av svansar i det slutliga Gaussdiagrammet. Tack vare Lemma 18.5.1 kan man visa att resultatet är ekvivalent oavsett ursprunglig orientering, vilket bevisar sats 18.2.9.

Push- och split-moves kan härledas direkt ur C-, OR- och S-moves. Genom att använda en variant av S-moven, där kanten pekar mot det hörn där transformationen sker, kan man iterativt generera push-moven. Denna operation påverkar dekorationens prefix, som vänds och adderas i slutet. I kombination med en C-move kan denna variant också användas för att splittra en kantdekoration, vilket ger split-moven. Dessa förenklingar av lokala grafförändringar spelar en central roll för den algebraiska hanteringen av svetsade objekt.

En särskild version av ϒ-moven, där $w = 1$ och $η = -ε$, kan härledas från standard-Reidemeister-moves (R1, R2, R3) i kombination med TC-moves. Här skapas en symmetrisk konfiguration genom att infoga två självpilar via R1, omorganisera med R3 och TC, och sedan eliminera två pilar via R2. Detta är den enda kända versionen av ϒ-moven som är en konsekvens av de vanliga svetsade operationerna.

Det är avgörande för läsaren att förstå att dessa operationer och deras kombinationer inte enba

Vad var Theaetetus' bidrag till teorin om irrationella tal och incommensurabiliteter?

I texten som följde här beskrivs översättningar och tolkningar av detta avsnitt av flera framstående matematikhistoriker, såsom van der Waerden, Knorr och Burnyeat. Deras översättningar reflekterar en rad olika synsätt på vad som egentligen händer i Platon’s originaltext, där de försöker fånga essensen av Theaetetus’ teorier om incommensurabilitet. Oavsett vilken översättning man betraktar, framgår en gemensam uppfattning: Theaetetus’ arbete markerar en övergång från en rent geometrisk syn på rationella tal till en mer algebraisk och aritmetisk förståelse.

Van der Waerden och Knorr, till exempel, betonar att Theaetetus genom att arbeta med diagram försöker visa att vissa kvadrater (som de med områden tre och fem kvadratfot) inte kan ha en gemensam längd. I sin tur leder detta till insikten att det finns ett oändligt antal sådana irrationella relationer, något som Theaetetus och hans följeslagare försöker kategorisera under ett gemensamt begrepp. Detta betonar den upptäckt som ofta tillskrivs Theaetetus, nämligen att vissa magnituder (i det här fallet kvadrater) inte går att jämföra med enhetens längd på ett rationellt sätt.

Knorr, å andra sidan, utvecklar en mer detaljerad beskrivning av metoden bakom beviset. Enligt honom kan Theaetetus ha använt sig av ett indirekt bevis där han antog att två linjer, som producerar kvadrater med områden n och 1, var kommensurabla. Genom att anta detta kom han till en motsägelse: att n måste vara ett kvadrattal för att förhållandet mellan linjerna ska vara rationellt. Detta leder till slutsatsen att förhållandet mellan linjer som producerar irrationella kvadrater inte kan vara rationellt, och därmed är linjerna incommensurabla.

Burnyeat, en annan ledande scholar, ger en mer neutral tolkning av metoden som användes av Theaetetus. Han påpekar att även om de flesta historiker har accepterat en aritmetisk tolkning av Theaetetus’ arbete, finns det inget i Platons text som direkt beskriver vilken metod som faktiskt användes av Theaetetus. Enligt Burnyeat saknar Platons redogörelse för den metod som användes, vilket leder honom till att förkasta de tidigare föreslagna rekonstruktionerna. Detta påpekande öppnar upp för en viktig diskussion om tolkningen av gamla matematiska texter och om hur mycket av de matematiska metoderna som faktiskt kan rekonstrueras från Platons dialog.

Det är också av vikt att förstå att även om bevisen som Theaetetus presenterade idag kan tyckas enkla eller självklara, så var hans arbete ett enormt framsteg för sin tid. Hans metoder och teorier utmanade de etablerade idéerna om tal och geometri och lade grunden för vidare utveckling inom både matematik och filosofi.