Hur matematisk fysik och fysikens verklighet relaterar till varandra i relativitetsteorin och kvantteorin

Weyls arbete om gaugesymmetri framstår som ett tydligt exempel på hur fysikens begrepp kan utvecklas och förfinas genom ren matematik, vilket gör det möjligt att separera matematiska konstruktioner från de fysiska fenomen som de ursprungligen syftade till att beskriva. Detta synsätt är av fundamental betydelse både i generaliserad relativitetsteori (GR) och kvantteori (QT), där de matematiska verktygen inte bara används för att beskriva redan existerande fysiska teorier, utan också för att skapa nya begrepp och lösa problem som tidigare var otillgängliga för klassisk fysik.

Gravitationsteorin, som Newton först beskrev, visade sig vara en approximation, korrekt inom vissa gränser men felaktig på grund av bristande förmåga att förutsäga exempelvis Merkurius rörelse. Albert Einsteins allmänna relativitetsteori byggde vidare på denna tradition, men bröt dramatiskt med många intuitiva begrepp genom att introducera ett fyrdimensionellt rumtidsperspektiv, där geometri spelar en fundamental roll i att beskriva gravitationens verkan. Det var inte längre möjligt att intuitivt förstå begrepp som hastighetens additivitet, en aspekt som specialrelativitetsteorin visade på. Den relativistiska hastighetsadditionformeln, som är långt bortom människans intuitiva förmåga att uppfatta, visar på hur relativitetsteorin kräver matematiska begrepp som inte kan återskapas i våra dagliga erfarenheter av rörelse.

Det är också viktigt att förstå att medan relativitetsteorin bygger på en matematisk representation av verkligheten – en representation som är objektiv och realistisk i sin karaktär – innebär detta inte att den fysiska världen som den beskrivs av relativitetsteorin nödvändigtvis är omedelbart tillgänglig för vårt fenomenala sinne. Den matematiska representationen av rumtiden som Hermann Minkowski presenterade för första gången 1908 var inte en del av Einsteins ursprungliga teori om specialrelativitet, men det visade sig vara en nödvändig utveckling för att förstå och beskriva den allmänna relativitetsteorin.

Allmän relativitet är en kausal teori, vilket betyder att den förutsäger exakt vad som kommer att hända under givna omständigheter. Causalitet i detta sammanhang innebär den ontologiska strukturen i den fysiska världen – hur systemens tillstånd påverkar varandra över tid. Men detta kausala förhållande, där matematiska strukturer som Riemann-geometri och Lorentz-transformationer spelar en central roll, gör det samtidigt klart att dessa teorier inte är intuitiva i den bemärkelsen att vi kan skapa en mental bild av dem.

En viktig aspekt som ofta förbises är att medan dessa teorier kanske utmanar vår dagliga förståelse av världen, så är de ändå deterministiska i sina förutsägelser. Detta betyder att, trots att våra intuitiva begrepp om rörelse och tid är otillräckliga för att fullt förstå relativitetsteorins resultat, är teorin ändå exakt och förutsägbar. Det är den matematiska rigorositeten som gör det möjligt att förutsäga fysikens gång med extrem precision.

Det är också värt att notera att även om relativitetsteorin och kvantteorin är fundamentalt olika i sina respektive användningar av matematik och deras syn på fysikalisk verklighet, så delar de en gemensam ambition att beskriva världen på de mest exakta och matematiskt eleganta sätten. Relativitetsteorin kräver till exempel en mer komplex geometrisk förståelse än vad som var möjligt med Newtons mekanik, men samtidigt är den byggd på den matematiska fysikens grundvalar, där de fysiska begreppen är strikt definierade genom deras matematiska uttryck.

På samma sätt innebär kvantteorin inte att vi måste förlora vårt realistiska perspektiv, utan snarare att vi måste erkänna att de fysiska begreppen som vi en gång tog för givna, som partiklar eller objekt, inte längre kan förstås på samma sätt i en värld där sannolikheter och diskontinuiteter spelar en central roll. Det innebär att vi måste utveckla nya matematiska verktyg och nya sätt att tänka om fysikens fundament, något som teorier som QFT och kvantmekanik har gjort möjligt.

Hur Theaetetus teori om proportioner och linjers förhållanden kan förstås genom antiphairesis

Theaetetus’ teori om proportioner av magnituder har haft en varaktig påverkan på hur vi förstår relationer mellan olika geometriska objekt. Hans sätt att uttrycka proportioner mellan linjer genom begreppet antiphairesis ger oss ett kraftfullt verktyg för att förstå och jämföra linjers förhållanden i en mer exakt och dynamisk form. Begreppet antiphairesis är centralt i teorin, och det tillåter oss att tänka på proportioner inte bara som statiska jämförelser utan också som processer som kan vara periodiska eller ändligt avgränsade.

I sin grundform betyder antiphairesis, eller de aritmetiska operationerna som relaterar två linjer a och b genom deras quotients, att den aritmetiska relationen mellan dessa linjer kan reduceras till en formel där varje komponent kan studeras i detalj. Om vi till exempel definierar Anth(a, b) som den antiphairesis som gör att vi kan uttrycka förhållandet mellan linjerna a och b, kommer vi att se att detta förhållande kan vara både periodiskt eller ändligt beroende på sekvensen av quotients som uppstår i processen.

Vidare leder denna förståelse till en annan viktig aspekt, där linjer som a/b och c/d kan vara likvärdiga i Theaeteteans mening om deras respektive antiphairesis är lika, vilket innebär att Anth(a, b) = Anth(c, d). Detta kan ge oss en starkare och mer nyanserad förståelse av proportioner än den traditionella synen på proportioner som en enkel relation mellan två kvantiteter.

Proposition 24.10.2.5 går vidare och behandlar hur linjer som a/b och a/c kan vara lika om deras antiphairesis är identiska. Detta ger en möjlighet att dra slutsatser om linjers relationer baserat på den princip som säger att om antiphairesis mellan linjerna a och b är densamma som mellan linjerna a och c, så måste b och c vara lika.

Förutom dessa direkta resultat har Theaetetus’ teori också viktiga konsekvenser för hur vi ser på begreppet proportion på en mer abstrakt nivå. Den gör det möjligt att tänka på proportioner som mer än bara ett statiskt matematiskt förhållande mellan två storheter, utan som dynamiska processer som kan vara föremål för förändringar över tid eller beroende på andra faktorer. Genom att studera antiphairesis får vi en metod för att modellera dessa förändringar på ett mycket mer detaljerat sätt än vad som tidigare var möjligt.

Slutligen, när vi arbetar med Theaetetus’ teori och särskilt med hans definition av proportioner, är det viktigt att förstå att den inte bara handlar om att finna kvantitativa samband mellan objekt, utan också om att förstå den underliggande strukturen av dessa relationer. Genom att använda begreppet antiphairesis kan vi få en djupare insikt i hur dessa relationer är uppbyggda och varför de fungerar på det sätt de gör. Det är en teori som inte bara handlar om att göra beräkningar utan också om att förstå de fundamentala principerna bakom matematiska och geometriska relationer.

Hur Smale använde trick för inmersioner

Om jag skulle göra om detta idag, skulle jag föredra att använda Eliashbergs och Mishenkos holonoma approximationsteorem, men det existerade inte då. Jag minns också att en dag, för att ge studenterna en paus efter att vi slitit oss igenom differentialrelationer i högre jetrum, sa jag till dem: "Låt oss göra något lättare och roligare idag. Jag ska ge er ett riktigt snabbt bevis på Poincarés förmodan i högre dimensioner, något helt annat än h-cobordismteoremet, och vi ska se hur höga dimensioner vi faktiskt kommer till." Så vi gjorde snabbt något mycket grundläggande för att omfatta, och introducerade all nödvändig bakgrund under vägen. Jag hade inte förberett något på förhand, och vi kom fram till något som liknade den generaliserade Poincaré-förmodan i dimensioner högre än nio. Denna sista kurs för mina doktorander vid Orsay blev en stor framgång. De andra åren brukade jag ha tre eller fyra studenter eller deltagare, men nu var de mer än trettio. Och de gillade det; jag fick till och med stora applåder i slutet. De flesta av mina studenter var briljanta unga människor från École Normale, och flera av dem blev senare framstående matematiker. Men en student var annorlunda. Han var inte bara lite äldre än de andra, han var en engelsk affärsman med sitt eget lilla mjukvaruföretag i London, som studerade matematik för nöjes skull. Jag träffade honom flera gånger efteråt i Paris, London eller New York. En mycket trevlig person, verkligen, och vi förblev vänner.

Detta matematiska skämt inträffade någon gång mot slutet av februari 2001, och jag tillbringade en stor del av den våren med att försöka bevisa lemma. Under ett besök i Trento, där Tognoli hade bjudit in mig för att hålla några föreläsningar, tänkte jag att jag kanske hade en idé för beviset, men jag var fortfarande ganska osäker på det. Jag kanske ska lägga till här, som en parentes, att i Trento, staden med det motreformatoriska rådet på 1500-talet, finns också ett väldigt fint universitet, och att Levico, platsen jag nämnde tidigare, är ett vackert semesterresmål nära Trento. Hela den delen av världen är som ett sagoland, med vackra berg, sjöar, slott och rika vingårdar.

Jag känner att det är dags för en annan lång parentes. Redan många år innan jag skulle gå i pension var jag mycket upprörd över detta. Jag kände att från pensionen till graven är det bara ett litet steg; inte för att jag är rädd för den graven, och som ni vet tror jag varken på Gud eller livet efter döden. Men jag hatade tanken på pensionering. Och så började jag be om hjälp, om andra positioner för senare, utomlands, där detta inte längre var möjligt; jag var vid den tiden 69 år och det var det. Dave, som fortfarande var på Caltech, gick till universitetsrektorn, med OK från matematikavdelningen, och berättade för honom att han ville att jag skulle anställas som professor. Men rektorn sa nej på grund av min ålder. Då fick Dave en annan briljant idé, han ordnade en mycket fin NSF-stipendie för mig, som gjorde att jag, under flera år, kunde komma till Princeton University, där Dave då skulle flytta, för att tillbringa tre eller fyra månader om året där. Det här gav mig en mycket bra lön, vilket gjorde att jag inte bara kunde åka dit på de förlängda besöken utan också betala för Hannibals datagrafikutbildning. Det var verkligen en bra investering, som Hannibal själv berättade för mig vid den tiden. Sedan fick också Alberto Tognoli för mig en treårig gästprofessur i Trento, och den extra lönen gjorde att vi kunde reparera taket på vårt hus.

Vad kännetecknar kontraherbara mångfalder och deras gränser i geometrisk topologi?

I allmänhet är det känt att produkten av en Whitehead-mångfald med R^n är hemomorf till R^(n+3), men det finns sätt att konstruera högdimensionella kontraherbara mångfalder som inte är enkelt sammanbundna vid oändligheten. Dessa mångfalder erhålls genom att ta det inre av kompakta mångfalder vars gränser inte är enkelt sammanbundna. Denna konstruktion föreslogs av Newman för dimensioner större än 4.

Å andra sidan, om vi ställer kravet att mångfalden är enkelt sammanbunden vid oändligheten, uppstår positiva resultat. Edwards bevisade i en tre-dimensionell analogi av Stallings sats (Theorem 7.3.7) att om en kontraherbar öppen 3-mångfald är enkelt sammanbunden vid oändligheten, så är denna mångfald hemomorf till R^3. Detta innebär att, när den är enkelt sammanbunden vid oändligheten, har mångfalden en förutsägbar och välbestämd struktur som gör att den går att identifiera med den tredimensionella rymden. Beviset bygger på en detaljerad analys av submanifolder och en noggrann undersökning av topologiska egenskaper som relaterar till sammanbindningen vid oändligheten.

Däremot gäller inte detta för dimension 4, där det existerar exotiska 4-dimensionala rymder, d.v.s. öppna 4-mångfalder som är hemomorfa med men inte diffeomorfa till R^4. Detta fenomen blev först påpekat av Freedman, vars arbete tillsammans med Donaldson revolutionerade förståelsen för 4-dimensionell geometri. Freedman’s sats (Theorem 7.3.9) visar att varje öppen kontraherbar 4-mångfald som är enkelt sammanbunden vid oändligheten är hemomorf till R^4, men dessa mångfalder skiljer sig i sina differentiella och PL-strukturer.

För att förstå dessa koncept och deras konsekvenser är det avgörande att inte bara fokusera på mångfaldens topologiska egenskaper i sin ursprungliga form, utan också på hur gränser och oändliga delar av mångfalder påverkar deras övergripande struktur. När vi pratar om att "kompaktifiera" en mångfald, handlar det om att förstå om denna kan utvidgas till en kompakta gränser eller om den förblir en öppen, kontraherbar struktur utan några avgränsade slut.

För mångfalder i högre dimensioner än 4 är frågan om att fästa gränser och hur dessa påverkar mångfaldens struktur centrala. I dimension 3 är det inte möjligt att ha en kontraherbar 3-mångfald som inte är hemomorf till R^3 om gränsen inte är en sfär. Detta leder till en grundläggande insikt: för att studera topologin av öppna mångfalder måste man noga undersöka om de kan kompaktifieras, vilket innebär att de kan konstrueras med hjälp av slutenheter med lämpliga gränser.

För att verkligen förstå dessa begrepp är det också viktigt att ta hänsyn till den stabilitet i den fundamentala gruppen vid oändligheten. Om vi har en end av en mångfald M, kan vi analysera hur de fundamentala grupperna för olika öppna närliggande områden av denna end relaterar till varandra. Om dessa grupper är stabila, får vi en mer detaljerad förståelse för hur M beter sig vid oändligheten. Denna stabilitet är en central aspekt i teorin om oändliga delar av mångfalder och kan ge insikter i hur man på bästa sätt komprimerar och studerar dessa mångfalder i den geometriska topologin.

Vad är Kervaire-invarianten och hur relaterar den till stabila homotopigrupper?

Vi betraktar en slät mångfald $M$ av dimensionen $4k+2$, där $M$ är $2k$-sammanhängande, vilket innebär att dess homotopigrupper upp till ordningen $2k$ är triviala. På homologiegruppen $H_{2k+1}(M; \mathbb{Z}/2)$ definieras en kvadratisk form $q$, som associeras till självintersektioner av immerserade sfärer i $M$. Mer specifikt, man tar en inbäddning $F: M^{4k+2} \subset \mathbb{R}^{4k+2+N}$ med ett trivialt normalband, vilket möjliggör en framställning av $q$ genom att betrakta regelbunda homotopier av en sfär $S^{2k+1}$ inbäddad i $M$.

Den klassiska Arf-invarianten definieras sedan som summan

där $\{e_i, f_i\}$ utgör en Hamiltonsk bas för $H_{2k+1}(M; \mathbb{Z}/2)$. Denna invariant är av central betydelse inom stabil homotopiteori och kan kopplas till närvaron av homotopisfärer inom ramen för ramade cobordismer.

där denna grupp är stabiliserad för stora $N$.

Generaliserade Kervaire-problemet breddar perspektivet och frågar efter existensen av oändligt många dimensioner där en utvidgad version av Arf-invarianten kan realiseras. Här introduceras begrepp som stabilt ramade immersioner och den geometriskt intuitiva Browder–Eccles-invarianten som generalisering av den klassiska Arf-invarianten.

Exempelvis kan man med hjälp av Hopf-generatorer och tillhörande torusinbäddningar visa positiva lösningar för dimensionerna 2, 6 och 14. Däremot är homomorfin trivial i dimension 10, enligt Kervaires ursprungliga sats.

Vidare kopplas Kervaire-invarianten till karaktäristiska klasser, exempelvis Stiefel–Whitney-klasser, där de klassiska topologiska invarianta uttrycks som värden på dessa klasser för vissa under-mångfalder associerade med immersionernas självintersektioner.

Det är viktigt att inse att de resultat som finns kring Kervaire-problemet inte enbart är av teoretiskt intresse utan också påverkar vår förståelse av hur höga dimensioners manifolder kan konstrueras och klassificeras. Att kunna bestämma Arf-invarianten för olika konstruktioner möjliggör insikt i komplexiteten hos stabila homotopigrupper och illustrerar gränserna för vår nuvarande kunskap om sfärers homotopiska egenskaper.