Hur fungerar fullständiga marknadsmodeller och arbitragefria tillgångar?

I denna analys undersöks fullständiga marknader och arbitragefria tillgångar genom modeller där riskneutrala sannolikheter och kontingenta krav spelar en central roll. En sådan modell beskriver hur ett riskfritt finansiellt instrument kan bestämmas genom att använda riskneutrala sannolikheter, vilket skapar en marknad där ingen möjlighet till arbitrage existerar. Den grundläggande förutsättningen för att en sådan marknad ska vara arbitragefri är att alla tillgångar och kontrakt kan prissättas på ett sätt som eliminerar risken för vinst utan risk. I detta sammanhang är det viktigt att förstå både de teoretiska aspekterna av riskneutral prissättning och hur dessa tillämpas på faktiska marknader.

Enligt exempel 1.10 och vidare resonemang, kan en riskneutral sannolikhetsmått $P^*$ beskrivas som en funktion som tillfredsställer en formel där $\pi(1 + r) = E^*[S] = p^*b + (1 - p^*)a$. Denna funktion definierar den riskneutrala sannolikheten $p^*$ som en lösning på ett linjärt ekvationssystem. När denna sannolikhet är bestämd, kan marknaden sägas vara fullständig. Fullständighet innebär att alla möjliga kontingenta krav kan uppfyllas av en kombination av tillgångar i marknaden.

För att ytterligare förstå fullständigheten kan vi analysera kontingenta krav, som är de betalningsflöden som är beroende av framtida marknadsförhållanden. Ett sådant krav $C$ är uppnåeligt om det kan representeras som en linjär kombination av tillgångarna i marknaden. Om denna ekvation kan lösas för två variabler, $\xi_0$ och $\xi$, där dessa representerar vikterna för tillgångarna, så är det möjligt att prissätta och uppnå detta krav.

I en klassisk modell för prissättning av optioner som en call-option, där $C = (S - K)^+$ och $K \in [a, b]$, kan vi applicera samma principer. Här ses att priset på optionen beror på skillnaden mellan de två värdena $b$ och $a$, men är oberoende av den specifika sannolikheten $p$, medan det ökar med räntan $r$. Denna typ av modell tillåter analys av hur olika faktorer, som ränta och volatilitet, påverkar marknadens dynamik och risk.

Vidare kan exempel på riskjustering och användningen av optioner för att modifiera risker i en position vara särskilt lärorikt. Om vi tar ett specifikt exempel där en riskig tillgång kan köpas vid tidpunkten $t = 0$ för priset $\pi = 100$, och där priset vid $t = 1$ kan vara antingen $S(\omega^+) = b = 120$ eller $S(\omega^-) = a = 90$, så ges den resulterande avkastningen av denna tillgång som $R(S)(\omega^+) = +20\%$ eller $R(S)(\omega^-) = -10\%$. Att investera i en sådan tillgång medför en betydande risk, men en call-option med strike $K = 100$ kan användas för att modifiera denna risk.

Denna typ av modell är användbar för att förstå det så kallade "leverage-effekten" hos optioner, där potentiella vinster och förluster kan förstärkas. I fallet med en call-option där $r = 0$, beräknas priset på optionen enligt en formel som ger ett visst pris, vilket sedan kan användas för att analysera den potentiella avkastningen beroende på marknadens utveckling.

Det är också intressant att överväga hur vi kan minska riskerna genom att använda en "married put", en kombination av en köpoption och den underliggande tillgången. Detta så kallade "portfolio insurance" innebär en ytterligare kostnad, men ger en balanserad risk- och avkastningsprofil. Här illustreras hur marknaden för kontingenta krav och optioner gör det möjligt att optimera både avkastning och riskexponering.

Slutligen är det viktigt att förstå att även om vissa modeller kan vara arbitragefria, så är de inte alltid fullständiga. En marknad kan vara arbitragefri men ändå inte kunna tillgodose alla typer av kontingenta krav, vilket innebär att inte alla önskade betalningsflöden kan uppnås genom den tillgångsportfölj som finns. Detta kan exempelvis uppkomma i modeller där endast ett begränsat antal tillgångar finns tillgängliga för handel. Vid dessa fall kan det finnas icke-uppnåeliga kontingenta krav, som kräver ytterligare tillgångar för att kunna realiseras.

Hur Topologiska Vektorrum och Hahn-Banach Teorem Relaterar till Funktionalanalys

Inom funktionalanalys spelar begreppet topologiska vektorrum en grundläggande roll för att förstå egenskaperna hos olika typer av funktioner och deras relationer till varandra. Ett topologiskt vektorrum är ett linjärt rum E som bär på en topologi där varje enkelton {x} är en sluten mängd och där vektoroperationerna är kontinuerliga. Detta innebär att både addition av två vektorer och multiplikation med ett skalär är kontinuerliga avbildningar från E × E till E och från ℝ × E till E. Ett exempel på ett sådant vektorrum är ett Banachrum, vilket definieras av att rummet är ett fullständigt normerat rum.

I samband med topologiska vektorrum är det viktigt att förstå begreppet konvexa mängder. En av de centrala teorem som behandlar dessa mängder är Hahn-Banach teoremet, som generaliserar separationsteoremet till oändligt dimensionella rum. Enligt teoremet kan två disjunkta konvexa mängder B och C, där minst en har ett inre punkt, separeras genom en icke-noll kontinuerlig linjär funktional ℓ. Detta innebär att det finns en funktional ℓ för vilken ℓ(x) ≤ ℓ(y) för alla x ∈ C och y ∈ B. För att strikt separera två konvexa mängder genom en linjär funktional krävs ytterligare villkor både på mängderna och på det underliggande rummet.

När man pratar om konvexa mängder i ett topologiskt vektorrum, måste man också förstå begreppet lokalt konvexa rum. Ett rum E sägs vara lokalt konvext om dess topologi har en bas bestående av konvexa mängder. Banachrum är per definition lokalt konvexa eftersom öppna bollar i rummet är konvexa och bildar en bas för topologin. Däremot är rummet L0(Ω, F, P) med topologin av konvergens i P-mått inte lokalt konvext om (Ω, F, P) inte har några atomer.

En annan viktig aspekt är den duala strukturen hos topologiska vektorrum. Den duala rymden E' till ett topologiskt vektorrum E består av alla kontinuerliga linjära funktionaler från E till ℝ. Enligt Hahn-Banach teoremet kan man separera punkter i E genom att använda funktionaler från den duala rymden. Ett exempel på detta är sambandet mellan Lp och Lq, där p och q är konjugerade exponenter (dvs. 1/p + 1/q = 1) och den duala rymden för Lp är Lq.

För att beskriva hur lokalt konvexa topologier ofta uppstår kan vi introducera F-topologin. Om E är ett linjärt rum och F är en klass av linjära funktionaler på E som separerar punkterna i E, definieras F-topologin på E som den topologi som erhålls genom att ta som bas alla mängder av formen {y ∈ E | |ℓi(y) − ℓi(x)| < r, i = 1, ..., n}, där ℓi är funktionaler i F och x är en punkt i E. Om E bär på en lokalt konvex topologi, kallas denna topologi den svaga topologin på E, och den svaga duala rymden E' separerar punkterna i E.

En viktig aspekt av svaga topologier är att de tenderar att göra fler mängder kompakta än de ursprungliga topologierna. Detta är en anledning till att svaga topologier ofta studeras i Banachrum och andra lokalt konvexa rum. Ett resultat som belyser detta är Banach-Alaoglu-teoremet, som säger att en enhetsboll i den duala rymden till ett Banachrum är svagt∗ kompakt.

Dessutom är det centralt att förstå hur svagt∗ kompakta mängder beter sig i olika kontexter. Krein-Šmulian-teoremet ger en användbar karaktärisering av svagt∗ slutna mängder i rymder som L∞. Enligt detta teorem är en konvex mängd C i L∞ svagt∗ sluten om och endast om varje mängd C_r := C ∩ {X ∈ L∞ | ||X||∞ ≤ r} är sluten i L1.

För att sammanfatta är de teorem som behandlas här avgörande för att förstå egenskaper hos konvexa mängder och funktionaler i oändligt dimensionella rum. Från Hahn-Banach separationsteoremet till de svaga topologierna och deras duala strukturer, öppnar dessa verktyg dörren till mer avancerade analyser av funktionalanalysens struktur.

Hur preferenser representeras i ekonomiska modeller och deras numeriska formalisering

I en finansiell modell med fullständig marknad bestäms priset på en kontingentfordran genom arbitrageargument, utan att involvera de ekonomiska aktörernas preferenser. I en ofullständig modell kan sådana krav innebära inneboende risker som inte kan elimineras genom hedging. För att fastställa önskvärda strategier i ljuset av sådana risker är det avgörande att klargöra investerarens preferenser. Detta görs ofta i form av ett förväntat nytto-kriterium. Paradigmet för förväntad nytta utgör därmed det centrala temat för detta kapitel. Vi inleder med en allmän diskussion om preferensrelationer på en uppsättning X av alternativa val och deras numeriska representation genom en funktionell U på X.

I det finansiella sammanhanget kan dessa val vanligtvis beskrivas som payoff-profiler. Dessa definieras som funktioner X på en underliggande uppsättning av scenarier med värden i någon uppsättning av utbetalningar. Vi står därmed inför risk eller till och med osäkerhet. I fallet med risk ges ett sannolikhetsmått på uppsättningen av scenarier. I detta fall kan vi fokusera på de resulterande payoff-distributionerna. Vi hanterar då preferenser på ”lotterier”, det vill säga sannolikhetsmått på uppsättningen av utbetalningar.

I de följande sektionerna diskuteras de axiom—eller villkor—under vilka en sådan preferensrelation på lotterier μ kan representeras av en funktionell av formen ∫ u(x) μ(dx), där u är en nyttofunktion på uppsättningen av utbetalningar. Denna formulering av preferenser på lotterier i termer av förväntad nytta går tillbaka till D. Bernoulli och den axiomatisk teori som initierades av J. von Neumann och O. Morgenstern. Ytterligare karakteriseringar av uniforma preferensrelationer som delas av en given klass av funktioner u kommer att behandlas, tillsammans med den allmänna teorin om sannolikhetsmått på produktutrymmen med givna marginaler.

För att förstå preferenser på payoff-profiler, där vi står inför osäkerhet snarare än risk, introducerade Savage en metod där sådana preferenser kan representeras genom en funktion av formen U(X) = EQ[ u(X) ], där Q är ett ”subjektivt” sannolikhetsmått på uppsättningen av scenarier. Vi kommer att fokusera på en robust förlängning av Savages representation, som introducerades av Gilboa och Schmeidler och senare utvecklades av Maccheroni, Marinacci och Rustichini. Här innebär den funktionella nyttan en klass Q av sannolikhetsmått Q, som tas mer eller mindre allvarligt beroende på deras bestraffning α(Q).

När vi definierar preferensrelationer på ett icke-tomt sett X, där varje element x ∈ X representerar ett möjligt val för en ekonomisk agent, formaliseras preferensen som en binär relation ≻. Denna relation uppfyller två grundläggande egenskaper: asymmetri och negativ transitivitet. Om en agent föredrar x framför y (x ≻ y), innebär detta att y inte föredras framför x (y ⊁ x). Vidare säger negativ transitivitet att om x föredras framför y (x ≻ y) och z är ett element i X, så gäller att x föredras framför z (x ≻ z) eller z föredras framför y (z ≻ y), eller båda dessa förhållanden är sanna.

En preferensordning ≻ på X inducerar en motsvarande svag preferensordning ⪰, som definieras av x ⪰ y om och endast om y ⊁ x. Indifferensrelationen ∼ definieras som x ∼ y om och endast om x ⪰ y och y ⪰ x. Därmed innebär x ⪰ y att x antingen är att föredra framför y eller att det inte finns någon klar preferens mellan de två alternativen.

En numerisk representation av en preferensordning ≻ är en funktion U : X → ℝ sådan att om y föredras framför x (y ≻ x), så gäller U(y) > U(x) för alla x, y ∈ X. Det är också viktigt att notera att denna numeriska representation inte är unik. Om f är en strikt växande funktion, så är Ũ(x) := f (U(x)) också en numerisk representation av preferensordningen.

För en korrekt förståelse av denna teori är det centralt att uppmärksamma att de ekonomiska aktörernas preferenser och deras beslut inte alltid följer en strikt matematisk modell, utan att de kan påverkas av subjektiva faktorer och osäkerheter som kan vara svåra att förutse. Därför måste man, när man modellerar preferenser och risker i finansiella sammanhang, ta hänsyn till de bredare begreppen av riskaversion och osäkerhet, vilka kan förändra resultat och tolkningar av de teoretiska modellerna.