Hur kan transportbuller påverka Navier-Stokes ekvationerna i tre dimensioner?

I studiet av 3D Navier-Stokes ekvationer i turbulensmodeller används ofta LES-dekompositioner (Large Eddy Simulation) för att dela upp flödet i stora och små skala komponenter. Den stora komponenten representerar de långsamma fluktuationerna i flödet, medan den lilla komponenten fångar de snabbare och mer komplexa rörelserna. Dessa komponenter, $u_{\epsilon}$ och $v_{\epsilon}$ , är kopplade via en linear operator $C$ , som styr det småskaliga beteendet av flödet.

Ett av de centrala elementen i de system som undersöks här är det tillsatta bruset som representeras av transportbuller, vilket är en form av stokastisk störning som påverkar flödet på mikroskopisk nivå. Modellen i kapitel 3 är utvecklad för att analysera denna typ av störningar i tre dimensioner. Den beskriver utvecklingen av stora och små skala komponenter under inverkan av transportbuller, där den stora komponenten $u_{\epsilon}$ undergår en viss form av dynamik som styrs av ett stokastiskt brus $W_t$ , vilket är en Wienerprocess definierad på $[L^2( \mathbb{T}^3)]^3T$ . Den lilla komponenten $v_{\epsilon}$ är påverkad av denna brusstörning samt en viss friktionsdämpning som införs genom operatorn $C$ .

Matematiskt sett beskriver systemet följande differentialekvationer för $u_{\epsilon}$ och $v_{\epsilon}$ :

\begin{aligned}

du_{\epsilon} &= \nu \Delta u_{\epsilon} dt - (u_{\epsilon} \cdot \nabla) u_{\epsilon} dt - (v_{\epsilon} \cdot \nabla) u_{\epsilon} dt + \nabla p_{\epsilon} dt, \\ div \, u_{\epsilon} &= 0, \\ dv_{\epsilon} &= \epsilon^{ -1} C v_{\epsilon} dt + \nu \Delta v_{\epsilon} dt - (u_{\epsilon} \cdot \nabla) v_{\epsilon} dt - (v_{\epsilon} \cdot \nabla) v_{\epsilon} dt + \epsilon^{ -1} dW_t + \nabla q_{\epsilon} dt, \\ div \, v_{\epsilon} &= 0. \end{aligned}

d u_{ϵ} d i v u_{ϵ} d v_{ϵ} d i v v_{ϵ} = ν Δ u_{ϵ} d t - (u_{ϵ} \cdot \nabla) u_{ϵ} d t - (v_{ϵ} \cdot \nabla) u_{ϵ} d t + \nabla p_{ϵ} d t, = 0, = ϵ^{- 1} C v_{ϵ} d t + ν Δ v_{ϵ} d t - (u_{ϵ} \cdot \nabla) v_{ϵ} d t - (v_{ϵ} \cdot \nabla) v_{ϵ} d t + ϵ^{- 1} d W_{t} + \nabla q_{ϵ} d t, = 0.

Där $\nu$ är viskositetskoefficienten, och $p_{\epsilon}$ samt $q_{\epsilon}$ är tryckfält som säkerställer att flödet är divergencefritt. Dessa ekvationer beskriver dynamiken för flödet när de stora och små skalorna interagerar med varandra och med transportbruset.

För att studera dessa system används Helmholtzprojektionen, som möjliggör att projektera systemet på ett lägre dimensionellt utrymme där trycktermer kan elimineras, vilket ger en förenklad form av ekvationerna. När systemet är projicerat får vi en ny uppsättning ekvationer där trycktermerna inte längre finns, och vi kan analysera dynamiken på ett enklare sätt.

Det huvudsakliga resultatet som presenteras här är konvergensen av den stora skalakomponenten $u_{\epsilon}$ av systemet (3.2) till en lösning av Navier-Stokes ekvationerna som är störd av transportbuller. Under vissa förutsättningar på operatorn $C$ och kovariansoperatorn $Q$ , kan man bevisa att en svag ackumuleringspunkt för $u_{\epsilon}$ konvergerar till en lösning som uppfyller en stokastisk version av Navier-Stokes ekvationerna, där det stokastiska bruset har en direkt inverkan på flödets beteende. Detta resultat visar på en fundamentalt viktig egenskap av transportbuller i fluider och på hur sådana störningar kan påverka flödets långsiktiga beteende.

En intressant aspekt av denna teori är att den inte är begränsad till just Navier-Stokes ekvationerna, utan även kan tillämpas på andra typer av flödesmodeller, som exempelvis Surface Quasi-Geostrophic equations och de Primära ekvationerna. Denna allmängiltighet understryker betydelsen av transportbrus som en kritisk faktor i förståelsen av fluiddynamik, och den visar på behovet av att använda mer generella matematiska tekniker för att hantera komplexa vätskedynamiska system som inte har en enkel Lagrange-beskrivning.

Vidare diskuterar kapitlet också hur beteendet hos $u_{\epsilon}$ förändras när kovariansoperatorn $Q = Q_{\epsilon}$ är beroende av $\epsilon$ . Detta introducerar ytterligare nyanser i hur småskaliga dynamik påverkas av störningar, och belyser vikten av att noggrant studera hur olika typer av brus kan förändra långsiktig stabilitet och lösningarnas konvergens.

För att fullt förstå dessa resultat är det viktigt att ha en grundläggande förståelse för stokastiska differentialekvationer och de matematiska verktygen som används för att analysera dem, såsom Sobolevrum och Helmholtzprojektioner. Det är också nödvändigt att förstå hur olika typer av brus (i detta fall transportbuller) kan påverka lösningarna för komplexa fluidekvationer, särskilt i högre dimensioner där de stora och små skalen har olika typer av interaktioner.

Hur brusreglering kan förenkla reaktions-diffusionsystem och ge en fysisk tolkning av skalbegränsningar

Inom teorin för reaktions-diffusionsystem och deras reglering genom brus är det en central fråga hur småskaliga variationer i systemet kan hanteras och omformas till större skala genom en homogenisering. I denna process används brus för att representera de småskaliga fluktuationerna, vilket ger upphov till en effektiv beskrivning på makroskala. Detta synsätt är särskilt relevant när vi försöker förstå hur dynamiken av ett reaktions-diffusionsystem kan förenklas genom användning av skalförändringar och brusreglering.

I en typisk beskrivning av ett reaktions-diffusionsystem transporteras en variabel $v_i$ genom ett hastighetsfält $u$ i ett fluidmedium, vilket kan beskrivas av den partiella differentialekvationen:

\frac{\partial v_i}{\partial t} + (u \cdot \nabla)v_i = \nu_i v_i + f_i(v_1, v_2, \dots, v_n)

Denna ekvation beskriver förloppet för reaktioner och diffusion i ett system där varje komponent $v_i$ påverkas av hastighetsfältet $u$ , som kan delas upp i två delar: de stora och små skala komponenterna, $u_L$ och $u_S$ . Medan de stora skalorna $u_L$ ofta anses vara regelbundna och lägre påverkade av turbulens, domineras de små skalorna av snabba förändringar som kan approximativt modelleras som vitt brus. Detta brus leder till en stratonovich-form av ekvationen:

d v_i = \nu_i v_i dt + (u_L \cdot \nabla)v_i dt + \sum_k \sigma_k \cdot \nabla v_i \circ dW_t

där $W_t$ representerar det stokastiska bruset som härmar de småskaliga fluktuationerna.

Genom att använda en homogeniseringsteori där man undersöker hur ett elliptiskt partiellt differentialekvationssystem beter sig när en parameter $\epsilon$ går mot noll, får man en effektiv representation av systemets beteende vid stora skalor. Det ursprungliga systemet $\nabla \cdot (a(\cdot) \nabla u_\epsilon) = \nabla \cdot g$ beskriver variationer i ett heterogent medium, där $\epsilon$ representerar mikroskalan. När $\epsilon \to 0$ tenderar systemet att konvergera mot ett homogeniserat system:

\nabla \cdot (a_{\text{hom}} \nabla u_{\text{hom}}) = \nabla \cdot g

där $a_{\text{hom}}$ är en konstant matris som fångar de långsiktiga effekterna av den ursprungliga heterogeniteten. Denna homogenisering leder till en förenklad beskrivning på makroskala där den ursprungliga komplexiteten, orsakad av mikroskala variationer, försvinner.

För att förstå detta i samband med brusreglering är det viktigt att se att transportbruset $\sum_k \sigma_k \cdot \nabla v_i$ kan liknas vid de småskaliga variationerna i systemet. När dessa småskaliga effekter tas bort eller förenklas genom brusreglering, får man en effektiv dynamik som är enklare att analysera och modellera på större skala. Den fysiska tolkningen här är att brusregleringen representerar ett sätt att beskriva hur de småskaliga fluktuationerna i ett fluidmedium kan beaktas genom en stokastisk modell, där brusens inverkan på systemet bevarar vissa fysiska lagar, såsom massa och energi.

En annan viktig aspekt är hur homogeniseringsteorin och skalförändringar förhåller sig till de partiklar eller ämnen som transporteras genom systemet. Genom att använda stratonovich-formen för brus kan man förstå hur dessa småskaliga variationer bidrar till den övergripande energibalanseringen i systemet, utan att direkt påverka den makroskopiska strukturen. Denna process är därför både en matematisk och fysisk förenkling som gör det möjligt att beskriva komplexa system på en högre nivå av abstraktion.

Det är också viktigt att förstå att denna förenkling inte innebär att alla småskaliga detaljer försvinner utan snarare att deras påverkan på den övergripande dynamiken kan representeras av ett effektivit brus. Detta tillvägagångssätt är särskilt användbart inom fält som fluiddynamik och termodynamik, där brus ofta används för att beskriva de slumpmässiga fluktuationerna som sker på mikroskopisk nivå.

Slutligen, för att applicera dessa idéer på reaktions-diffusionsystem och deras reglering, måste man också vara medveten om de specifika antaganden som görs vid homogenisering och skalning. Dessa antaganden kan leda till olika typer av approximationer beroende på systemets specifika egenskaper. Att förstå dessa förutsättningar och deras konsekvenser är avgörande för att korrekt använda dessa metoder i praktiska tillämpningar.

Hur beter sig andra gradens vätskeekvationer vid den osynliga gränsen?

De andra gradens vätskeekvationerna representerar en modell för viskoelastiska vätskor med två parametrar: α > 0, som motsvarar det elastiska svaret, och ν > 0, som representerar viskositeten. Vid antagandet om konstant densitet ρ = 1 ges spänningstensoren av $T = -pI + \nu A_1 + \alpha^2 A_2 - \alpha^2 A_1^2$ , där $A_1 = \nabla u + \nabla u^T$ och $A_2 = \partial_t A_1 + A_1 \nabla u + \nabla u A_1$ . Här är p trycket och u hastighetsfältet. För en inkompressibel, homogen vätska i 2D kan rörelseekvationerna uttryckas som:

\frac{\partial u}{\partial t} + \text{curl}(u) \times u + \nabla p + f = \nu \Delta u - \alpha^2 \Delta^2 u,

\text{div } u = 0, \quad u|_{\partial D} = 0, \quad u(0) = u_0,

där f beskriver externa krafter som kan vara stokastiska. Ekvationerna ger en allmän beskrivning av vätskor där den viskösa och elastiska responsen är modellerad genom de två parametrarna α och ν.

När α = 0 återgår systemet till de klassiska Navier-Stokes-ekvationerna. Den andra gradens vätskeekvationer är en förlängning av dessa och erbjuder en bra approximation för Navier-Stokes-ekvationerna, vilket har visats i tidigare arbeten. Analysen av dessa system startade med vissa resultat om global existens och unikhet för lösningar, även för mer komplexa dimensioner än de två dimensionerna.

En central fråga inom vätskedynamik är problemet med den osynliga gränsen, där lösningar av Navier-Stokes-ekvationerna (uν) förväntas konvergera mot lösningar av de deterministiska Euler-ekvationerna (ū) när ν → 0. Detta är en klassisk fråga, känd som inviscid limit problem, och den är särskilt relevant för 2D-domäner utan gränser, där den initiala hastigheten i båda systemen är nära varandra i normerna $H^k$ .

När man arbetar med Navier-Stokes-systemet med randvillkor som inte släpper igenom vätskan (no-slip boundary conditions) är det känt att resultat för den inviscida gränsen kan vara mer utmanande. Det finns kända resultat som anger att om initialförhållandena och randvillkoren är tillräckligt symmetriska eller analytiska, kan konvergens bevisas. Det finns även metoder som använder specifika kriterier för att beskriva hur lösningar till Navier-Stokes-ekvationerna beter sig nära gränsskiktet för att visa att gränsen gäller.

För andra gradens vätskor kan man fråga sig om dessa ekvationer beter sig bättre än Navier-Stokes i vissa turbulensproblem, som den inviscida gränsen för domäner med gränser och no-slip randvillkor. Det är en öppen fråga som kräver en noggrannare förståelse för hur dessa vätskor interagerar med gränsskikten när viskositeten går mot noll. Den matematiska komplexiteten här är stor, särskilt på grund av skillnader i randvillkor mellan Navier-Stokes och Euler-ekvationer, och bristen på stabila uppskattningar när ν går mot 0.

Det är också intressant att observera att för system med no-slip randvillkor, där $uν |_{\partial D} = 0$ , kan vätskan nära gränsen utveckla turbulens och kaotiska rörelser när viskositeten blir tillräckligt liten. Detta fenomen kallas för gränsskiktsinstabiliteter, där gränsskiktet närmar sig ett turbulent tillstånd för ν → 0. Den exakta kontrollen av detta skikt och förståelsen för hur virvelstrukturer skapas nära gränsen är fortfarande ett öppet problem inom vätskedynamik och ett område för framtida forskning.

Eftersom andra gradens vätskeekvationer kan ge en bättre approximation av Navier-Stokes-ekvationerna i vissa turbulensproblem, är det en relevant fråga att undersöka om dessa ekvationer har några fördelar när det gäller att hantera problem med turbulens och inviscida gränser. Den här frågan har tagits upp i flera arbeten och kan vara en potentiell väg för framtida utveckling inom området för stokastisk vätskedynamik.

Endtext

Hur Helmholtz-projektionen tillämpas i stokastiska primitiva ekvationer

Helmholtz-projektionen är ett centralt verktyg i matematiska och fysiska modeller för att hantera divergensfrihet och att separera olika typer av flöden i olika fysiska system. I denna text fokuserar vi på tillämpningen av Helmholtz-projektionen i sammanhanget av stokastiska primitiva ekvationer, där det är avgörande för att korrekt formulera och lösa evolutionära system som beskriver vätska- och temperaturdynamik under påverkan av olika typer av storskaliga störningar.

I det givna sammanhanget, för en funktion $f \in L^2(2T; \mathbb{R})$ , kan Helmholtz-projektionen uttryckas som $P_Hf = f - Q_Hf$ , där $Q_H$ representerar en lägre ordning projektion som eliminerar den divergerande komponenten av $f$ . Denna projektion är ortogonal och bevarar den relevanta fysikaliska informationen om flödet eller temperaturen i systemet.

För att definiera en hydrostatisk Helmholtz-projektion på domänen $O$ , används en något modifierad form av projektionen, där vi har $P f = f - Q f$ för alla $f \in L^2(O; \mathbb{R})$ , där $Qf$ definieras som en integrerad projektion över en vertikal variabel. Denna projektion bevarar också ortogonaliteten och den divergensfria naturen av flödet.

En viktig observation är att den hydrostatiska Helmholtz-projektionen bevarar vissa fysikaliska egenskaper såsom $\text{div} \, \left( \int_{ -h}^0 H f(\cdot, \zeta) d\zeta \right) = 0$ , vilket innebär att den inte påverkar de fysiska tillstånd där divergensen är noll, något som är centralt för att beskriva system som flöden i vätskor eller atmosfäriska modeller. Vidare är det nödvändigt att förstå hur sådana projektioner appliceras på stokastiska evolutionsekvationer, eftersom de påverkar dynamiken och stabiliteten hos lösningarna.

När det gäller formuleringen av de stokastiska primitiva ekvationerna, är det centralt att beakta systemet av ekvationer som styr både hastigheten $v$ och temperaturen $\theta$ , som involverar både hydrostatiska projektioner och störningar från externa källor. Till exempel, i de stokastiska evolutionsekvationerna på domänen $O$ , får vi systemet:

\frac{dv}{dt} = - (v \cdot \nabla_H)v - w(v) \partial_3 v - \nabla_H p + \int_{ -h}^0 \kappa(\cdot, \zeta) \theta(\cdot, \zeta) d\zeta + F_v(v, \theta, \nabla v, \nabla \theta) dt

\frac{d\theta}{dt} = - (v \cdot \nabla_H) \theta - w(v) \partial_3 \theta + F_\theta(v, \theta, \nabla v, \nabla \theta) dt

I detta system representeras $w(v)$ av den vertikala hastighetskomponenten som är relaterad till divergensen av hastigheten $v$ , och projektionsoperatorer appliceras på de olika termerna för att bevara den fysiska strukturen hos flödet och temperaturen. Störningarna från externa källor, som $F_v$ och $F_\theta$ , introducerar stokastiska element som påverkar systemets evolution över tid.

Det är också viktigt att förstå hur de stokastiska termerna, såsom $G_v, G_\theta$ , och $\beta_n$ (de stokastiska processerna), påverkar lösningarna av dessa ekvationer. Deras närvaro innebär att lösningen inte bara är en funktion av tid och rum, utan också av stokastiska variationer, vilket kan leda till fenomen som fluktuationer i vätsketemperaturer eller hastigheter.

För att lösa dessa system på ett korrekt sätt krävs att vi beaktar initialvillkoren för hastighet och temperatur, såväl som gränsvillkoren för vertikala derivator av dessa funktioner. Det är också avgörande att förstå hur dessa stokastiska primitiva ekvationer kan formulera sig som ett system av SPDEs (stokastiska partiella differentialekvationer), där Helmholtz-projektionen säkerställer att de dynamiska systemen bibehåller sina fysiska egenskaper, såsom divergensfrihet och kontinuitet.

När man studerar sådana system är det avgörande att också förstå hur noise- och turbulensmodeller som Kraichnans turbulensteori tillämpas. Här antar man vanligtvis att störningar, representerade av $\phi_n$ och $\psi_n$ , är oberoende av den vertikala koordinaten $x_3$ , och att dessa störningar har en viss regelbundenhet och summabilitet. Detta gör att systemet kan hantera turbulens på ett realistiskt sätt utan att förlora sina fysikaliska egenskaper.

Slutligen är det viktigt att notera att de logaritmiska gränserna som ges i de teorem som här beskrivs, även om de verkar svaga, ändå ger en användbar uppskattning av systemets beteende i närvaro av stokastiska störningar. Dessa uppskattningar liknar de som erhålls i andra sammanhang, såsom i Kraichnans turbulensteori, där de används för att förklara fenomen som långsiktiga fluktuationer och stabilitet i icke-linjära system.

Hur fluiddynamik beskriver fria ytor och topografiska gränser

I fluiddynamik är det centralt att förstå hur flödet av ett fluid beter sig vid olika gränser, särskilt när det gäller fria ytor och botten. I en tre-dimensional domän måste de yttre gränserna, både på toppen och botten, vara Lagrangeanytor, vilket innebär att partiklar som utgör materialytan förblir på dessa ytor under hela processen. Matematiskt uttrycks detta av ekvationen $D F = 0$ , där $D$ betecknar materialderivatan och $F$ representerar materialytan. För att beskriva den fria ytan definieras funktionen $F_{\text{top}}(x, y, z, t) = z - \zeta(x, y, t) = 0$ , där $\zeta(x, y, t)$ representerar den fria ytan. Den topografiska botten beskrivs på ett liknande sätt med $b(x, y)$ , där $F_{\text{bot}} = z + b(x, y) = 0$ definierar bottenkonturen.

Flödet i en tre-dimensional Euler-fluid beskriver vi med hastighetsvektorn $u_3$ , där den generella ekvationen för materialytor vid en fri yta får formen:

\frac{\partial F}{\partial t} + (u_3 \cdot \nabla_3)F = 0.

För att beskriva den vertikala hastigheten vid den fria ytan vid $z = \zeta(x, y, t)$ , får vi uttrycket:

w = \frac{\partial \zeta}{\partial t} + (u \cdot \nabla) \zeta.

För botten topografin gäller istället att:

w = -(u \cdot \nabla) b \quad \text{vid} \quad z = -b(x, y).

För att kunna beskriva trycket på den fria ytan måste vi dessutom ta hänsyn till en dynamisk gränsvillkor. I avsaknad av ytenergi (ytspänning) gäller att det hydrostatiska trycket vid den fria ytan är noll, dvs. $p = 0$ vid $z = \zeta(x, y, t)$ . Om vi däremot beaktar ytenergi, så kan tryckskillnaden över gränssnittet mellan vatten och luft beskrivas med hjälp av Young-Laplace-ekvationen, där trycket på den fria ytan ges av:

p_{\text{atm}} - p_{\text{oc}} = \gamma \left( \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2} \right),

där $\gamma$ är ytenergins koefficient och $R_1$ och $R_2$ är de huvudsakliga radierna för krökningen på ytan.

För sidogränserna gäller den så kallade "icke-genomträngande gränsvillkoren", som säger att:

u \cdot n = 0 \quad \text{vid varje sidogräns},

där $n$ är den utåt pekande normalen. Dessa gränsvillkor, som gäller för den fria ytan, botten och sidogränserna, är avgörande för att säkerställa att massa bevaras i systemet.

Inuti domänen, där fluiden är inkompressibel och påverkas av gravitation, betraktas fluiden som en Lagrangeanmekanism. Här spelar diffeomorfismen $\psi$ en central roll som beskriver rörelsen hos materialpunkterna. Hastighetsvektorn $V_t(X) = \frac{d\psi}{dt}(X)$ beskriver tidsderivatan av denna rörelse medan etiketterna för materialpunkterna hålls konstanta. Diffeomorfismens tangentrum definieras av $T_{\psi} \text{Diff}(\mathcal{R}^3)$ , vilket representerar de vektorfält som påverkar hela domänen.

För att förstå sambandet mellan den Lagrangeanska hastigheten $V$ och den Eulerianska hastigheten $u$ , används ekvationen:

V_t(X) = u_t(x) \circ \psi_t,

där $x(X, t) = \psi(X, t)$ representerar de Eulerian-punkter som är kopplade till Lagrangian-vägarna. Den inversa relationen mellan $u_t(x)$ och $V_t(X)$ ges av:

u_t(x) = V_t(X) \circ \psi^{ -1}_t.

Detta innebär att för en given fluidkonfiguration kan den Eulerianska hastigheten uttryckas fullständigt genom diffeomorfismen $\psi$ som:

u_t(x) = (\dot{\psi}_t \circ \psi^{ -1}_t)(x),

vilken är känd som rekonstruktions-ekvationen. Denna ekvation är grundläggande för den variationala principen för Euler-Poincaré.

För att beskriva flödet och få fram de nödvändiga differentialekvationerna måste vi använda en variational teori. Kinetisk energi i den Lagrangeanska beskrivningen är en funktional som verkar på tangentbuntarna av diffeomorfismgruppen. Den inkompressibilitet som krävs av fluiden innebär att vi vill att determinant för Jacobianen $J = 1$ , vilket innebär att ingen volymförändring sker i flödet.

För att kunna få fram de nödvändiga ekvationerna som beskriver flödet, använder vi en variational princip som innebär att vi minimerar den totala energin över en tidsperiod. Variationen av denna energi ger oss de nödvändiga ekvationerna för rörelse och tryck, samt de nödvändiga lagrange-multiplikatorerna som säkerställer inkompressibilitet.

Det är också viktigt att förstå hur trycket uppstår som en Lagrange-multiplikator för att upprätthålla inkompressibiliteten i systemet. I dessa modeller är fluidpartiklarna inte oberoende av varandra, vilket innebär att den kinetiska energin måste omfatta ett uttryck som involverar flödets komprimerbarhet, vilket ger upphov till det matematiska uttrycket som definierar detta fenomen.

Hur fungerar decentraliserade handelsplattformar och pooler?
Hur Pauli Spinmatriser och Kroneckerprodukt påverkar kvantmekaniska tillstånd
Hur fungerar CO2-absorption och desorption i en aminfälla?