Hur den virtuella arbetsekvationen används för att härleda de icke-linjära jämviktsvillkoren i TL-formuleringen

I TL-formuleringen hänvisas alla variabler som används i uttrycken för virtuellt arbete till den ursprungliga konfigurationen $C_0$. Ett centralt steg i denna formulering är att härleda följande relation:

där $S_{ij}^0$ betecknar den andra Piola–Kirchhoff-spänningen och $\varepsilon_{ij}^0$ den associerade Green–Lagrange-sträckningen. För att nå detta mål måste vi först etablera relationen mellan $\tau_{ij}$ och $S_{ij}^0$, samt mellan $\delta^2 e_{ij}$ och $\delta^2 \varepsilon_{ij}^0$. Eftersom relationen mellan $\tau_{ij}$ och $S_{ij}^0$ redan finns definierad i ekvationerna (1.42) och (1.43), koncentreras uppmärksamheten här på relationen mellan de virtuella deformationerna $\delta^2 e_{ij}$ och $\delta^2 \varepsilon_{ij}^0$.

Vidare kan denna ekvation omformas och ger uttrycket:

Detta leder oss vidare till en relationskedja som kopplar de virtuella deformationskomponenterna mellan olika konfigurationer. Genom att använda kedjeregeln kan man finna en ytterligare relation:

Vidare, genom att definiera yttre traktioner $t_i^0$ och kroppskrafter $f_i^0$ med avseende på $C_0$-konfigurationen, kan vi skriva:

Därmed kan den virtuella arbetsrelationen skrivas om som:

Vidare, om vi relaterar alla spänningsökningar $S_{ij}^0$ till sträckningsökningar $\varepsilon_{ij}^0$ via den inkrementella konstitutiva lagen, får vi en förenklad form av den virtuella arbetsekvationen. Detta är särskilt användbart när deformationerna är små under varje inkrementellt steg, vilket gör att lösningar kan approximera de icke-linjära beteendena som kan vara svåra att lösa exakt.

För att analysera sådana problem kan vi använda en linjär approximation av spänningarna och deformationerna, vilket leder till en förenklad version av den inkrementella jämvikts-ekvationen:

Denna linjäriserade version gör det möjligt att behandla de komplexa frågorna om icke-linjära strukturer på ett hanterbart sätt, även om den underliggande dynamiken fortfarande bevaras på en mer approximativ nivå.

I TL-formuleringen är det också viktigt att förstå att alla variabler och de relationer som definieras i denna ekvation är knutna till den ursprungliga (obestörda) konfigurationen. Detta skiljer sig från andra formuleringar, som t.ex. den uppdaterade Lagrange-formuleringen (UL), där fysikaliska kvantiteter hänvisas till den senaste beräknade konfigurationen. Den grundläggande skillnaden mellan dessa formuleringar påverkar hur deformationer och spänningar behandlas i relation till referenskonfigurationerna, vilket är avgörande för att förstå hur strukturer deformeras och för att härleda stabila lösningar.

Hur den 3D-balkens virtuella arbetsformel härleds och tillämpas i icke-linjära strukturanalys

I denna bok antas en rent ingenjörsmässig metod där endast tre komponenter av töjningar och spänningar inkluderas i formuleringsprocessen. Särskilt uttrycket för den icke-linjära axiella töjningen ηxx inkluderas fullständigt i formuleringen. Tidigare hade Argyris et al. (1979) och Washizu (1982) uteslutit den icke-linjära termen u2x,x i den axiella töjningen ηxx. Från synpunkten av härledning av allmänna ändliga element föreslås det att alla icke-linjära töjningstermer ska inkluderas i formuleringen. Trots att detta medför en marginell ökning av beräkningskostnaden på grund av att ytterligare icke-linjära termer inkluderas i styvhetsmatriserna, så förbättras den övergripande rationaliteten hos den härledda numeriska modellen, eftersom detta gör det möjligt att hantera ett bredare spektrum av problem som kan uppstå i praktiken.

När man jämför denna metod med tidigare arbeten inom litteraturen för tredimensionella balkelement, kännetecknas denna metod av att alla icke-linjära töjningskomponenter har inkluderats i formuleringen. Detta har resulterat i en fullständig inräkning av alla medlemmars krafter, såsom $F_x, F_y, F_z, M_x, M_y$ och $M_z$, i den potentiella energin hos balken, vilket är en källa till instabilitet i strukturelementet. Denna formulering anses vara den mest kompletta och rationella bland de befintliga jämförbara teorierna.

Vidare är det viktigt att förstå att den virtuella arbetsformeln som ges i ekvation (5.103) är en linjäriserad ekvation. Det innebär att jämvikten hos balken gäller fram till, men inte inkluderar, de icke-linjära effekterna som kan uppkomma vid stora förskjutningar. Den funktionella representationen i ekvationen (5.103) för det tredimensionella balkelementet är grundläggande för härledningen av de styrande differentialekvationerna och naturliga randvillkoren, om den variationella metoden tillämpas.

Det är också värt att notera att de naturliga randvillkoren, som definieras av balkens externa krafter och moment, beror på den valda signkonventionen och nodaldefinitionen. De geometriska randvillkoren, å andra sidan, beskriver de föreskrivna förskjutningarna och rotationerna för balken vid dess två ändar, vilket är avgörande för att lösa balkens rörelse under belastning. Detta ger en fullständig bild av hur balken reagerar på yttre krafter, inklusive både de linjära och icke-linjära aspekterna av balkens beteende.

För att säkerställa att resultaten från dessa ekvationer är fysiskt meningsfulla, måste de naturliga randvillkoren, som härletts från denna metod, genomgå ett stel kroppstest för att verifiera att lösningarna är konsistenta med de fysiska förutsättningarna för balkens stabilitet och rörelse.

Hur behandlas momentmatriser och yttre moment i rymdramverkets styvhetsmatriser?

Den transformation som utförs mellan lokala och globala koordinatsystem är en väsentlig del av denna behandling, där transformationens ortogonalitet och användandet av Kronecker-delta och Levi-Civita-symbolen möjliggör att momentmatriserna korrekt kan konverteras och kombineras. Detta säkerställer att ledmomentmatrisens komponenter är förenliga med det globala systemets koordinater och därmed att hela strukturen kan analyseras som ett sammanhängande system.

När elementens ändar kopplas ihop i en struktur, ersätts den ursprungliga inducerade momentmatrisen med den symmetriska ledmomentmatrisen för att säkerställa kompatibilitet och jämvikt. Den styvhetsmatris som därmed erhålls är giltig för hela strukturen och tar hänsyn till kopplingen mellan elementens ändar, till skillnad från den tidigare styvhetsmatrisen som endast var korrekt för ett fristående element.

Yttre moment och deras virtuella potentialer är viktiga att beakta eftersom de kan ha en direkt och komplex inverkan på strukturens respons vid deformation. De ingår i den totala ekvationen för styvhet som styr strukturens beteende under belastning och måste därför behandlas korrekt för att undvika felaktiga resultat.

För att fullt ut förstå hur momentmatriser och yttre moment påverkar en rymdramverks styvhetsmatris är det avgörande att inse att jämvikt och kompatibilitet i noderna säkerställs genom att behålla endast de symmetriska delarna av momentmatriserna. Det är också centralt att förstå hur transformationer mellan koordinatsystem bidrar till att momentkomponenterna rätt hanteras i globala analyser. Vidare påverkar externa moment systemets virtuella arbete och därmed dess stabilitet, vilket kräver att sådana moment modelleras noggrant i den matematiska formuleringen av styvhetsmatriserna.

Hur beskriver man geometriskt olinjära deformationer i ramstrukturer med hjälp av Green–Lagrange-töjning och finita elementmetoden?

Inom geometriskt olinjära ramverksanalys utgör Green–Lagrange-töjningen en fundamental komponent för att korrekt beskriva deformationstillstånd där ändlig rotation och stora töjningar förekommer. Detta töjningmått möjliggör en objektiv formulering oberoende av stel kroppsrörelse och är därmed oundgängligt i varje rigorös formulering som inte kan förlita sig på infinitesimala approximationer. Särskilt i strukturer med flexurala och torsionella instabilitetsfenomen – såsom lateral buckling, postbuckling eller snap-through – är valet av Green–Lagrange-formuleringen en nödvändighet snarare än ett alternativ.

När den finita elementmetoden tillämpas i denna kontext krävs en successivt inkrementell formulering. Vid varje laststeg, vilket utgör ett inkrementellt bidrag till den totala deformationen, uppdateras både konfigurationen och töjningsfältet. I detta sammanhang spelar den geometriska styvhetsmatrisen en avgörande roll: den representerar bidraget från förändrade jämviktstillstånd beroende av strukturens aktuella geometri, inte dess initiala. Detta möjliggör korrekt representation av instabilitetsfenomen och dynamisk återkoppling mellan kraft och deformation.

Den inkrementella konstitutiva lagen formuleras antingen i form av en Green–Lagrange-töjningsinkrement mot andra Piola–Kirchhoff-spänningsinkrement, eller transformeras vidare till ett aktuellt konfigurationstillstånd via push-forward-operationer. Denna separation av töjnings- och spänningsmått från olika konfigurationer kräver noggrann implementation för att bevara energins inre arbete och säkerställa numerisk stabilitet. Det implicita sambandet mellan konstitutiva tensorer och virtuellt arbete kräver därmed exakt definition av varje virtuell variation i både kraft- och förskjutningsrum.

Analysen av ramverk där ändlig rotation förekommer kräver dessutom införandet av rotationsparametrar enligt Rodriguez’ eller Euler’s finit rotationsformel, där en ortogonal rotationsmatris genereras direkt ur roterande koordinatsystem. Detta är särskilt relevant vid transformering mellan lokala och globala koordinater, där en korrekt formulering av moment och rotationsvillkor är nödvändig för att bibehålla kompatibilitet och jämvikt.

Det är också avgörande att förstå kopplingen mellan intern momentgenerering och töjningsfördelning. I ett system där semitangentiella (ST) eller quasitangentiella (QT) moment verkar, måste det interna virtuella arbetet beräknas utifrån den korrekta variationen av rotationsfältet. För detta ändamål används ofta QT-1 och QT-2 momentbegreppen som generaliserade interna krafter, anpassade till den icke-linjära geometri och komplexa tvärsnittsrespons som karakteriserar moderna ramstrukturer.

Det som i praktiken blir avgörande för konvergens och noggrannhet i dessa beräkningar är vald metod för last- eller förskjutningskontroll. Metoder såsom den generaliserade förskjutningskontrollen (GDC) eller ren inkrementell laststyrning implementeras beroende på om systemet uppvisar singulariteter i sin tangentstyvhet, vilket ofta sker nära gränspunkter som limit-points eller snap-back-punkter. För dessa fall krävs särskilda prediktor–korrektor-algoritmer, ofta baserade på Newton–Raphson-iterationer, kompletterade med utvärdering av stabilitetsmått som determinanten av den globala styvhetsmatrisen.

Slutligen måste man i tillämpningar som inkluderar postbuckling eller interaktion mellan flera instabilitetsmekanismer, exempelvis i flernodiga kupoler eller ramar med lokal torsion, använda en total Lagrange-formulering (TL). Denna tillåter inkrementellt arbete från en fixerad referenskonfiguration och bibehåller således kontroll över materialets geometriska och fysikaliska egenskaper genom hela analysen.

Att förstå kopplingen mellan konstitutiv teori, variabel geometri, och numerisk implementation är fundamentalt för korrekt tillämpning. Det räcker inte att formulera rätt matrisekvationer – det krävs även fysisk intuition kring hur intern kraftfördelning förändras när strukturen deformeras. Den som inte korrekt hanterar detta kommer att konfronteras med icke-fysiska lösningar, numerisk instabilitet eller feltolkning av strukturellt beteende.