Hur beskriver man det allmänna fysiska beteendet hos en solid kropp inom ramen för icke-linjära truss-element?

I avsnitt 4.4 kommer det att visas att alla högre ordningens matriser som härleddes i avsnitt 4.2 kan presenteras i en symmetrisk form, vilket är särskilt praktiskt ur ett dataprogrammeringsperspektiv. Formuleringsproceduren som presenteras i avsnitt 4.2–4.4 för det plana truss-elementet kan enkelt utvidgas till det tredimensionella fallet, som visas i avsnitt 4.5. Av särskilt intresse är övervägandet av truss-elementens styvhetskarakteristika i kraftåtervinningsprocedurerna i avsnitt 4.6, tillsammans med fallstudier av två exempel i avsnitt 4.7. En stor del av materialet som presenteras i kapitlet har hämtats från Leu och Yang (1990). Materialet från källartikeln har bearbetats, omorganiserats och kompletterats på ett sätt som gör att en mer systematisk och smidigare presentation bibehålls genom hela texten baserat på en enhetlig notation.

För att förstå det fysiska beteendet hos en solid kropp i en truss, måste vi ta hänsyn till hur olika fysiska egenskaper som sträckning och rotationer behandlas i en icke-linjär analys. I den uppdaterade Lagrangian-formuleringen används den senast kända konfigurationen som referenspunkt för att etablera jämviktsekvationen för kroppen i den aktuella konfigurationen. Denna metod, som är helt baserad på de uppdaterade Green-sträcken och stresskomponenterna, gör det möjligt att förutsäga kroppens beteende på ett exakt sätt utan att förenkla problemet genom approximativa metoder.

Vid analysen av truss-element i icke-linjära modeller är det viktigt att komma ihåg att det endast är den axiala komponenten av stress och strain-tensorer som beaktas. Den axiala spänningen och sträckningen, som definieras som εxx = exx + ηxx, är avgörande för att beskriva beteendet i en truss under belastning. Genom att använda det inkrementella konstitutiva sambandet, där spänningarna är relaterade till sträckningarna genom elasticitetsmodulen E, kan man beskriva hur de fysiska förändringarna uppstår i materialet under belastning.

För truss-elementet måste de axialkomponenter som definieras vid de två ändarna av elementet (punkterna A och B) beaktas. Nodaldisplacementen som uppstår under belastningen i truss-elementet är en kombination av translationella och rotatoriska rörelser, där de relativa nodala förskjutningarna Δu och Δv avgör sträckningen och de icke-linjära komponenterna som bidrar till deformationen. Det är här som de icke-linjära komponenterna som ηxx spelar en avgörande roll, eftersom de representerar de effekter som inte kan förutsägas med linjära modeller.

I ekvationen som beskriver de externa virtuella arbetena, som till exempel den ekvationen som nämns i avsnitt 4.4, görs antagandet att de kroppsliga krafterna är försumbara, vilket förenklar analysen och gör att den fokuserar på yttre krafter och deras påverkan på kroppen. Genom att noggrant beakta denna förenkling och de specifika krafter som är relaterade till truss-elementets deformation, kan man vidareutveckla modellen för att bättre förstå och tillämpa den i praktiska ingenjörsproblem.

För att sammanfatta, i den icke-linjära analysen av truss-element är det avgörande att korrekt beskriva alla komponenter av sträckning och de rotationsrörelser som förekommer. Genom att arbeta med de inkrementella ekvationerna för jämvikt och använda en uppdaterad referenskonfiguration kan man skapa en detaljerad och exakt modell som fångar de verkliga beteendena hos det fysiska systemet. Samtidigt är det viktigt att förstå att den linjära och icke-linjära komponenten av sträckningen tillsammans påverkar truss-elementets respons på de applicerade krafterna.

Det är också viktigt att förstå att den icke-linjära modellen inte bara gäller för plana truss-element utan kan utvidgas till mer komplexa strukturer. Detta kräver att ingenjörerna har en god förståelse för både de fysikaliska egenskaperna hos materialen och de matematiska verktygen som krävs för att lösa dessa ekvationer, vilket gör det möjligt att utveckla mer sofistikerade modeller och simuleringsmetoder. Vidare måste ingenjörerna också ta hänsyn till den möjliga interaktionen mellan olika krafter och deformationer i mer komplexa strukturer och säkerställa att alla aspekter beaktas vid konstruktion och analys av dessa system.

Geometrisk icke-linjär analys av ramar: Förståelse för grundläggande parametrar och beräkningsmetoder

Geometrisk icke-linjär analys av ramar innebär att man tar hänsyn till de förändringar i strukturen som uppstår under belastning, där de deformationer som sker inte är små. Detta kräver att man skiljer på den aktuella tillståndet och det initiala tillståndet för strukturen, särskilt när det gäller definitioner av påkänningar och spänningar samt beräkning av elementkrafter. För att kunna utföra en sådan analys, används en rad tekniska parametrar och formuleringar som är grundläggande för att säkerställa noggrannheten och effektiviteten i beräkningarna.

När vi talar om en ramstruktur är det vanligt att dessa består av slanka element, där längden på varje element är mycket större än dess tvärsnittsdimensioner, såsom bredd och djup. För sådana strukturer, där vi hanterar axiala krafter, skjuvkrafter, moment och vridmoment, används ett antal parametrar för att beskriva deras beteende under belastning. I en truss, som är en specialform av en ramstruktur, finns endast de axiala krafterna närvarande.

För att förstå de tekniska detaljerna och utföra rätt beräkningar behöver vi först beakta begreppen "strukturens styvhet" och hur den förändras när externa krafter appliceras. Detta görs genom att använda olika styvhetsmatriser, som [K], [Ke] och [Kg], som representerar den elastiska, linjära och geometriska styvheten hos strukturen. Varje element i en ramstruktur, oavsett om det är en balk eller en truss, påverkas av förändringar i dess styvhet under last, och dessa förändringar kan modelleras genom dessa matriser.

Den geometriska styvheten är en kritisk parameter när vi talar om icke-linjära analyser, eftersom den tar hänsyn till hur strukturen förändras vid olika lastnivåer. Ett exempel på detta är det geometriska styvhetsmatriset [kg], som beskriver hur styvheten för ett element ändras i samband med en förändring i strukturens form och position. För att säkerställa korrekthet i beräkningarna och kunna simulera strukturella förändringar på ett realistiskt sätt, används en incremental-iterativ metod där lasten appliceras i flera steg.

Under denna analys beaktas också de moment och krafter som uppstår vid varje nod, och hur dessa krafter samverkar för att skapa de totala deformationerna i strukturen. När externa krafter, som ett yttre moment eller axiala krafter, appliceras på en ramstruktur, förändras elementens lägen och deformationer, vilket kräver att man ständigt uppdaterar både position och orientering för varje element. Detta görs genom att använda vektorer för förskjutning och rotationsmatriser för att beräkna de nödvändiga förändringarna i varje nod.

Vid beräkning av moment, krafter och deformationer är det också viktigt att förstå koncepten som rör kritiska värden. Dessa kritiska moment och laster, såsom Mcr och Pcr, definierar de punkter där strukturen riskerar att förlora sin stabilitet och genomgå plötsliga och stora deformationer, som i fallet med buckling. När man genomför en icke-linjär analys av strukturer är det viktigt att förstå att dessa kritiska värden är beroende av både materialegenskaper och den geometriska uppbyggnaden av strukturen.

En annan viktig aspekt är att den uppdaterade Lagrange-formuleringen (UL) används för att hantera de komplexa icke-linjära effekterna. UL-formuleringen erbjuder en mer effektiv beräkningsmetod än den totala Lagrange-formuleringen, särskilt när det gäller att hantera stora deformationer och när strukturen genomgår betydande geometriska förändringar under belastning. Denna formulering gör det möjligt att noggrant beräkna både deformationer och krafter i varje steg av den incrementella lasten.

För att korrekt förstå och tillämpa dessa tekniska parametrar i praktiken, är det också viktigt att ha en grundläggande förståelse för materialegenskaper, som Poissons tal (ν), och hur dessa egenskaper påverkar deformationerna och stabiliteten hos ramstrukturer. Vid icke-linjär analys beaktas också de olika typerna av spänningar, såsom Cauchy- eller Euler-spänningar, som måste beräknas för varje nod och element för att få en korrekt bild av strukturell stabilitet.

Sammanfattningsvis innebär en icke-linjär geometrisk analys av ramstrukturer en noggrann och iterativ process, där varje element i strukturen behandlas individuellt med hänsyn till de förändringar som uppstår under belastning. Genom att använda en uppdaterad Lagrange-formulering och noggrant definiera de relevanta parametrarna kan ingenjörerna säkerställa att deras beräkningar är exakta och realistiska, vilket är avgörande för att förutse och undvika strukturella fel och kollaps.