Är R ett ordnat fält som inducerar den naturliga ordningen på Q?

R är en delring av QN, vilket innebär att R är en undergrupp av QN som innehåller elementet 1, och att c0 är ett icke-trivialt korrekt ideal i R. För att bevisa detta, låt r = (rn) och s = (sn) vara element i R och N vara ett naturligt tal. Eftersom varje Cauchy-sekvens är begränsad, finns det ett B ∈ N× sådant att |rn| ≤ B och |sn| ≤ B för alla n ∈ N. Sätt M := 2BN ∈ N×. Då finns det ett n0 ∈ N sådant att |rn − rm| < 1/M och |sn − sm| < 1/M för alla m, n ≥ n0. Från detta får vi de ojämlikheter som visar att r + s och r · s tillhör R, vilket innebär att R är en delring av QN.

För att definiera ordningen på R, säger vi att ett element r = (rn) ∈ R är strikt positivt om det finns ett N ∈ N× och n0 ∈ N sådant att rn > 1/N för alla n ≥ n0. P är mängden av strikt positiva Cauchy-sekvenser, det vill säga P := { r ∈ R ; r är strikt positiv }. Relationen ≤ på R definieras av [r] ≤ [s] om och endast om s − r tillhör P ∪ c0.

För att visa att R är ett ordnat ring, noterar vi att ≤ är reflexiv och att den är transitiv. Antisymmetri bevisas genom att om [r] ≤ [s] och [s] ≤ [r], då måste r − s tillhöra c0. Detta bevisar att ≤ är en partiell ordning på R. Vidare, för varje r, s ∈ R, om varken r − s eller s − r är strikt positiva, så finns det för varje N ∈ N× ett n ≥ N sådant att |rn − sn| < 1/N. Detta innebär att r − s är en null-sekvens och tillhör c0. Därför är R totalt ordnat enligt ≤.

För att bevisa att R är ett fält, måste vi visa att varje element i R är invertibelt. Om [r] ∈ R×, så finns det en invers [s]. Vi kan förutsätta att r tillhör P. Då definieras s = (sn) genom att sätta sn := 1/rn för n ≥ n0. Eftersom r är en Cauchy-sekvens och s är definierad på ett sätt som bevarar Cauchy-egenskaperna, tillhör s också R. Eftersom [r] [s] = 1, så är [r] invertibelt.

Slutligen, enligt Lemma 6.9 och Proposition 6.10, samt definitionen av ordningfullhet, kan vi sluta oss till att R är ett ordningfullt komplett ordnat förlängningsfält av Q. Detta bevisar att vi har konstruerat de reella talen från rationella tal.

Viktiga aspekter att förstå:

För att riktigt förstå denna teori är det avgörande att ha en djupare förståelse för Cauchy-sekvenser och hur de fungerar i relation till de rationella och reella tärdernas konstruktion. Här handlar det inte bara om att förstå att ordningarna är kompatibla och att strukturerna fungerar, utan också om att inse vikten av att använda Cauchy-egenskaper för att definiera och förstå konvergens inom olika matematiska system. Användningen av ideal och de egenskaper som de ger oss, särskilt när det gäller att definiera subringar och deras relationer till fält och ordningar, är också fundamental för att fullt förstå ordningens och Cauchy-sekvensernas roll i denna matematiska konstruktion.

Hur bevisar man att mängder och serier kan vara räkneliga?

Speciellt, enligt Proposition I.6.7, är mängden $X := \{ 0.x_{n,1}x_{n,2}\dots \mid x_{n,k} = 2, n \in \mathbb{N}, k \in \mathbb{N}^* \}$ räknelig. Eftersom $X$ uppenbarligen är ekvivalent med $\{ 0, 1 \}^\mathbb{N}$, har vi visat att $\{ 0, 1 \}^\mathbb{N}$ är räknelig. Detta står i motsats till Proposition I.6.11, vilket leder till en paradox.

Utöver detta är det värt att förstå att när vi pratar om "räknelighet" i matematiken, hänvisar vi till den egenskapen att en mängd kan sättas i bijektiv korrespondens med de naturliga talen $\mathbb{N}$. Detta innebär att även om en mängd är oändlig, kan dess element ändå vara ordnade på ett sätt som gör det möjligt att lista dem utan att förlora något element. Det är detta som gör begreppet räkneliga oändligheter så intressant och viktigt inom mängdteori och analys.

När det gäller serier som den alternerande harmoniska serien, $\sum (-1)^k \frac{1}{k}$, ser vi en viktig skillnad mellan vanlig konvergens och absolut konvergens. Trots att den alternerande serien konvergerar, gör inte serien av absoluta värden det. Detta är ett exempel på en serie som konvergerar "villkorligt", vilket betyder att den konvergerar, men om vi summerar de absoluta värdena, kommer serien att divergera. Här kan begreppen som "villkorlig konvergens" och "absolut konvergens" bidra till en djupare förståelse av seriers beteende.

Det är också värt att beakta att även om en serie konvergerar, är det inte alltid klart att den gör det på ett "snabbt" eller "effektivt" sätt. Till exempel, i det fall av ett oändligt snigelproblem, där ett objekt rör sig över en förlängd gummiband, kan frågan om det kommer att nå sitt mål inom en ändlig tid bero på hur snabbt det rör sig i förhållande till bandets tillväxt. Detta är en illustration av hur komplexa seriers och sekvenser beteende kan vara beroende av både deras hastighet och deras struktur.

Hur trigonometriska polynom kan approximera funktioner i C2π(R, K)

Ett viktigt resultat inom funktionalanalys och approximationsteori är att trigonometriska polynom kan användas för att approximera kontinuerliga funktioner på den reella linjen, särskilt de funktioner som är 2π-periodiska. Detta har stor betydelse, inte bara för ren matematik utan också för tillämpningar inom fysik, signalbehandling och datavetenskap. Vi har här att göra med en teoriram som fokuserar på Banach-algebror, där C2π(R, K) är en Banach-algebra med enhetsfunktionen 1, och underliggande trigonometriska polynom är täta i denna algebra.

För att förstå detta behöver man börja med en grundläggande observation: om en sekvens av 2π-periodiska funktioner konvergerar uniformt, så är också gränsfunktionen 2π-periodisk. Det betyder att C2π(R, E) är en sluten delmängd av Banachrummet BC(R, E), och därmed är även C2π(R, E) själv ett Banachrum. En viktig egenskap i denna teori är att cis∗ fungerar som en bijektion från rummet C(S, E) till C2π(S, E), och denna bijektion är dessutom isometrisk.

För alla funktioner f ∈ C(S, E), gäller att normerna i C2π kan uttryckas som maximivärden av funktionen på intervallet [−π, π]. Detta resultat härleds direkt ur periodicitetsprinciperna som styr dessa funktioner. Eftersom cis∗ är en isometrisk abelsomorfism från C(S, K) till C2π(R, K), kan vi, genom att använda isomorfismen, överföra algebraiska operationer från det ena rummet till det andra utan att påverka normer eller kontinuitet.

I detta sammanhang är det viktigt att notera att även om trigonometriska polynom är täta i C2π(R, K), kan vissa egenskaper av approximationen vara beroende av specifika val av koefficienter. Till exempel, för att trigonometriska serier ska konvergera uniformt, krävs det att specifika villkor uppfylls för koefficienterna $a_k$ och $b_k$. Detta problem ger upphov till en rad viktiga frågeställningar, såsom:

• Under vilka förutsättningar konvergerar trigonometriska serier uniformt?

• Kan varje 2π-periodisk kontinuerlig funktion representeras av en trigonometrisk serie?

För att svara på dessa frågor, kan Weierstrass majorantkriterium användas som en tillräcklig betingelse för att säkerställa uniform konvergens.

För praktiska tillämpningar kan den ena representationen av dessa funktioner i rummet C(S, K) vara mer bekväm för algebraiska operationer och abstrakta resonemang, medan den andra representationen i C2π(R, K) är att föredra när det gäller konkreta realiseringar av 2π-periodiska funktioner. Det är också viktigt att förstå att dessa representationer och approximationer underlättar beräkningar och teoribyggen, särskilt när man studerar funktioners egenskaper och gränsvärden.

Därtill är det viktigt att notera att en trigonometrisk serie inte alltid konvergerar i alla fall, och att detaljer som uniform konvergens och specifika krav på de trigonometri koefficienterna måste beaktas. Den teoretiska grundvalen för dessa resultat gör det möjligt att tillämpa teorin på både abstrakta och konkreta problem, vilket gör den till en kraftfull metod för att arbeta med funktioner i olika områden av matematik och tillämpningar.