För att förstå distributionsderivator och deras tillämpningar på funktioner inom Sobolevrum är det viktigt att börja med att definiera dessa derivator i distributionssinnet. Detta görs genom att använda den svaga derivatan, som kan ses som en generalisering av den vanliga derivatan i klassiska funktioner. Den svaga derivatan gör det möjligt att hantera funktioner som inte är klassiskt deriverbara, men som ändå har en väl definierad derivata i distributionssinnet.

För att illustrera detta, anta att u∈Lloc1(R)u \in L^1_{\text{loc}}(\mathbb{R}) definieras av u(x):=∣x∣u(x) := |x| för x∈Rx \in \mathbb{R}. Då är uu svagt deriverbar, och dess svaga derivata ges av du=sign(x)du = \text{sign}(x), där signumfunktionen definieras som:

sign(x)={1,om x>0,0,om x=0,−1,om x<0.\text{sign}(x) = \begin{cases} 1, & \text{om } x > 0, \\ 0, & \text{om } x = 0, \\ -1, & \text{om } x < 0.
\end{cases}

För att bevisa detta, kan vi använda en integration genom delar. För v∈D(R)v \in D(\mathbb{R}) (där D(R)D(\mathbb{R}) är mängden av testfunktioner som är oändligt deriverbara med kompakt stöd), gäller att:

∫−∞∞p′(x)u(x) dx=∫−∞∞p′(x)sign(x) dx.\int_{ -\infty}^{\infty} p'(x) u(x) \, dx = \int_{ -\infty}^{\infty} p'(x) \text{sign}(x) \, dx.

Genom att använda integration genom delar får vi:

∫−∞∞p′(x)u(x) dx=−∫−∞∞p(x)sign(x) dx.\int_{ -\infty}^{\infty} p'(x) u(x) \, dx = - \int_{ -\infty}^{\infty} p(x) \text{sign}(x) \, dx.

Därmed har vi visat att sign(x)\text{sign}(x) är den svaga derivatan av ∣x∣|x|. Det är viktigt att notera att sign(x)\text{sign}(x) tillhör Lloc1(R)L^1_{\text{loc}}(\mathbb{R}), vilket innebär att det är en distributionsfunktion som kan integreras lokalt.

Å andra sidan, trots att sign(x)\text{sign}(x) är en funktion i Lloc1(R)L^1_{\text{loc}}(\mathbb{R}), är den inte svagt deriverbar. Detta kan ses genom att undersöka följande:

För p∈D(R)p \in D(\mathbb{R}), har vi:

∫−∞∞p′(x)sign(x) dx=−2p(0).\int_{ -\infty}^{\infty} p'(x) \text{sign}(x) \, dx = -2p(0).

Om sign(x)\text{sign}(x) var svagt deriverbar, skulle det existera en funktion v∈Lloc1(R)v \in L^1_{\text{loc}}(\mathbb{R}) sådan att:

∫−∞∞p′(x)v(x) dx=−2p(0)\int_{ -\infty}^{\infty} p'(x) v(x) \, dx = -2p(0)

för alla testfunktioner pp. Detta är dock falskt, vilket bevisar att sign(x)\text{sign}(x) inte är svagt deriverbar.

För att fortsätta förståelsen av distributionsderivator är det viktigt att bekanta sig med konceptet av distributioner som generaliserar både funktioner och deras derivator. I distributionsramen definieras en distributionsderivata som:

⟨T′,p⟩=−⟨T,Dp⟩\langle T', p \rangle = -\langle T, Dp \rangle

där ⟨T,p⟩\langle T, p \rangle är dualiteten mellan en distribution TT och en testfunktion pp. Distributionen sign(x)\text{sign}(x) är alltså en distributionsfunktion som i svag mening har derivatan δ(x)\delta(x), Dirac-deltan, som en fördelning, vilket innebär att vi får en diskret "spik" vid x=0x = 0.

Den här idén om svaga derivator är användbar inom många områden, särskilt i Sobolevrum, där man studerar funktioner och deras svaga derivator i normer som LpL^p-rum. I Sobolevrum kan man definiera derivator på ett sätt som tillåter funktioner som är oregelbundna i klassisk mening, men som ändå är användbara i analys och PDE-teori.

I Sobolevrum Wk,p(Rn)W^{k,p}(\mathbb{R}^n), där kk representerar graden av derivator och pp den LpL^p-norm som används, kan svaga derivator definieras genom integration mot testfunktioner, vilket gör det möjligt att hantera funktioner som inte har klassiska derivator överallt. Detta är särskilt användbart i teorin om partiella differentialekvationer, där man ofta arbetar med svaga lösningar istället för klassiska lösningar.

Vidare är det viktigt att förstå hur distributionsderivator interagerar med konvolutioner. För två funktioner ff och gg i LpL^p, är konvolutionen f∗gf * g väl definierad och tillhör C0C^0, utrymmet av kontinuerliga funktioner. Detta leder till resultat som involverar konvolutionsoperatorer, där konvolutionen mellan funktioner i LpL^p-rum ger kontinuerliga funktioner.

För en funktion f∈Lloc1f \in L^1_{\text{loc}}, och om daf∈Lloc1\text{d}a f \in L^1_{\text{loc}}, så gäller att:

da(f∗p)=(daf)∗p=f∗(dap)\text{d}a (f * p) = (\text{d}a f) * p = f * (\text{d}a p)

för p∈BC0p \in BC^0, där BC0BC^0 är rummet av funktioner med begränsad kontinuitet. Detta innebär att svaga derivator kan bevaras genom konvolutioner, vilket gör detta till ett användbart verktyg inom funktionalanalys och partiella differentialekvationer.

Hur Fouriertransformen fungerar på funktioner i L1L^1 och snabbt avtagande funktioner

För en funktion f∈L1f \in L^1 definieras Fouriertransformen FfFf som ett avbildningsoperator på L1L^1-rummet. Om vi låter FfFf vara den vanliga Fouriertransformen, så är den väl definierad på L1L^1-rummet, och den resulterande funktionen tillhör också ett specifikt funktionellt utrymme BCBC, vilket innebär att det är en funktion som är kontinuerlig och tillhör en viss kategori av rum där funktioner är kontrollerade med avseende på sina värden och derivator.

Det är också möjligt att definiera den inversa Fouriertransformen. Om f∈L1f \in L^1, så kan den inversa Fouriertransformen F−1F^{ -1} definieras på följande sätt: för x∈Rnx \in \mathbb{R}^n,

f^(x)=1(2π)n/2∫Rne−ix⋅yf(y) dy\hat{f}(x) = \frac{1}{(2\pi)^{n/2}} \int_{\mathbb{R}^n} e^{ -ix \cdot y} f(y) \, dy

Det är en viktig egenskap att både Fouriertransformen och den inversa Fouriertransformen är kontinuerliga automorfier på L1L^1, vilket betyder att de behåller funktionernas kontinuitet och inte introducerar några diskontinuiteter i den transformativa processen. Detta resultat är fundamentalt för förståelsen av hur Fouriertransformen fungerar och bekräftar dess stabilitet under operationer.

Vidare, för att undersöka egenskaperna hos Fouriertransformen på mer specifika funktioner, används grupper av dilatationer. För ett positivt A>0A > 0, definieras en operator axa_x som en skalning av funktioner på Rn\mathbb{R}^n. För f∈L1f \in L^1, ger denna operator en funktion axfa_x f som är en version av ff som är skalad med en faktor AA. När denna operator appliceras på en funktion i L1L^1, bevaras de grundläggande egenskaperna hos Fouriertransformen, vilket gör att resultaten förblir konsistenta även under sådana transformationer.

En annan viktig observation är att för funktioner som snabbt avtar, eller "rapidly decreasing functions", är Fouriertransformen särskilt hanterbar. En funktion f∈C∞f \in C^\infty sägs vara snabbt avtagande om den för varje ordnad par av icke-negativa heltal (k,m)(k, m), existerar en konstant ck,m>0c_{k,m} > 0 sådan att

(1+∣x∣2)k∣∂af(x)∣≤ck,m(1 + |x|^2)^k |\partial^a f(x)| \leq c_{k,m}

För sådana funktioner avtar f(x)f(x) snabbt när ∣x∣→∞|x| \to \infty, vilket innebär att både funktionen och dess alla derivator blir små tillräckligt snabbt. Detta gör att Fouriertransformen av snabbt avtagande funktioner är särskilt effektiv och väldefinierad i många sammanhang.

Denna typ av funktioner är särskilt användbar när vi vill bevisa täthetsegenskaper och diskutera approximationer. Om en funktion f∈Sf \in S är en snabbt avtagande funktion, så är det möjligt att approximera den med hjälp av en sekvens av andra snabbt avtagande funktioner. Detta möjliggör täthet av funktioner i specifika funktionella utrymmen, och det ger oss också en metod att definiera convolutionsoperationer på snabbt avtagande funktioner, som också kommer att vara snabbt avtagande.

Det är också av stor vikt att förstå egenskaperna hos konvolutionen när vi arbetar med snabbt avtagande funktioner. När vi tar konvolutionen mellan två sådana funktioner, säg ff och gg, så kommer resultatet f∗gf * g också att vara en snabbt avtagande funktion. Det innebär att om f∈Sf \in S och g∈Sg \in S, så är konvolutionen f∗gf * g fortfarande en funktion som tillhör samma funktionella rum SS, och den bevarar de snabbt avtagande egenskaperna hos ff och gg.

För att bevisa dessa egenskaper, kan man använda densitetsargument. Om f∈Sf \in S, det vill säga om ff är snabbt avtagande, och g∈Sg \in S är också snabbt avtagande, så kommer konvolutionen f∗gf * g att befinna sig inom ramarna för den konvolutionella algebra som definieras för SS, och den kommer att vara en kontinuerlig och bilinjär funktion.

För vidare förståelse är det viktigt att inte bara förstå dessa transformationer och egenskaper i abstrakt form, utan också att kunna tillämpa dem i olika praktiska sammanhang. Fouriertransformen används inom många områden, från signalbehandling till kvantmekanik, och det är avgörande att förstå hur den fungerar på olika typer av funktioner för att kunna göra användbara approximationer och beräkningar.

Hur man konstruerar en fullständig måttstruktur och förstår outer measures

Anta att (X,A,p)(X, A, p) och (X,A,v)(X, A, v) är ändliga måttrum. Frågan som vi undersöker är om (X,A,p)=(X,A,v)(X, A, p) = (X, A, v). Detta problem berör den grundläggande frågan om två olika mått pp och vv kan vara lika om de definieras på samma mängd och sigma-algebra. För att bevisa eller motbevisa detta behöver vi noggrant analysera definitionerna av mått och deras egenskaper, särskilt i fall där det handlar om att uttrycka ett mått på sätt som kan tolkas på ett standardiserat sätt.

Vidare, om (X,A)(X, A) är ett måttrum och N⊂AN \subset A är en samling med vissa egenskaper, såsom 0∈N0 \in N, σ\sigma-subadditivitet och inneslutande, kan man konstruera ett mått pp på (X,A)(X, A) där N\mathcal{N} är en specifik mängd inom denna sigma-algebra. Det innebär att måttet pp har den önskade egenskapen att relatera till mängden N\mathcal{N}, vilket är viktigt när man arbetar med mätbara mängder som inte nödvändigtvis är enkla att visualisera i vardaglig geometri.

För ett mer komplext exempel, tänk på när XX är en oändlig mängd och AA består av alla delmängder av XX där AA eller AcA^c är räkneliga. Här definieras måttet p(A)p(A) som 0 om AA är räknelig, och oändligt annars. Detta mått är intressant eftersom det innebär att alla "storlekar" av icke-räkneliga mängder är oändliga, och ger oss en möjlighet att undersöka fullständigheten i måttrum när det gäller olika typer av mätbara mängder.

I detta sammanhang spelar begreppet atom ett avgörande roll. Om (X,A,p)(X, A, p) är ett måttrum, och A∈AA \in A är en pp-atom, så betyder det att p(A)>0p(A) > 0 och för varje B∈AB \in A med B⊂AB \subset A, antingen p(B)=0p(B) = 0 eller p(A∖B)=0p(A \setminus B) = 0. I sådana fall kan vi bevisa att för varje delmängd av en atom, antingen är måttet lika med hela atomen eller noll. Detta ger en grundläggande egenskap som måste beaktas när vi arbetar med atomära delar av ett måttrum.

För att fördjupa förståelsen av mått på olika sätt bör vi betrakta konstruktionen av outer measures. En outer measure är en funktion definierad på alla delmängder av en given mängd XX, och har vissa men inte alla egenskaper av ett mått. En viktig aspekt är att outer measures tillåter oss att närma oss mätning av mer komplexa objekt, såsom ytor eller volymer, på ett sätt som inte är möjligt med de enklare måtten vi har sett hittills. Till exempel, när vi konstruerar outer measures på Rn\mathbb{R}^n, gör vi det genom att definiera volymen av en mängd som infimum av volymer av en sekvens av intervall som täcker mängden.

Det nödvändiga steget här är att förstå hur man definierar en outer measure på Rn\mathbb{R}^n och varför det är användbart. En sådan outer measure, kallad Lebesgue outer measure, kan konstrueras för att mäta volymen av mängder i Rn\mathbb{R}^n på ett sätt som är konsekvent med vårt vardagliga begrepp om längd, area och volym för intervall och rektanglar i två och tre dimensioner. Det intressanta är att genom att använda outer measures kan vi få en förståelse för hur "mängder" kan täckas av en samling av öppna eller slutna intervall och hur vi kan approximera deras volymer på ett sätt som överensstämmer med de klassiska geometriska definitionerna.

När vi vidare undersöker konceptet för att använda intervalldekonstruktioner, som öppna, vänster stängda eller höger stängda intervall, kan vi visa att alla dessa typer av intervall faktiskt leder till samma resultat för den Lebesgue outer measure, vilket är en bekräftelse på hur robust detta begrepp är och hur det tillåter oss att definiera mått i en mer generell och flexibel form.

Det är också viktigt att notera att den yttre måtten, särskilt i samband med konstruerade mått som Lebesgue måttet, har en avgörande roll i teorin om mätbarhet. Genom att förstå outer measures får vi ett verktyg för att hantera mer komplexa problem som inte kan lösas genom de enklare metoderna som används i grundläggande måttteori. Denna förståelse öppnar dörren för att bygga mer avancerade strukturer för att mäta olika typer av geometriska objekt och för att arbeta med begrepp som volym, area och mått på ett mycket mer allmänt sätt.

Hur symmetri påverkar kvantmekaniska system
Vilka egenskaper gör övergångsmetall-dichalkogenider och LDH-material lovande för katalytiska tillämpningar?
Hur kan avancerade algoritmer och metoder förbättra felidentifiering i halvledartillverkning?
Hur kan du sälja med självförtroende och utveckla dina säljkunskaper?