Hur kan vi förstå von Neumann–Morgenstern representationer i preferensordningar?

Inom teorin om förväntad nytta, bygger mycket på de så kallade von Neumann–Morgenstern representationerna. Dessa används för att beskriva hur individer kan uttrycka sina preferenser för osäkra alternativ, det vill säga situationer där resultatet inte är deterministiskt utan beroende av sannolikheter. Ett sätt att få fram en von Neumann–Morgenstern-representation av en preferensordning är att anta att ordningen är kontinuerlig och uppfyller oberoende-axiomet.

Vi definierar först en funktion $U$ på mängden $M$ av alla sannolikhetsmått som är absolut kontinuerliga med avseende på en given σ-algebra. Funktionen $U$ ges som $U(\mu) = \int x \, \mu_a(dx)$ , där $\mu_a$ är den absolut kontinuerliga delen av måttet $\mu$ . Det är lätt att se att $U$ är en affin funktion, vilket betyder att det inducerar en preferensordning $\succ$ på mängden $M$ . Denna ordning kommer att uppfylla både Archimedeans axiom och oberoende-axiomet.

Trots att $\succ$ induceras av en sådan funktion, kan den dock inte ha en von Neumann–Morgenstern-representation. Detta beror på att om vi skulle försöka använda $U$ för att representera preferenser i en sådan form, skulle det leda till en trivial preferensordning där alla alternativ är likvärdiga, vilket inte är i linje med verkliga preferenser. Till exempel, om $U(\delta_x) = 0$ för alla $x$ , kan den enda möjliga valbara nyttan vara $u \equiv 0$ , vilket gör att alla mått $\mu$ skulle vara indifferent, i strid med det faktum att vissa mått faktiskt skulle föredras framför andra.

För att lösa detta problem kan vi anta ytterligare kontinuitetsvillkor för $\succ$ , vilket gör att en von Neumann–Morgenstern-representation kan existera. Om preferensordningen är kontinuerlig och uppfyller oberoende-axiomet, och om vi arbetar med sannolikhetsmått på ett separabelt metrisk rum $S$ , kan vi visa att en sådan representation existerar. Specifikt kommer detta att innebära att det finns en funktion $u$ som är kontinuerlig och begränsad, och som kan användas för att representera preferenserna på ett numeriskt sätt: $U(\mu) = \int u(x) \, \mu(dx)$ .

En viktig aspekt här är att $u$ är unik upp till positiva affina transformationer. Detta innebär att även om det finns flera funktioner som kan användas för att representera samma preferensordning, så kommer de att vara relaterade till varandra på ett sätt som inte påverkar själva ordningen eller de relativa preferenserna.

Detta tillvägagångssätt ger oss en grundläggande förståelse för hur preferenser kan representeras numeriskt, men det finns också ett intressant problem med att generalisera dessa idéer till mer komplexa preferensstrukturer, som de som är definierade av riskaversion. Till exempel, om vi antar en funktion $u$ som är konkav, vilket är fallet för riskaversion, kan den inte vara begränsad om den inte är konstant. Därför måste vi slappna av vissa antaganden, och i vissa fall överväga att funktionerna är oändliga, vilket kräver starkare kontinuitetsvillkor.

För att vidare generalisera kan vi arbeta med en utvidgad mängd $M_b(S)$ , som inkluderar alla sannolikhetsmått med begränsad stöd, det vill säga där varje mått är koncentrerat till en slutlig mängd. Under vissa antaganden om kontinuitet och oberoende kan vi visa att en von Neumann–Morgenstern-representation också existerar för dessa mer komplexa fall, där funktionerna kan vara både kontinuerliga och definierade över hela $S$ .

Det är också viktigt att förstå de mer praktiska tillämpningarna av dessa teorier. I verkliga livet tenderar människor inte alltid att agera enligt den klassiska teorin om förväntad nytta. Ett exempel på detta är det så kallade Allais-paradoxen, som visar att individer inte alltid föredrar det alternativ med högst förväntat värde. I vissa fall föredrar individer mer riskfyllda alternativ, trots att de inte erbjuder högre förväntad nytta. Detta illustrerar hur de teoretiska modellerna kan misslyckas med att beskriva faktisk mänsklig beteende, vilket gör det viktigt att förstå både de matematiska grundvalarna och de praktiska begränsningarna av dessa modeller.

Hur påverkar olika riskmått vårt beslutstagande och förståelse av ekonomiska processer?

Vid behandling av riskmått inom ekonomiska och finansiella sammanhang är det viktigt att förstå hur olika metoder och representationer påverkar vårt sätt att analysera och fatta beslut baserade på risk. Ett centralt ämne inom denna typ av analys är användningen av mått som tar hänsyn till såväl positiva som negativa resultat av ekonomiska processer. Här ska vi fokusera på hur man genom olika riskmått, som g-divergens och tillhörande strafffunktioner, kan förstå och hantera risker som inte alltid är uppenbara vid första anblick.

För att börja, låt oss betrakta riskmåttet ρ(X) som relaterar till en viss sannolikhetsmåttsfunktion P. När vi tittar på den konvergens som uppstår i samband med riskmått och deras strafffunktioner, inser vi snabbt att dessa mått inte är kontinuerliga från nedan när sannolikhetsrummet inte kan reduceras till en ändlig mängd. Ändå kan vi fortfarande använda en dual representation för att hantera sådana situationer. För exempelvis ett g-divergensmått, som definieras genom en nedre semicontinuerlig konvex funktion g, kan denna representation ge oss ett sätt att uttrycka och förstå risk på ett strukturerat sätt, där måttet ρ(X) i denna kontext definieras som ett suprema av ett förväntat värde minus g-divergens.

Denna typ av representation bygger på det grundläggande konceptet att risk inte endast kan ses som en direkt konsekvens av osäkerhet utan också som ett resultat av att observera och hantera de yttersta värdena av vissa variabler, t.ex. negativa eller extrema utfall, vilket ofta leder till mer realistiska och användbara mått när vi söker efter minimala straff för olika beslut.

Om vi ser på exempel från praktiken, där riskmåttet ρ(X) är beroende av en funktion ℓ(x), som kan ses som en funktion av utfallet av en viss ekonomisk variabel, så får vi en mer komplex bild av hur risk och förväntningar kan relateras till varandra. Genom att utnyttja egenskaper som semi-kontinuitet och använda resultat som Fatous lemma, kan vi säkerställa att vi hanterar gränsvärden på ett robust sätt, vilket gör att vi kan få en förutsägbar och stabil representation av risk även när de traditionella modellerna misslyckas att ge oss tillräcklig information.

När vi nu ser på den funktionella representationen av riskmåttet genom att införa ett infimum eller supremum för att beskriva det minsta eller största möjliga förväntade resultatet i relation till risk, inser vi också att detta möjliggör en finare gradering av riskbedömning. Genom att använda metoder som Fenchel–Legendre-transformen kan vi skapa ännu mer exakta mått som inte enbart utgår från en statisk analys av risk utan också tar hänsyn till de dynamiska aspekterna av hur ekonomiska processer utvecklas över tid.

Därför blir förståelsen av riskmått inte enbart en akademisk övning, utan en konkret metod för att fatta bättre informerade beslut, särskilt när vi ställs inför komplexa, osäkra eller oförutsägbara situationer. Det är också viktigt att notera att dessa riskmått inte är absolut, utan beroende av de antaganden vi gör om sannolikhetsfördelningar, vilket gör att vi kan ha olika synsätt på samma risk beroende på vilken modell eller representation vi använder.

För att verkligen förstå de riskmått vi använder och deras betydelse för beslutstagande, är det viktigt att notera att de inte alltid kommer att ge entydiga svar. I vissa fall kan resultatet bero på hur man definierar gränsvärden eller vilka antaganden man gör om funktionernas egenskaper. Till exempel, i fallet med en g-divergens och dess tillhörande strafffunktioner, kan olika parametrar och tillvägagångssätt leda till radikalt olika slutsatser beroende på vilka specifika förhållanden och data som används.

Hur man bygger en mekanisk ögongimbal med 3D-utskrivna delar och servomotorer
Hur Valutan Förändrar Världspolitik: 2024 och Den Globala Demokratiska Uppvakningen
Kan Faktorinvestering Bli Vetenskaplig?