Vad är den rätta representationen för riskmått baserat på sammanhängande teorier?

I en klassisk teori om sekvenser som är jämnt fördelade modulo 1, har vi funnit en ny bevisning av Proposition 4.59. För ett alternativt bevis av Teorem 4.58, som använder en förlängning av Hardy-Littlewood-gränsen i Proposition 4.66 till en ändligt additiv inställning, hänvisar vi till Liebrich och Munar i [239]. Representationerna av lag-invarianta riskmått, som behandlas i avsnitt 4.7, härstammar ursprungligen från Kusuoka i den sammanhängande versionen [230]; för en förlängning till det allmänna konvexa fallet, se även Kunze [228] och Frittelli och Rosazza Gianin [156, 157]. Teorem 4.76 i avsnitt 4.8 bevisades först i [230]. Representationerna av kärnan i en konkav förvrängning i Teorem 4.85 och Korollarium 4.86 är ett resultat av Carlier och Dana [50]. Ytterligare tillämpningar kan ses i [51]. Den alternativa representationen som ges i Övning 4.8.8 härstammar från Cherny [59]. Definitionen av riskmåtten MINVAR, MAXVAR, MINMAXVAR och MAXMINVAR, samt de representationer som ges i Övningarna 4.1.9, 4.8.1, 4.8.5, 4.8.6 och 4.8.7, är resultat av Cherny och Madan [61]. Påståendet i Övning 4.8.2 kommer från Castagnoli, Maccheroni och Marinacci [53]. Övningarna 4.1.8 och 4.8.4 är inspirerade av Exempel A.1 i Pflug och Kovacevic [262].

Studier av Choquet-integraler med avseende på allmänna mängdfunktioner, som används i avsnitt 4.9, började med Choquet [63]. Sambanden med sammanhängande riskmått observerades av Delbaen [89, 90]. De två implikationerna i Teorem 4.94 härstammar från Dellacherie [100] och Schmeidler [295], respektive. Beviset via Lemma 4.95, som vi ger här, är hämtat från Denneberg [106]. Teorem 4.99 är resultatet av Kusuoka [230]. Likvärdigheten mellan (b) och (d) i Teorem 4.100 bevisades först i [63], medan punkt (c) lades till i [295]. Beviset som ges här bygger på [106]. Den första delen av avsnitt 4.10 är baserad på [146], medan den andra delen bygger på Carr, Geman och Madan [52]. Övning 4.10.3 är hämtad från Barrieu och El Karoui [19].

Representationen av nyttobaserade kortfallsrisker i avsnitt 4.11 är tagen från [146]. Teorem 4.126 är en förlängning av ett klassiskt resultat för Orlicz-rymder; se Teorem 10.5 i kapitel II i Krasnoselskii och Rutickii [222]. Övning 4.11.2 är hämtad från Bellini, Klar och Müller [24], medan Övning 4.11.1 kommer från Frittelli och Scandolo [160]. Den duala representationen av riskmåttet för expectiler i Exempel 4.128 erhölls först i Exempel 5 i kapitel 4 i [93]. De förvrängda Bayesian-preferenserna i Övning 4.11.4 introducerades av Klibanoff, Marinacci och Mukerji [209]; se även Bäuerle och Mahayni [23]. Divergensriskmått behandlades av Ben-Tal och Teboulle [27, 28] under namnet optimerade säkerhetsäkvivalenter. Beviset för Teorem 4.137 bygger på Schied [293].

Inom finansmatematikens ramverk har martingaler spelat en central roll, särskilt inom den dynamiska arbitrage-teorin, där martingaler och martingalmått används både i diskret och kontinuerlig tid. En historisk översikt ges av Delbaen och Schachermayer [99]. De första fyra sektionerna i kapitel 5 bygger på verk av Harrison och Kreps [173], Kreps [223], Harrison och Pliska [174], Dalang, Morton och Willinger [78], Stricker [311], Schachermayer [285], Jacka [187], Rogers [276], Ansel och Stricker [10] samt Kabanov och Kramkov [195]. Övningarna 5.2.10 och 5.2.11 härstammar från Gerhold och Krühner [159] och föreslogs oss av S. Gerhold.

Geometrisk Brownsk rörelse, som introducerades som en modell för prisfluktuationer i kontinuerlig tid, har sina rötter i de sent 1950-tals arbeten av Samuelson och andra. Detta har vidareutvecklats till en dynamisk teori för arbitrage-prissättning, där Black och Scholes [35] samt Merton [247] lade grunden för en Black-Scholes-modell för optionsprissättning.

Det är viktigt att förstå att riskmått som MINVAR och MAXMINVAR inte bara är teoretiska konstruktioner utan också har praktiska tillämpningar inom riskhantering och finansiell stabilitet. Dessa mått ger en grundläggande struktur för att mäta och hantera risk i olika finansiella miljöer och tillgångsslag, där de används för att skapa säkrare portföljer och för att optimera investeringar i osäkra marknader.

Hur påverkar upprepade lotterier agenters preferenser och risktolerans?

Låt oss anta för enkelhetens skull att nytta-funktionen $u$ är deriverbar; det generella fallet kräver endast mindre modifieringar. Då innebär den tidigare ojämlikheten att $u'(w + b) m^+(\tilde{\mu}) < u'(w + a) m^-(\tilde{\mu})$ , där $m^+(\tilde{\mu}) := \int x \tilde{\mu}(dx) > \int (-x) \tilde{\mu}(dx) =: m^-(\tilde{\mu})$ , på grund av det faktum att $\tilde{\mu}$ är gynnsam. Därmed får vi att $u'(w + b) m^-(\tilde{\mu}) < u'(w - |a|) m =: \gamma < 1$ för alla $w$ . Detta innebär att $u'(x + n(|a| + b)) < \gamma^n u'(x)$ för alla $x$ i den inre delen av $S$ , vilket ger en exponentiell nedgång av derivatan. Detta leder till att $u(\infty) := \lim_{x \to \infty} u(x) < \infty$ .

Mer precist, om $A := n(|a| + b)$ för något $n$ , då erhålls:

u(\infty) - u(x) = \sum_{k=0}^{\infty} \int u(y) \, dy.

När $n$ är valt så att $\gamma^n \leq 1/2$ , får vi att $u(\infty) - u(x) < u(x) - u(x - A)$ , vilket innebär att $\frac{1}{2}(u(\infty) + u(x - A)) < u(x)$ för alla $x$ sådana att $x - A \in S$ .

Om vi nu betänker att ett lotteri $\mu \in M$ spelas inte bara en gång utan $n$ gånger i rad, till exempel som i fallet med ett försäkringsbolag som säljer identiska försäkringar till ett stort antal kunder, blir det intressant att undersöka hur agenters preferenser ändras när dessa upprepade spel spelar en roll. Låt $(Ω, F, P)$ vara ett sannolikhetsutrymme som stödjer en sekvens $X_1, X_2, \dots$ av oberoende slumpvariabler med gemensam fördelning $\mu$ . Den ackumulerade vinstsumman av $n$ oberoende upprepningar av ett finansiellt spel $X_1$ är:

Z_n := \sum_{i=1}^{n} X_i,

och vi antar att den ackumulerade vinsten tar värden i $S$ . Det kan hända att en agent vägrar ett enstaka gynnsamt spel $X$ vid vilken som helst nivå av förmögenhet, men att denne känner sig frestad av en tillräckligt stor serie av oberoende upprepningar av samma spel. Detta kan vara fallet även om, enligt den svaga lagen om stora tal, sannolikheten för att ådra sig en kumulativ förlust vid slutet av serien konvergerar till 0 när $n \to \infty$ .

Detta betyder emellertid inte att agentens beslut att avvisa det enstaka spelet är konsekvent med beslutet att acceptera den upprepade serien. För att visa detta kan vi uttrycka den förväntade nyttan av den ackumulerade vinsten som:

E[u(W_n)] = E[E[u(W_{n-1} + X_n) | X_1, \dots, X_{n-1}]] = E\left[\int u(W_{n-1} + x) \mu(dx)\right] < E[u(W_{n-1})] < \dots < u(w),

vilket innebär att även bettet som beskrivs av $Z_n$ borde avvisas.

Om vi nu låter $\mu_n$ vara fördelningen av den ackumulerade vinsten $Z_n$ , så har detta lotteri $\mu_n$ medelvärdet $m(\mu_n) = n \cdot m(\mu)$ , det relativa säkerhetsekvivalenten $c(\mu_n)$ , och den associerade riskpremien $\rho(\mu_n) = n \cdot m(\mu) - c(\mu_n)$ . Vi är intresserade av det asymptotiska beteendet hos dessa kvantiteter när $n$ blir stor.

Kolmogorovs lag om stora tal anger att det genomsnittliga utfallet $\frac{1}{n} Z_n$ konvergerar nästan säkert till det konstanta medelvärdet $m(\mu)$ . Därför kan man förvänta sig att en liknande genomsnittsverkan sker även på nivån av de relativa säkerhetsekvivalenten $c_n$ och de relativa riskpremierna $\rho_n$ när $n$ växer mot oändligheten. Heuristiskt sett förväntas $\rho_n$ närma sig noll endast om Arrow–Pratt-koefficienten $\alpha(x)$ blir godtyckligt liten när $x$ blir stor, vilket innebär att nytta-funktionen är mindre riskavert när förmögenheten ökar.

För att ge konkreta exempel, om $u(x) = 1 - e^{ -\alpha x}$ är en CARA-nytta-funktion med konstant riskaversion $\alpha > 0$ , så gäller att:

c_n(\mu_n) = -\frac{1}{\alpha} \log\left(\int e^{ -\alpha x} \mu(dx)\right) = n \cdot c(\mu).

Detta innebär att både $c_n$ och $\rho_n$ är oberoende av $n$ , och de relativa riskpremierna minskar inte om lotteriet dras mer än en gång. För HARA-nyttor däremot kommer de relativa riskpremierna faktiskt att minska mot noll, vilket innebär att lotteriet $\mu_n$ blir mer attraktivt ju större $n$ blir, så länge priset på det enskilda lotteriet $\mu$ är lägre än $m(\mu)$ .

För HARA-nyttor av index $\gamma \in [0, 1)$ , där $\mu$ är ett icke-degenererat lotteri koncentrerat på $(0, \infty)$ , ser vi att den relativa säkerhetsekvivalenten $c_n$ faktiskt minskar mot $m(\mu)$ medan riskpremierna går mot noll. Detta betyder att agenten till slut kommer att acceptera en serie upprepade lotterier, även om ett enda lotteri skulle avvisas.

En viktig slutsats från denna analys är att beslut om att acceptera eller avvisa ett spel inte enbart beror på risktolerans vid en given förmögenhetsnivå. Istället spelar också antalet upprepningar en avgörande roll, och för en agent som följer rationella principer kan ett lotteri som initialt verkar ogynnsamt, bli attraktivt om det upprepas tillräckligt många gånger.

Exempel på marknadsmodeller som uppfyller lag om ett pris men inte är arbitragefria

I den finansiella marknadsteorin är ett grundläggande begrepp "arbetragefri marknad". En marknad anses vara arbitragefri om det inte finns några möjligheter att skapa riskenfri vinst utan investering, genom att utnyttja prisdifferenser på olika marknader eller finansiella instrument. Trots detta kan det förekomma marknadsmodeller som uppfyller lag om ett pris men ändå inte är arbitragefria.

Enligt lag om ett pris ska en tillgångs pris i en perfekt marknad vara detsamma oavsett var den köps eller säljs. Men detta betyder inte nödvändigtvis att marknaden är arbitragefri. För att förstå detta bättre, bör vi överväga ett exempel där marknaden inte uppfyller de striktare kraven för att vara arbitragefri, trots att lag om ett pris hålls.

Exempelvis kan ett system där tillgångar har ett gemensamt pris, men samtidigt möjliggör arbitrage om vissa villkor är uppfyllda, skapa en situation där det tekniskt sett inte finns något uppenbart arbitrage utan att detta faktiskt innebär en arbitrageförmån vid rätt tidpunkt. En marknad kan alltså vara sådan att det på ytan verkar som om ingen arbitrage är möjligt, men om tillgångarna inte är linjärt oberoende (vilket är fallet i vissa modeller där tillgångar är redundanta), då kan situationer uppstå där en strategisk investering i ett portföljförhållande leder till arbitragevinster.

För att bevisa att denna marknadsmodell faktiskt tillåter arbitrage, kan man använda begreppen om den riskneutrala mätningen. En riskneutral mätning innebär att alla tillgångar prissätts baserat på den förväntade avkastningen av riskfria tillgångar, vilket inte alltid garanterar att inga arbitragemöjligheter finns, särskilt i marknader med ett oändligt antal tillgångar eller när marknaden inte är fullt utvecklad.

Vidare kan det vara möjligt att definiera en modell där en tillgångs avkastning inte är exakt som förväntat, på grund av komplexa interaktioner mellan marknader och tillgångar. Ett sådant exempel är en modell med oändligt många tillgångar, där en portfölj kan skapa riskfri vinst genom att använda en arbitrageurs strategi, även om det inte verkar finnas några uppenbara arbitragemöjligheter.

I dessa typer av marknadsmodeller är det också viktigt att förstå begreppen om "icke-redundanta marknader". En marknad är icke-redundant om ingen tillgång kan uttryckas som en linjär kombination av andra tillgångar i marknaden. Detta är en viktig förutsättning för att säkerställa att marknaden är effektiv och inte tillåter arbitrage. Om det finns redundanta tillgångar, innebär det att vissa tillgångar kan tas bort utan att påverka marknadens funktionalitet.

För att förstå detta på djupare nivå bör man också beakta riskjusteringar i prissättningen. För tillgångar i en arbitragefri marknad är det vanligt att använda en riskneutral mätning för att beskriva förväntad avkastning. Det innebär att även om en viss tillgångs pris verkar rättvist på ytan, kan marknaden fortfarande ha oidentifierade risker som leder till arbitrage under vissa omständigheter.

Det är också värt att påpeka att även i en arbitragefri modell, om det finns ett överflöd av tillgångar (som i en marknad med oändliga tillgångar), kan det vara möjligt att konstruera arbitragestrategier som inte är uppenbara vid första anblicken. Det är dessa subtila komplexiteter som skiljer en perfekt marknad från en marknad med verkliga tillgångar och risker.

För att konkretisera dessa idéer, kan det vara användbart att använda exempel på finansiella instrument som optioner och terminer, vilka ofta används för att skapa och hantera risken i moderna marknader. En termin, till exempel, kan ses som en möjlighet att säkra framtida vinster eller förluster baserat på framtida prisförändringar. Detta gör det möjligt för investerare att använda derivat för att spekulera på prisrörelser utan att direkt ta på sig risken för underliggande tillgångar.

En annan viktig aspekt att beakta i sådana modeller är förhållandet mellan förväntade och faktiska avkastningar på tillgångar. Om marknaden är arbitragefri, betyder det att förväntad avkastning på tillgångarna ska motsvara den riskfria räntan, vilket kan härledas från den riskneutrala prissättningen. För modeller med oändligt många tillgångar är dock den grundläggande förutsättningen att risken måste hanteras genom justeringar i mätningen och genom att noggrant kontrollera för redundans.

Sammanfattningsvis bör läsaren förstå att marknadsmodeller som uppfyller lag om ett pris inte nödvändigtvis är arbitragefria, särskilt när redundanta tillgångar eller komplexa riskjusteringar är inblandade. För att verkligen förstå hur marknader fungerar, är det avgörande att behärska både de grundläggande och mer avancerade begreppen inom arbitrage, riskneutral prissättning och marknadsstruktur.

Hur förändringar i de viktigaste parametrarna påverkar Black-Scholes priset för en europeisk köpoption

Priset på en europeisk köpoption enligt Black-Scholes-modellen beror på flera variabler, där de mest framträdande är den initiala spotprisen $S_0$ , tiden till förfall $T$ , den riskfria räntan $r$ , samt volatiliteten $\sigma$ . Dessa parametrar, som styr optionens värde, undersöks noggrant genom derivatorna som beskriver känsligheten hos optionens pris i förhållande till olika förändringar i de underliggande marknadsvariablerna.

En viktig observation som görs i Black-Scholes-modellen är att vid konstant $x$ (spotprisen) och $T$ (mognad), så ökar priset på en europeisk köpoption mot den övre arbitragegränsen $x$ när volatiliteten $\sigma$ går mot oändligheten. Detta innebär att en mycket volatil marknad kan göra att optionens pris närmar sig det maximala möjliga värdet. Vid den andra gränsen, när volatiliteten $\sigma$ närmar sig noll, tenderar optionens pris att närma sig den lägre arbitragegränsen, som definieras som $(x - e^{ -rT} K)^+$ , där $K$ är strike-priset.

Vidare, om vi fokuserar på funktionen $f(x) = (x - K)^+$ , vilket är payoffen för en europeisk köpoption, så erbjuder Proposition 5.60 ett kriterium för konvergensen av priserna på optioner, även när $f$ inte nödvändigtvis är begränsad och kontinuerlig. Detta bekräftar att priserna på köpoptioner i en kontinuerlig tidmodell konvergerar mot Black-Scholes-priset när antalet tidsteg i en diskret modell går mot oändligheten.

För att förstå hur dessa parametrar exakt påverkar optionens pris, måste vi titta på de så kallade grekerna, som är derivatorna av optionens värde med avseende på olika faktorer. En sådan viktig parameter är Delta, definierad som $\Delta(x, t) = \frac{\partial}{\partial x} \upsilon(x, t)$ , där $\upsilon(x, t)$ representerar det teoretiska priset på optionen. Delta representerar hur känsligt optionens pris är för förändringar i spotprisen $x$ , och kan användas för att bestämma den portfölj som behövs för att replikera optionen i en kontinuerlig tidsram.

Gamma, å andra sidan, beskriver förändringen i Delta när spotprisen ändras. Formellt definieras det som $\Gamma(x, t) = \frac{\partial^2}{\partial x^2} \upsilon(x, t)$ . Gamma ger oss en uppfattning om hur snabbt Delta förändras och är därför särskilt viktig i situationer där spotpriserna förändras snabbt. I sådana fall kan det krävas att justera portföljen ofta, vilket gör Gamma till en central parameter för att förstå hur snabbt riskexponeringen förändras.

Theta, definierad som $\Theta(x, t) = \frac{\partial}{\partial t} \upsilon(x, t)$ , är en annan viktig parameter som mäter hur optionens värde förändras med avseende på tid. Vanligtvis är Theta positivt för europeiska köpoptioner, vilket innebär att optionens värde tenderar att öka när tiden till förfall minskar, vilket gör Theta till en kritisk parameter när man överväger hur optionens värde utvecklas när förfallodagen närmar sig.

För att förstå dynamiken i dessa parametrar är det viktigt att inse att de inte är oberoende av varandra. Relationen mellan Delta, Gamma och Theta beskrivs av en formel som länkar dessa parametrar samman. En annan parameter som spelar en viktig roll är Rho, som mäter hur optionens värde förändras i relation till förändringar i den riskfria räntan $r$ . Detta innebär att när räntorna stiger, ökar även Black-Scholes-priset för en köpoption. Detta är ett intressant resultat, eftersom det kan verka kontraintuitivt att högre räntor leder till högre optionpriser. Orsaken till detta är att den riskfria räntan påverkar priset på den riskfria obligation som ingår i replikering av optionen.

Volatilitet är ytterligare en viktig parameter som påverkar priset på köpoptioner. Denna parameter beskriver hur mycket marknaden fluktuerar över tid och är en nyckelfaktor för att bestämma risknivån. Som vi har sett, är Black-Scholes-priset för en europeisk köpoption en växande funktion av volatiliteten. Detta innebär att ju högre volatilitet, desto högre blir priset på optionen, eftersom större osäkerhet gör att optionen blir mer värdefull som ett skydd mot framtida prisrörelser.

För att förstå fullt ut hur dessa faktorer samverkar, måste man också ta hänsyn till det så kallade "leverage-effekten" som ses i relationen mellan relativ förändring i aktiekursen och relativ förändring i optionens pris. Eftersom optionen ger möjlighet att köpa aktier till ett fast pris, innebär även en liten förändring i aktiekursen en större förändring i optionens värde, vilket förstärker effekterna av både Delta och Gamma.

Det är också av vikt att betrakta hur olika värden på $x$ , $T$ , och $\sigma$ påverkar Black-Scholes-formeln. Medan formeln för priset på en europeisk köpoption är väl etablerad, är den känslig för små förändringar i de ingående parametrarna, särskilt när det gäller volatilitet och tiden till förfall. Denna känslighet innebär att små förändringar i marknadsförhållandena kan leda till stora skillnader i priset på optionen, vilket gör det till en värdefull men samtidigt riskabel produkt att handla med.

Hur "ny konspirationism" underblåser en farlig politisk dynamik och förlorar demokratins legitimitet
Hur man löser mysterier genom att följa rätt spår och göra rätt val
Hur fungerar det arabiska skriftsystemet?
Hur man skapar och använder egna "pipes" i Yahoo Pipes och Maltego för OSINT