Hur mäts längden på ett måttblock med interferometri?

För att mäta längden på ett måttblock används interferometri, en metod som möjliggör mycket hög noggrannhet i längdmätningar. Måttblocken är specifika för att ha två parallella och optiskt plana ytor, vilket gör det möjligt att mäta deras längd genom interferometri, särskilt när en av ytorna är fastsatt på en basplatta. En grundläggande definition av längden på ett måttblock är baserad på att den mest exakta längdmätningen görs i ett måttblock-interferometer. I detta instrument bestäms måttblockets längd i termer av en kalibrerad våglängd, vilket skapar en koppling och spårbarhet mellan optiska frekvenser och våglängder å ena sidan, och materiella arbetsstycken och objekt som har en faktisk längd å andra sidan. Därför anses måttblock-interferometrar och deras funktion som en hörnsten inom dimensionell metrologi.

För att beräkna måttblockets längd vid varje mätpunkt, används våglängden från den valda ljuskällan och den observerade fraktionen i interferensmönstret. Om måttblockets längd redan är känd med en noggrannhet inom halva våglängden (ungefär ±0,15 µm), kan det okända antalet halva våglängder uppskattas, och den faktiska längden kan bestämmas genom att noggrant utvärdera fraktionen från en enda mätning. Traditionellt har detta gjorts genom att välja flera våglängder från spektrala lampor, såsom kadmium, kvicksilver eller krypton, vars våglängder är väl definierade i ramen för meterdefinitionen (BIPM 2024).

Moderna interferometrar använder stabiliserade lasrar som möjliggör mätningar av måttblock upp till en längd av 1 meter. För flera våglängder måste ekvationen för varje våglängd och mätt fraktion vara giltig, vilket innebär att en minstakvadrater-metod ofta används för att lösa problemet. Det innebär att man söker det längdvärde där differensen mellan de teoretiska och mätta fraktionerna är minst, genom att variera längden och beräkna de resulterande fraktionerna vid flera våglängder.

När den absoluta längden bestäms för måttblocket, beaktas att fraktionerna inte alltid exakt kommer att sammanfalla med de teoretiska fraktionerna för en given längd. Differensen mellan fraktionerna, till exempel mellan 0,10 och 0,90, är 0,20 snarare än 0,80. Detta gör det möjligt att gradvis beräkna de exakta fraktionerna för de andra våglängderna, och genom att jämföra dessa med de teoretiska värdena kan den slutgiltiga längden för måttblocket bestämmas med mycket hög precision.

I praktiska mätningar är det vanligt att använda flera våglängder och att noggrant analysera hur de mätta fraktionerna för dessa våglängder stämmer överens med de teoretiska förväntningarna. Det ger en noggrann och välkontrollerad metod för att säkerställa att mätningen av måttblockets längd är så exakt som möjligt. Slutligen justeras måttblockets längd ofta för att ta hänsyn till temperaturvariationer, eftersom längden på måttblocket kan förändras beroende på temperaturförhållandena vid mättillfället.

Hur man använder metoder för minsta kvadrater vid osäkerhetsberäkningar

Minsta kvadraters metod är ett grundläggande verktyg inom statistiken och tillämpas flitigt för att lösa problem där vi har mätvärden som inte exakt kan beskrivas av en given funktion. Målet är att hitta de parametrar som bäst passar de uppmätta värdena genom att minimera summan av kvadraterna av avvikelserna mellan de mätta och de förväntade värdena. Denna metod är särskilt användbar i situationer där förhållandet mellan variabler inte är linjärt eller där analytiska metoder inte ger en direkt lösning.

Ett centralt begrepp i minsta kvadraters metod är att residualerna, dvs. de skillnader som uppstår mellan de observerade och förväntade värdena, fördelas jämnt över alla mätpunkter. Detta innebär att även om vissa mätpunkter kan vara mer avvikande än andra, kommer den genomsnittliga "felet" i alla mätpunkter att vara lika. Därmed ger denna metod ett robust sätt att uppskatta parametrar där data kan vara störd av slumpmässiga fel.

För att ge ett konkret exempel, om vi mäter en vinkel φ vid flera tidpunkter och de uppmätta värdena är något olika, kan vi beräkna den osäkerhet som är förknippad med varje vinkelvärde. Detta görs genom att använda summan av kvadrater, som för denna typ av problem ser ut så här:

där $y_i$ är de observerade värdena, $\varphi_i$ är de förväntade värdena, och $s_i$ är osäkerheten i varje observation. Genom att minimera denna funktion kan vi finna de parametrar som ger den bästa passformen till de uppmätta värdena.

När flera parametrar är inblandade, som i fallet med flera vinklar eller mätvärden, och en funktion $f(\varphi_1, \varphi_2)$ ska minimeras, används en metod som kallas numerisk optimering. Här får man inte en direkt analytisk lösning, utan använder istället tekniker som iterativt hittar minimivärdet för en komplex funktion. Ett vanligt sätt att göra detta är genom användning av programvara som MATLAB, där funktionen som ska minimeras kan programmeras och sedan optimeras numeriskt. Den numeriska metoden kan beskrivas som en sökning efter det minimum där alla deriverade av funktionen är noll, vilket motsvarar en punkt på en kurva eller yta med minimum.

I vissa fall kan även de interna och externa felmatriserna beräknas för att ge en mer detaljerad förståelse av de osäkerheter som är förknippade med varje parameter. Den interna felmatrisen $E_{\text{int}}$ beräknas genom att ta hänsyn till de direkta osäkerheterna för varje parameter, medan den externa felmatrisen $E_{\text{ext}}$ inkluderar effekten av den totala osäkerheten i systemet, multiplicerat med den övergripande minskningen av kvadratsumman $\chi^2$.

Att förstå dessa beräkningar är grundläggande för att korrekt tolka resultaten från experimentell data, särskilt när mätningarna inte är perfekta och när det finns osäkerheter i både mätvärdena och parametrarna som beräknas.

Hur fungerar metoden för att beräkna höjdvärden genom minstakvadratprincipen?

Den metod som presenteras i litteraturen (Birch och Cox, 1973) är en effektiv lösning för att beräkna höjdvärden för ytor, särskilt i situationer där det finns flera mätpunkter som måste relateras till en referensplan. När höjdvärden har beräknats, kan man använda ekvation (A.47) för att bestämma höjder i relation till en minsta kvadraternas plan. För stora ytor kan det dock vara besvärligt att sätta upp matrisen, särskilt om vissa mätpunkter saknas eller om konfigurationen inte är rektangulär. I dessa fall kan en iterativ metod baserad på minstakvadratprincipen vara mer effektiv.

I denna iterativa metod beräknas varje punkt (t.ex. punkt (1,1) i Figur A.4) genom att relatera den till sina närliggande punkter. För att bestämma höjden vid denna punkt kan man använda medelvärdet av de närliggande punkternas höjder, vilket minimerar kvadratsumman enligt ekvation (A.55). På detta sätt kan man successivt uppnå en stabil lösning där höjdvärdena för alla punkter har optimerats, vilket gör att den totala kvadratsumman (Q2) stabiliseras till ett minimum, som beskrivs av Haitjema (1996).

Denna metod är särskilt användbar vid ytmätningar där raka mätvärden saknas eller inte har en gemensam referensriktning, såsom i fallet med autokollimatorer eller laserinterferometeroptik. I dessa fall måste diagonalmätningar inkluderas, vilket gör beräkningarna mer komplexa. Det är en metod som också har en lång historia inom metrologi, där den har tillämpats på ytor som optiska flats och ytmätning av gage blocks.

Vid beräkningar där interferometriska mätningar används för att bestämma längd, är det viktigt att beakta korrektheten hos de olika mätordningarna och interferenslängderna. För exempelvis mätningar av ett gageblock på 5 mm, illustreras i Figur A.5 att det finns ett minimum på 5 mm + 0.353 µm, men också andra minima utanför detta intervall som kan verka mer precisa om de inte noggrant beaktas. Detta innebär att varje mätning måste vara exakt för att säkerställa den korrekta kvadratsumman och därmed korrekt längdbestämning.

För att ge ytterligare förståelse av hur dessa principer tillämpas kan man titta på en situation med ett fyrsidigt polygon som kalibreras med hjälp av två autokollimatorer. I denna konfiguration roteras polygonen runt sin centrum och varje vinkel mäts med autokollimatorerna vid olika positioner. Genom att använda en minsta kvadraternas lösning för att relatera dessa mätningar, kan man uppnå en exakt bestämning av de interna vinklarna mellan sidorna på polygonen. Detta tillvägagångssätt, känt som "Rosette-metoden", används ofta när man arbetar med polygoner med fler sidor eller när flera autokollimatorpositioner är inblandade.

Det är viktigt att förstå att metoderna som beskrivs här inte bara handlar om att samla mätvärden utan även om att bearbeta och optimera dessa värden genom statistiska metoder som minstakvadratlösningar. För att uppnå den största noggrannheten måste man ta hänsyn till både mätfelet och den exakta geometri som används för att definiera de olika mätpunkterna. I praktiken betyder detta att även små förändringar i hur mätningar tas eller hur data bearbetas kan ha en betydande inverkan på resultaten. Vid användning av dessa metoder för att säkerställa maximal precision är det därför av största vikt att använda pålitliga och precisa instrument, och att ha en god förståelse för de matematiska principerna som styr de statistiska lösningarna.