Hur kan en andra ordningens algoritm för federerad Edge-lärande optimera systemprestanda?

I den federerade Edge-lärande kontexten är huvudmålet att minimera det totala felet i varje iteration, vilket gör att den största fokusen ligger på att reducera felet $\epsilon'$. För att uppnå detta måste systemet justera parametrar iterativt, samtidigt som man tar hänsyn till en mängd olika faktorer som påverkar både datans storlek och kvalitet, samt de specifika enheternas prestanda. De nödvändiga optimeringarna kan göras genom att följa den matematiska formuleringen i algoritmer som exempelvis den som beskrivs i (3.28).

En viktig aspekt är att optimera parametern $\eta_t$, som kan begränsas genom att den ska vara mindre än eller lika med $\|a_H\|^2 dP0 t h̃t,i\|$ för varje $i \in St$. Denna parameter representerar en skalningsfaktor som måste balanseras för att säkerställa att systemet inte överskrider sin kapacitet samtidigt som felet $\epsilon'$ minimeras. Vidare beaktas även negativa korrelationer mellan denna skalningsfaktor och målfunktionens värde, vilket gör att optimeringen inte bara handlar om att maximera antalet deltagande enheter utan också att noggrant välja rätt kombination av enheter för att optimera hela systemet.

Vid genomförandet av dessa optimeringar ställs man inför ett klassiskt problem inom beamforming-optimering, där man söker att minimera en målfunktion som är beroende av val av deltagande enheter. Här blir det avgörande att hantera det exponentiella tillväxtproblemet som uppstår när antalet möjliga enheter växer. För att lösa detta behöver man använda avancerade metoder som exempelvis Gibbs Sampling (GS) för att iterativt optimera valen av enheter. Detta minskar det enorma sökområdet och gör det möjligt att närma sig den optimala lösningen.

När en uppsättning enheter har valts, blir det återstående problemet en traditionell beamforming-optimering. Denna typ av optimering är dock icke-konvex och därmed svår att lösa direkt. En metod för att hantera detta är att använda matrislyftteknik för att omvandla problemet till en låg-rank optimeringsform, vilket gör det mer hanterbart genom att ersätta det med en DC-programmering. Genom att lösa detta DC-program kan man få en mer exakt lösning där alla restriktioner blir uppfyllda.

För att vidare optimera systemet kan man använda en iterativ tillvägagångssätt baserat på DCA (Differential Convex Approximation). Denna metod innebär att man lineariserar icke-konvexa termer och skapar en konvex subproblem, som därefter löses iterativt. För att accelerera processen använder man sig av en "warm start"-teknik där den optimala lösningen från föregående iteration fungerar som utgångspunkt för nästa. Detta minskar den totala beräkningskomplexiteten och gör systemet mer effektivt.

En annan viktig aspekt som ofta glöms bort är den noggranna balansen mellan att välja rätt enheter och att justera parametern $\eta_t$. För stor användning av enheter kan öka komplexiteten och kräva mer beräkningskraft, medan för få enheter kan leda till en suboptimal lösning. Därför är det avgörande att anpassa algoritmer som Gibbs Sampling på ett sätt som effektivt hittar det bästa sättet att välja enheter under varje iteration.

Dessutom är det viktigt att förstå att den federerade optimeringsmetoden inte bara handlar om att minska felet i varje iteration, utan också om att effektivt hantera de olika enheternas lokala data och modeller. Här spelar systemets distribution och enheternas specifika kapabiliteter en avgörande roll. Genom att optimera dessa parametrar genom en noggrant vald kombination av DCA och GS, kan man uppnå ett system som är både skalbart och exakt.

Endtext

Hur fungerar Zeroth-Order algoritmer i Federerat Edge-lärande?

Federerat Edge-lärande (FEEL) har under de senaste åren vuxit i popularitet, särskilt på grund av dess förmåga att effektivisera träningsprocesser för maskininlärningsmodeller på distribuerade enheter, utan att behöva samla in eller centralisera känsliga data. Detta har resulterat i att federerad optimering har blivit ett hett ämne inom både akademi och industri. För att hantera de komplexa utmaningarna som federerad optimering medför, har ett flertal algoritmer utvecklats, där både förstahands- och andrahandsmetoder används. Dessa metoder strävar efter att accelerera konvergens och minska kommunikationsbördan mellan centrala servrar och kant-enheter. Bland de mest framstående teknikerna finns FedAvg, FedPD och FedNova, samt andrahandsmetoder som FedDANE.

De flesta nuvarande algoritmer för federerad optimering använder sig av gradient- och/eller Hessian-information för att optimera de lokala funktionerna på varje kant-enhet. Men denna metod har sina begränsningar, särskilt när analytiska uttryck för förlustfunktioner inte är tillgängliga eller när gradientberäkningar är beräkningsintensiva och svåra att utföra. Detta gäller exempelvis vid federerad hyperparameter-tuning, distribuerade svartlådsattacker på djupa neurala nätverk eller i scenarier med sensorselektion där gradientberäkningar kräver komplicerade matrisinversioner. När gradientinformation inte kan användas, blir de nuvarande algoritmerna inte längre tillräckliga för att effektivt hantera federerad optimering.

Ett särskilt problem i FEEL är också att alla enheter måste delta aktivt i optimeringen, där varje kant-enhet utför en lokal uppdatering per kommunikationsrunda. Detta leder till höga kommunikationskrav, särskilt när det finns många enheter och högdimensionella modeller. För att lösa dessa problem och för att skapa en mer effektiv lösning vid avsaknad av gradientinformation, introduceras den så kallade Zeroth-Order algoritmen.

FedZO - En Ny Lösning

Den föreslagna FedZO-algoritmen är en innovativ lösning för att hantera federerad optimering när gradientinformation inte är tillgänglig. Algoritmen bygger på en zeroth-order metod, där man inte behöver tillgång till derivator eller gradienter för att optimera en förlustfunktion. Istället används ett stokastiskt tillvägagångssätt för att uppskatta funktionens värde baserat på slumpmässiga dataexempel och en noggrant definierad uppskattningsteknik. FedZO möjliggör därmed effektiv optimering även under förhållanden där gradientberäkningar inte är möjliga.

En central fördel med FedZO är dess kapabilitet att hantera situationer med en stor mängd kant-enheter utan att överbelasta kommunikationssystemet. Traditionella algoritmer kräver ofta att alla enheter skickar sina uppdateringar i varje runda, vilket snabbt kan leda till ineffektivitet. FedZO tillåter delaktighet från ett urval av enheter i varje optimeringssteg, vilket minskar den totala kommunikationsbördan. Denna flexibilitet gör det möjligt för systemet att skala effektivt även när antalet enheter är mycket stort.

Teoretiska Grunder och Simuleringar

FedZO-algoritmen har bevisats konvergera under specifika förutsättningar, och det har genomförts omfattande simuleringar för att utvärdera både dess effektivitet och konvergenshastighet. En av de stora utmaningarna vid implementering av Zeroth-Order optimering är att balansera mellan snabb konvergens och minimerad kommunikationskostnad. Simuleringarna visar att FedZO är kapabel att leverera konkurrensmässiga resultat jämfört med andra mer traditionella optimeringsmetoder, även när de klassiska gradientbaserade metoderna inte kan användas.

Problemformulering och Antaganden

I ett federerat edge-lärande system består nätverket av en central server och ett antal kant-enheter, där varje enhet har sitt eget dataset. Målet för den centrala servern är att koordinera enheterna för att effektivt lösa det federerade optimeringsproblemet. Den federerade förlustfunktionen representeras som en summa av de lokala förlustfunktionerna från varje enhet, där varje enhet har en egen lokalt beräknad förlust baserad på dess dataset. I formell notation innebär detta att den globala förlusten kan skrivas som:

där $x \in \mathbb{R}^d$ är modellparametern, $f_i(x)$ är den lokala förlusten för enhet $i$, och $f(x)$ är den globala förlusten som servern försöker minimera. För varje kant-enhet $i$ är förlusten $f_i(x)$ ett stokastiskt mått baserat på ett dataset $D_i$, där varje datapunkt i datasetet bidrar till den lokala förlusten $f_i(x)$.

I sådana system kan gradienter och Hessian-information vara svåråtkomliga, vilket gör användningen av Zeroth-Order algorit

Hur man optimerar tidsgenomsnittsfel i FEEL-system med hjälp av växlande optimeringsalgoritmer och GNN

I det här avsnittet undersöker vi hur man effektivt kan optimera FEEL (Federated Edge Learning) system genom att minska tidsgenomsnittsfel, vilket är en viktig faktor för att uppnå bättre konvergensprestanda. Utgångspunkten för optimeringen ligger i att minimera fel som uppstår på grund av transmissioner och gradientvariationer mellan de distribuerade enheterna, samtidigt som praktiska systembegränsningar beaktas.

I teorin har vi ett formellt ramverk som beskriver konvergensen av FEEL-algoritmer, där ett övre gränsvärde för normerna av gradienten, $\nabla F(w(t))$, definieras som en funktion av flera variabler och parametrar. Detta gränsvärde är avgörande för att förstå hur snabbt FEEL kan konvergera mot en optimal lösning och hur olika faktorer som mini-batch-storlek och antal edge-enheter påverkar konvergensen. Vid en högre grad av iterationer, T, tenderar initiala optimeringsgap att minska, vilket innebär att den tidsgenomsnittliga felet blir dominerande för den långsiktiga konvergensen.

För att hantera detta måste vi överväga en lösning som effektivt minskar denna tidsgenomsnittsfel, vilket är en funktion av den lokala gradientvariationens inflytande. En metod som ofta rekommenderas är att öka storleken på mini-batcher, vilket reducerar gradientvariationer och därmed förbättrar konvergensen. Detta är särskilt viktigt i system som involverar många edge-enheter, eftersom fler enheter bidrar till att stabilisera de lokala gradienterna.

Förutom gradientvariationer spelar också transmissionsfel en viktig roll i FEEL-systemens prestanda. Transmissioner mellan enheter, särskilt i trådlösa nätverk, är ofta en källa till störningar som försvårar korrekt kommunikation och därmed påverkar hela inlärningsprocessen. För att hantera dessa problem är det nödvändigt att formulera ett gemensamt optimeringsproblem som både beaktar dessa transmissionsfel och systemets praktiska restriktioner, som hårdvarubegränsningar och kommunikationskapacitet. Ett effektivt optimeringssystem säkerställer inte bara att tidsgenomsnittsfelen minimeras, utan att lösningen även är genomförbar i verkliga FEEL-system.

En viktig del i optimeringen är att använda växlande optimeringsalgoritmer. Genom att formulera och lösa ett specifikt optimeringsproblem, såsom det som beskrivs i ekvation (5.8), där vi försöker minimera transmissionseffekten genom att justera parametrarna för överföringseffekt och fasförskjutning, kan vi effektivisera systemet. I problemformuleringen P0, där en mängd variabler som transmitteffektvektorer och denoinfaktor ingår, används växlande optimering för att justera dessa parametrar iterativt. Denna optimeringsstrategi, som är baserad på Lagrange dualitet, gör det möjligt att hitta en lösning som balanserar alla dessa parametrar effektivt.

För att lösa detta problem, tillämpar vi ett alternativt optimeringsalgoritm som bygger på en sekventiell uppdatering av olika variabler, där varje iteration löser ett delproblem och gradvis förfinar systemets prestanda. Till exempel, för att optimera fasförskjutningsvektorerna, används metoder som bisection search för att hitta den optimala lösningen för varje fasinställning, vilket gör det möjligt att minska transmissionsfelen ytterligare.

En annan aspekt av optimeringen är att använda grafbaserade neurala nätverk (GNN) för att förbättra FEEL-systemets prestanda. GNN kan användas för att optimera de komplexa relationerna mellan edge-enheterna och den centrala servern i FEEL-systemet. Genom att använda GNNs kan vi bättre modellera de beroenden som finns mellan de distribuerade enheterna och effektivt fördela lärandeuppgifter och kommunikationsresurser för att minimera tidsgenomsnittliga fel.

Det är också viktigt att notera att optimeringsalgoritmerna inte är utan sina utmaningar. En av de största problemen är den höga beräkningskomplexiteten som följer av att lösa dessa problem. För varje iteration som involverar optimering av transmissionskrafter och fasförskjutning, krävs det omfattande beräkningar, vilket gör att lösningen kan bli långsam om antalet iterationer är stort. För att hantera detta kan man använda tekniker som matrisspecifika uppdelningar eller Cholesky-dekomposition för att effektivisera beräkningarna och säkerställa att systemet kan hantera realtidsapplikationer.

För att sammanfatta bör FEEL-optimeringsalgoritmer implementera metoder som kombinerar både teoretiska garantier för konvergens och praktiska lösningar för att hantera faktorer som transmissionsfel och gradientvariationer. Den växlande optimeringsmetoden, kombinerad med användning av GNN för att förbättra systemets kapacitet att anpassa sig till lokala variationer och nätverksförhållanden, erbjuder en kraftfull lösning för att uppnå optimal prestanda i FEEL-system.

Hur optimering av uppströmsöverföring kan förbättra prestandan i federerade Edge Learning-nätverk

I den federerade edge-lärande modellen i fler-cellssystem, såsom den som används i problemformuleringen här, är optimering av överföringsresurser en central aspekt för att uppnå effektiv kommunikation och lärande. När man hanterar flera celler, där varje cell är ansvarig för en del av data och uppgifter, måste man optimera både nedströms- och uppströmsöverföringar för att säkerställa hög prestanda. Specifikt, när vi talar om uppströmsöverföring, behöver varje cell maximera sin överföringskraft på ett sätt som minimerar störningar och samtidigt bibehåller effektiv användning av resurser.

För att förstå optimeringen bättre, låt oss börja med att överväga problem (7.38), där uppströmsöverföringen är uppdelad i flera delproblem, ett för varje cell m. Varje delproblem syftar till att minimera en funktion som omfattar bland annat mottagna normeringsfaktorer och kanalberoende störningar. Den föreslagna optimeringsmodellen för varje cell innebär att vi behandlar varje uppgift som ett kvadratiskt konvext optimeringsproblem, vilket gör det möjligt att effektivt lösa det med hjälp av olika algoritmiska tekniker.

Vid varje cell beräknas de optimala normeringsfaktorerna och uppströmsöverföringsstyrkorna genom att lösa en mängd systematiska ekvationer som har sina egna begränsningar baserat på kanalens egenskaper och den maximala tillgängliga överföringskraften. Dessa normeringsfaktorer, som beskrivs i ekvation (7.40), hjälper till att reglera mängden energi som behövs för att överföra signaler mellan cellerna utan att orsaka överdrivna störningar mellan dem. Detta är särskilt viktigt i nätverk där flera celler delar på samma spektrum, vilket gör att störningar måste beaktas noggrant för att optimera den övergripande prestandan.

Genom att tillämpa dessa optimeringsmetoder på varje cell kan man få fram de bästa möjliga överföringsparametrarna för varje användare i nätverket. Detta innebär att varje cell inte bara maximerar sin egen överföringseffektivitet, utan också beaktar störningar från andra celler och försöker minimera dem genom en kollaborativ optimering.

Den praktiska lösningen på detta problem involverar flera steg. Först beräknas de optimala uppströmsöverföringarna genom att lösa det förenklade optimeringsproblemet i form av ett konvext optimeringsproblem, som beskrivs i (7.45). Här definieras varje överföringskraft i en vektor, och begränsningarna sätts för att säkerställa att alla överföringskrafter är inom sina maximala gränser. Ett typiskt resultat av denna optimering är att vi får en uppsättning av överföringsstyrkor och normeringsfaktorer som garanterar att nätverket fungerar så effektivt som möjligt.

En annan viktig aspekt av denna optimering är användningen av metoder som "bisection search", som gör det möjligt att hitta de optimala lösningarna för uppströmsöverföringarna och normeringsfaktorerna. Dessa lösningar kan sedan användas för att justera nätverkets parametrar och säkerställa att alla enheter i nätverket arbetar med optimala resurser.

Vid implementeringen av dessa optimeringar, särskilt när det gäller uppströmsöverföringar, måste man beakta att resultaten kan variera beroende på nätverkets dynamik, såsom förändringar i kanalens kvalitet, användartäthet och störningar från andra celler. Därför är det avgörande att använda algoritmer som kontinuerligt kan anpassa överföringsstyrkorna och andra parametrar för att hålla nätverket stabilt och effektivt över tid.

Förutom själva optimeringen av överföringarna är det också viktigt att förstå att systemet kan komma att påverkas av externa faktorer såsom signalstörningar, interferens mellan cellerna och förändringar i användartäthet. Detta gör att optimeringsalgoritmerna måste vara robusta nog att hantera sådana variationer, vilket ytterligare understryker vikten av kontinuerlig justering och optimering i realtid.

Vidare måste varje cell vara medveten om de andra cellernas överföringsstrategier för att undvika situationer där överföringsresurserna används ineffektivt på grund av överskridande av spektrum eller energi. En framgångsrik optimering innebär alltså en balans mellan självständighet i varje cell och samarbete mellan cellerna för att uppnå det bästa resultatet för hela nätverket.