I studiet av dynamiska system utsatta för både slumpmässiga och harmoniska excitationer spelar resonans en avgörande roll för systemets beteende. Resonans definieras som det tillstånd där den harmoniska excitationens påverkan på systemets respons är signifikant, vilket framgår av sambanden mellan den harmoniska kraften och dess tillhörande funktion i systemets rörelseekvation. När frekvensen för den harmoniska excitationen närmar sig systemets egenfrekvens, det vill säga vid det som kallas resonansfallet (ν ≈ ω₀), kan systemets beteende studeras effektivt genom stokastisk medelvärdesbildning som resulterar i reducerade Itô-ekvationer för långsamt varierande komponenter.

Det reducerade Fokker-Planck-Kolmogorov-ekvationssystemet (FPK) beskriver sannolikhetsfördelningen för dessa långsamma variabler, och lösningar till detta system ger insikt i stationära fördelningar av systemets tillstånd. För det linjära systemet med parametric harmonic excitation visar den analytiska lösningen att processerna X_c(t) och X_s(t) är Gaussiskt fördelade, och att stabilitetsgränsen kan uttryckas som en kritisk relation mellan styrkan hos den harmoniska excitationen och systemets dämpning samt frekvensförhållanden.

Sannolikhetsfördelningen (PDF) för amplitud A och fas Θ av den snävt bandade processen X(t) kan fås genom en koordinattransformation från X_c och X_s. Amplituden A följer i avsaknad av harmonisk excitation en Rayleigh-fördelning och fasvinkeln Θ är uniformt fördelad. När harmonisk excitation introduceras påverkas fördelningens form genom parametrarna μ och η, vilka är kopplade till excitationsstyrka och avstämningsparametern γ, och därmed påverkas systemets stabilitet och svängningsamplitud.

Stabiliteten hos systemet kan förbättras genom att minska den harmoniska excitations intensitet λ, öka detuningparametern γ eller förstärka dämpningen ζ. Det är viktigt att observera att även om de stationära komponenterna X_c och X_s är stabila, är den totala responsen X(t) och dess derivata i allmänhet icke-stationära, förutom vid avsaknad av harmonisk excitation.

Vid införandet av icke-linjära dämpningstermer förändras systemets dynamik markant, men det är möjligt att med hjälp av liknande stokastisk medelvärdesbildning och FPK-analyser erhålla sannolikhetsfördelningar och stabilitetskriterier. Här blir dämpningens icke-linjära komponenter inblandade i uttrycken för de effektiva drivkrafterna och påverkar sannolikhetspotentialens form och därigenom systemets stabilitetsgränser.

Det är av stor vikt att förstå att den stokastiska medelvärdesbildningen, som ligger till grund för dessa resultat, bygger på antagandet om små avstämningsparametrar och resonansliknande förhållanden. Detta innebär att resultaten är approximativa och gäller främst för långsamma variationer kring resonansfallet. Dessutom är fysikaliska tolkningar av variablerna X_c och X_s begränsade; det är först efter transformation till amplitud och fas som dessa får en klarare fysisk betydelse.

Analysen visar även på vikten av att korrekt modellera och förstå samverkan mellan slumpmässiga och harmoniska excitationer, speciellt för konstruktion och kontroll av mekaniska system där parametrisk excitation kan leda till instabilitet eller oväntade svängningsmönster. För att fullt ut tillgodogöra sig denna teori bör läsaren även beakta systemets frekvensrespons, samt hur brusets spektrala egenskaper och dess korrelation med den harmoniska excitationen påverkar den totala dynamiken.

Slutligen är det centralt att ha en djup förståelse för sannolikhetsfördelningarnas tolkning i samband med dynamiska system, där stationära PDF:er ger information om förväntade amplituder och sannolikheter för olika svängningstillstånd. Denna kunskap är avgörande för att kunna designa system med önskad stabilitet och prestanda under komplexa och osäkra excitationsförhållanden.

Hur hanteras stokastiska flerdimensionella Hamiltoniansystem genom stokastisk medelvärdesbildning och vad innebär kvasi-integrerbara system?

Vid analys av stokastiska Hamiltoniansystem blir ofta direkta beräkningar av sannolikhetsfördelningar och moment opraktiska på grund av systemens höga dimension och komplexitet. En effektiv metod är att använda stokastisk medelvärdesbildning som reducerar flerdimensionella integraler och komplexa stokastiska differentialekvationer till mer hanterbara former. I detta sammanhang har Sun et al. (2021) demonstrerat att genom att använda stokastisk medelvärdesbildning kan stationära sannolikhetsdensiteter, förväntade värden och medelkvadrerade värden av Hamiltonfunktionen i ett femdimensionellt system beräknas med god överensstämmelse med Monte Carlo-simuleringar. Denna överensstämmelse förstärks när parametrarna som beskriver systemets stokastiska variationer är små och av samma storleksordning, vilket validerar metodens användbarhet för praktiska tillämpningar.

När systemet kan associeras med en integrerbar Hamiltoniansystemstruktur, blir det möjligt att använda handling-vinkel-variabler för att transformera de ursprungliga koordinaterna till en form där vissa variabler är långsamt varierande (handlingarna), medan vinklarna varierar snabbt. Genom att tillämpa Itô's lemma erhålls stokastiska differentialekvationer för dessa variabler, vilka kan förenklas via tidsmedelvärdesbildning tack vare systemets ergodiska egenskaper på den n-dimensionella torusen.

En väsentlig aspekt är resonansfenomenet i Hamiltoniansystemet. Om systemet är icke-intern-resonant, vilket innebär att det inte finns någon svag resonansrelation mellan systemets naturliga frekvenser, kan den stokastiska dynamiken för handlingarna approximativt beskrivas som en Markov-diffusionsprocess med tydligt definierade driv- och diffusionskoefficienter erhållna genom tids- eller rumslig medelvärdesbildning över vinkelvariablerna. Det innebär att systemets långsiktiga beteende kan karakteriseras via en Fokker-Planck-ekvation, där sannolikhetsfördelningen för handlingarna utvecklas över tid med reflekterande och absorberande randvillkor beroende på systemets fysikaliska begränsningar.

Om däremot de exakta handling-vinkel-variablerna är otillgängliga kan man istället använda en uppsättning oberoende och involutiva första integraler, som också är bevarade storheter i systemet. Dessa kan också beskrivas med stokastiska differentialekvationer med hjälp av Itô-kalkyl, där återigen långsamma och snabba variabler separeras. Systemets separabilitet förenklar ytterligare analysen då de olika Hamiltonianerna i subsystemen har periodiska lösningar, vilket underlättar tidsmedelvärdesbildningen.

Den teoretiska grunden i denna metod är Khasminskiis sats, vilken säkerställer konvergensen av de stokastiska processerna för små perturbationer (ε → 0) till en diffusionsprocess. Detta möjliggör en rigorös ansats att analysera komplexa stokastiska system med många frihetsgrader genom att reducera problematiken till studier av långsamt varierande variabler med effektiva drifts- och diffusionsparametrar.

Det är avgörande att förstå att stokastisk medelvärdesbildning inte bara reducerar komplexitet utan också gör det möjligt att utvärdera systemets stationära och övergångssannolikheter genom lösning av den associerade Fokker-Planck-ekvationen. Därmed kan man få insikter om stabilitet, fluktuationer och sannolikheten för stora avvikelser i systemets dynamik.

För att fullt ut tillgodogöra sig metoden är det nödvändigt att inse de antaganden som ligger bakom den: små stokastiska störningar, integrerbarhet eller åtminstone kvasi-integrerbarhet av det underliggande Hamiltoniansystemet, och frånvaron av stark resonans mellan frekvenser. Dessutom bör läsaren vara medveten om att valet av rätt transformationsvariabler och korrekt hantering av randvillkor är avgörande för att säkerställa lösningarnas fysikaliska relevans och matematiska korrekthet.

I praktiken innebär detta att innan stokastisk medelvärdesbildning appliceras måste systemets natur och parametrar noggrant analyseras för att avgöra om metoden är lämplig, och om så är fallet, hur transformationer och medelvärdesbildning bäst utförs. Denna förståelse är central för att kunna modellera och förutsäga dynamiken i komplexa fysikaliska, tekniska eller ekonomiska system som kan beskrivas med kvasi-integrerbara Hamiltoniansystem under stokastiska påverkan.

Hur fungerar pulserad detonationsförbränning i gasturbiner och vad är dess potential?
Hur Itô Stokastiska Differentialekvationer Används för att Modellerna Markov Diffusionsprocesser
Hur har USA:s gräns och barns rättigheter hanterats genom åren?