I teorin om elektromagnetism spelar strömmar och magnetiska fält en central roll för att förstå olika fenomen, särskilt i material som genomgår magnetoelektriska eller magnetoelastiska processer. Ett intressant exempel på detta är när man beaktar förändringar i magnetiseringens komponenter, som beskrivet i ekvationerna 2.7.6 och 2.7.7. I dessa uttryck analyseras de förändringar i magnetisering som sker längs olika axlar i ett material, där ekvationerna (2.7.6) och (2.7.7) tillsammans leder fram till den z-komponent av det magnetiska strömtäthetsflödet (JM) som beskrivs i (2.7.8).

Med hjälp av dessa samband kan man också uttrycka den magnetiska fältkomponenten B genom magnetiseringens interaktion med det externa fältet H, vilket resulterar i ekvation (2.7.9) och (2.7.10). Här ses att det totala magnetiska flödet beror på både magnetiseringens inverkan och det externa fältet, och denna dynamik är avgörande för att förstå hur elektromagnetiska fält sprider sig i material.

När man introducerar magnetfältet H, som definieras som H = (B − M)/μ₀, får man en förenklad form för det magnetiska fältet, som gör det möjligt att skriva om Maxwell’s ekvationer i en mer hanterbar form (2.7.13). Dessa ekvationer beskriver hur de magnetiska fälten förändras över tid, där den magnetiska strömtätheten J är en funktion av de lokala magnetiseringsfluktuationerna.

Vidare innebär det magnetiska flödet över ett område S och volym V att man kan definiera den totala kraften som verkar på magnetiserade material, vilket uttrycks genom den termiska magnetiska kraften fM, där ekvationerna (2.7.15) och (2.7.16) ger ett sätt att relatera magnetfältets påverkan på materialet i termer av volym- och ytrelaterade krafter.

För linjära magnetiska material är sambandet mellan magnetisering och det externa fältet H beskrivet genom (2.8.1) och (2.8.2). Här använder man en magnetisk susceptibilitet, χM kl, som beskriver hur materialets magnetisering reagerar på förändringar i det externa fältet. Denna linjäritet gör det möjligt att använda ett enklare uttryck för B, vilket resulterar i en energi per enhetsvolym som är beroende av både det externa och det interna magnetfältet (2.8.5).

Vidare genomförs en Legendre-transformation för att introducera en magnetisk entalpifunktion, H(H), som ger en alternativ beskrivning av energin i systemet. Det är genom denna funktion som magnetiseringen och det externa fältet samverkar, där magnetfältet B uttrycks som en funktion av magnetfältet H (2.8.7).

Ett intressant resultat av denna utveckling är att i områden där strömmar inte förekommer, kan man införa ett skalärt potential ψ (2.8.9), vilket gör det möjligt att skriva om de magnetiska fälten som ett gradientfält. Detta förenklar lösningarna för fältens beteende i olika material, vilket i sin tur är användbart för att beskriva fält och strömmar i magnetiska material.

I den dynamiska analysen av elektromagnetiska fält, som ges av Maxwells ekvationer för tidsberoende problem (2.9.1), ser vi att elektriska och magnetiska fält är nära kopplade och påverkar varandra. Speciellt i samband med växlande elektriska och magnetiska fält, ges sambandet mellan fältens förändring och energiflödet genom Poyntings teorem (2.9.6). Här beskrivs den elektromagnetiska energiflödet som en energi per enhetsvolym, vilket är avgörande för att förstå hur energi transporteras genom material i form av elektromagnetiska vågor.

För tidsberoende fältproblem, som i fall av elektromagnetiska vågor, kan vi se hur dessa fält beskrivs av wave-ekvationer (2.9.22) där ljusets hastighet i vakuum, c, är relaterad till materialens egenskaper. Dessa teorier är fundamentala för att förstå hur elektromagnetiska vågor sprids i olika medier och hur dessa interagerar med materia.

För att få en fullständig förståelse av dessa fenomen är det också viktigt att inte bara fokusera på de matematiska relationerna, utan även att förstå de fysikaliska konsekvenserna av dessa ekvationer i praktiken. Elektromagnetiska fält påverkar både materialens mekaniska och magnetiska egenskaper och kan användas för att designa mer effektiva magnetoelektriska och magnetoelastiska system.

Endtext

Hur påverkar magnetoelastiska effekter vibrationsfrekvenser i ferromagnetoelastiska material?

Magnetoelastiska material kombinerar mekaniska och magnetiska egenskaper och kan påverka vibrationsdynamik på ett sätt som inte observeras i enbart elastiska eller magnetiska system. För att förstå hur dessa två fält samverkar måste vi analysera de grundläggande ekvationerna och deras lösningar.

För att börja, överväg en systemmodell med en konstant magnetisk potential, vilket innebär att gränsvillkoren för det magnetiska fältet är idealiskt noll. Detta representeras av en perfekt magnetvägg eller en perfekt magnetledande gräns, vilket innebär att den magnetiska potentialen och vissa komponenter av den magnetiska induktionen är begränsade till noll vid gränsen. Matematiskt uttrycks detta genom följande villkor på gränserna för den magnetiska potentialen och de mekaniska förflyttningarna.

Lösningarna till dessa ekvationer baseras på Fourier-serier, där funktionerna för u3, ψ och de magnetiska komponenterna m1 och m2 beskriver systemets tillstånd. Dessa funktioner i sina utvecklingar över x1 och x2 representerar deformationer och magnetiska flöden under påfrestning. För att lösa dessa ekvationer numeriskt används ofta en datorbaserad metod som MATLAB, där lösningarna kan ge insikter om hur magnetoelastiska effekter påverkar materialets respons på yttre krafter.

En av de centrala observationerna är att när ett mekaniskt belastat område appliceras nära centrum, sprider sig deformationerna (u3) och den magnetiska potentialen (ψ) på ett specifikt sätt. Distribueringen av den magnetiska momentet (m) påverkas av belastningens storlek och riktning, och det kan observeras att m snabbt avtar från den belastade zonen, vilket är förenligt med de statiska fältens avtagande beteende.

En annan viktig aspekt som behandlas är vågutbredning i dessa material. Om man överväger planvågor, beskrivs dessa genom sinusfunktioner som beror på både den spatiala positionen och tiden. Här får vi en relation mellan vågnummer ξ och frekvens ω som styrs av ett system av linjära ekvationer. Denna relation ger oss en dispersion, där vågornas egenskaper beror på både de elastiska och magnetiska egenskaperna hos materialet. Speciellt när den magnetoelastiska kopplingen inte är noll (b44 ≠ 0) blir förhållandet mellan elastiska och magnetiska vågor mer komplext, där de två typerna av vågor är kopplade i systemet.

Det är också viktigt att förstå hur denna koppling mellan elastiska och magnetiska vågor påverkar de egna vibrationsfrekvenserna. För små ξ-värden, där vågorna är långvågiga, kan kopplingen leda till förändringar i frekvenserna som inte skulle uppstå i ett rent elastiskt system. I det specifika fallet när b44 = 0, förlorar systemet sin magnetoelastiska koppling, och elastiska och magnetiska vågor separeras i sina egna respektive frekvensområden.

Vid analys av fria vibrationer av ett rektangulärt material kan vi observera hur dessa kopplingar uppträder i praktiken. För ett system med mekaniskt fixerade kanter och perfekt magnetisk vägg kommer de fria vibrationerna att bero på de elastiska och magnetiska modersystemen, där deras egna frekvenser bestäms av de linjära ekvationerna som beskriver systemet. Dessa frekvenser är direkt relaterade till både geometriska och materialparametrar, såsom elastiska moduler och magnetiska egenskaper.

För att kunna applicera dessa teoretiska resultat på verkliga material och strukturer krävs det ofta experimentella metoder för att kalibrera de inblandade parametrarna. Det är också viktigt att förstå att kopplingen mellan magnetiska och elastiska vågor kan ha betydande konsekvenser för hur materialet svarar på externa stimuli, vilket kan utnyttjas i olika tekniska tillämpningar.

Det är avgörande att fördjupa sig i hur olika parametrar som magnetisk fältstyrka (H0), materialmagnetisering (M0), och magnetisk kopplingskonstant (b44) påverkar systemets respons. För att kunna optimera materialets prestanda är det ofta nödvändigt att noggrant justera dessa faktorer beroende på vilken typ av applikation som avses.

Hur relaterar deformation och rörelse hos materialpunkter till fysikens lagar?

Deformation av material i mekanikens sammanhang involverar en samverkan mellan de fysiska egenskaperna hos materialet och de krafter som verkar på det. För att förstå dessa samband är det nödvändigt att gå igenom de matematiska uttryck som beskriver deformation, rörelse och elastiska egenskaper.

För att formulera de grundläggande relationerna används den så kallade "Jacobian"-matrisen, som reflekterar förhållandet mellan de ursprungliga och de deformerade koordinaterna hos ett material. Jacobianen används för att kvantifiera volymändringar under deformation, där förändringen av volymen relateras till materialets lokala deformationsegenskaper genom det så kallade Jacobian-derivativet. Till exempel kan derivatan av Jacobianen med avseende på en av de elementära komponenterna uttryckas som:

∂J∂yi,L=JXL,i\frac{\partial J}{\partial y_{i,L}} = J X_{L,i}

Detta uttryck används för att beskriva hur materialet sträcks eller komprimeras på mikroskopisk nivå, och är en grundläggande relation för elastiska material som genomgår små deformationer.

När vi analyserar de elastiska egenskaperna hos materialet, är det avgörande att förstå hur spänningar och deformationer relaterar till varandra. Elastiska modeller använder olika typer av tensorer, såsom deformationstensorer och spänningstensorer, för att beskriva materialets respons på externa krafter. Ett exempel på detta är den så kallade strain-tensoren, som definieras som skillnaden mellan det deformerade tillståndet och det ursprungliga tillståndet.

EKL=CKL−δKL2E_{KL} = \frac{C_{KL} - \delta_{KL}}{2}

Där CKLC_{KL} är deformationstensoren och δKL\delta_{KL} är den Kronecker-delta, som är en identitetstensor.

När deformation uppstår, innebär detta en förändring av avståndet mellan närliggande materialpunkter, vilket kan beskrivas genom geometri och vektorer som relaterar olika element i materialet. Här spelar vektorerna för materiallinjens längd, dLdL, och deformationens längd, dldl, en central roll. Genom att relatera dessa längder kan man förstå hur volymen och ytan hos materialet förändras under deformation:

(dl)2−(dL)2=2EKLdXKdXL(dl)^2 - (dL)^2 = 2 E_{KL} dX_K dX_L

Vidare kan man analysera hur det deformerade materialets egenskaper påverkar de mekaniska spänningarna och rörelserna. Deformationshastigheten och spinntensorerna är relaterade till hastighetsgradienten hos materialet, vilket innebär att rörelsen hos varje punkt i materialet kan delas upp i en symmetrisk deformation (strain) och en antisymmetrisk rotation (spin):

∂vj∂xi=dij+ωij\frac{\partial v_j}{\partial x_i} = d_{ij} + \omega_{ij}

Här är dijd_{ij} deformationstensoren som beskriver de symmetriska aspekterna av rörelsen, medan ωij\omega_{ij} beskriver den rotationskomponent som inte är symmetrisk.

Det är även viktigt att förstå balansen mellan de olika fysikaliska lagarna som styr deformationen. Bland dessa lagar ingår masskonservation, rörelsemängd, och energibalanser, som alla kan uttryckas i integralform. För att beskriva hur massan bevaras under deformation, används den grundläggande masskonserveringsprincipen:

∫ρdV=0\int \rho dV = 0

Detta innebär att den totala massan i ett material inte förändras under deformation. Här kan det vara användbart att relatera detta till den volymförändring som inträffar genom att introducera Jacobianen, vilket gör det möjligt att formulera förändringar av massan i det deformerade materialet.

Vidare kan man undersöka sambandet mellan den linjära rörelsemängden och de krafter som verkar på ett material. Den linjära rörelsemängdsbalansen ges av följande ekvation:

∫ρv dv=ρf dv+t ds\int \rho v \, dv = \rho f \, dv + t \, ds

Där vv är hastigheten hos materialpunkterna, ff är kroppskraften per enhetsmassa, och tt är yttre påkänningar. Dessa ekvationer beskriver hur externa krafter påverkar rörelsen och deformationen av materialet.

Utöver dessa grundläggande samband är det också viktigt att förstå begreppen kring spänningarna som uppstår i materialet vid deformation. Spänningarna kan orsaka mikroskopiska förändringar som leder till större makroskopiska effekter, som t.ex. brott eller plastisk deformation. Genom att använda avancerade modeller för att beskriva hur materialet reagerar på externa belastningar kan man förutsäga och analysera materialets beteende i olika situationer.

För att korrekt beskriva och analysera materialens deformationsegenskaper och deras respons på krafter, måste både makroskopiska och mikroskopiska modeller användas. Det är avgörande att förstå hur olika mekanismer som deformation, rörelse och spänning interagerar för att förutsäga och optimera materialens användning i ingenjörsdesign och praktiska tillämpningar.

Vad innebär högre ordningens teori för elastiska material?

Inom området för elastiska material och deras mekaniska beteenden har teorier som inkluderar högre ordningens effekter på deformationer av stor betydelse, särskilt när material uppvisar icke-linjärt beteende vid stora deformationer. I detta avseende spelar de så kallade tredje ordningens teorier en avgörande roll för att beskriva materialens respons på mer komplexa påfrestningar än vad som kan förutses av den linjära elastiska teorin.

Inom ramen för tredjepartsteori kan den interna energitätheten ε(E)\varepsilon(E) uttryckas som en serie där högre ordningens termer representerar små, men viktiga, icke-linjära effekter som blir påtagliga vid större deformationer. Dessa termer kan beskrivas som andragradiga och tredjagradiga termer i deformationen, vilka, om de beaktas, ger en mer exakt modell av materialets beteende under specifika belastningar. Termen för intern energi ser därför ut som en summa av olika koefficienter som är relaterade till de högre ordningarna av deformationen:

ε(E)=cABCDEABECD+cABCDEEABECDEEF+…\varepsilon(E) = c_{ABCD} E_{AB} E_{CD} + c_{ABCDE} E_{AB} E_{CD} E_{EF} + \dots

De här termerna representerar icke-linjära materialbeteenden och högre ordningens elasticitetskonstanter, cABCDc_{ABCD}, cABCDEc_{ABCDE}, etc., vars existens och inverkan är mer framträdande i material som genomgår stora deformationer. För svaga icke-linjära material kan vissa av dessa termer försummas, men för starkt icke-linjära material är dessa effekter avgörande.

Det som definierar ett elastiskt material i en tredje ordningens teori är att effekterna av alla termer upp till de tredje ordningens gradienter av förskjutningarna inkluderas. Detta innebär att teorin tillåter att man inkluderar effekter som är relaterade till produkterna av förskjutningarna, samt gradienter av dessa, vilket gör att den kan beskriva ett bredare spektrum av materialbeteenden. En sådan teori kan extraheras genom att göra expansioner och nedskärningar från den fullständiga icke-linjära teorin, vilket gör det möjligt att få en mer exakt beskrivning av de materialmekaniska egenskaperna.

För att ta fram de exakta samband som styr de tredjepartsbetingade deformationerna, måste man ta hänsyn till termer som beskriver materialets respons på både linjära och icke-linjära förändringar. Till exempel, om vi ser på den konstitutiva relationen för ett material som beskrivs av en sådan teori, får vi ett uttryck som beskriver de förändringar i spänningar som uppstår vid deformationen:

KLj=δjM⋅cuA,B+cuK,AuK,B+cuM,KuA,B+…KL_j = \delta_j M \cdot c_{uA,B} + c_{uK,A} u_K,B + c_{uM,K} u_A,B + \dots

Här uttrycks termer som påverkar materialets elastiska respons genom tredjepartskoefficienterna, vilket gör att modellen blir mer detaljerad och kan hantera material med mycket mer komplexa egenskaper än vad som är möjligt i linjära teorier. När dessa högre ordningens termer tas med i beräkningarna får vi en mer exakt förutsägelse av hur materialet kommer att bete sig under olika belastningar.

Det är också viktigt att förstå hur de olika materialkonstanterna och deras symmetrier påverkar teorins tillämpning. För exempelvis isotropa material kan den elastiska styvheten beskrivas med bara två oberoende materialkonstanter. Däremot, för material som uppvisar anisotropiska egenskaper, kan den elastiska styvheten vara beroende av ett större antal konstanta värden som definierar dess respons under olika typer av belastningar.

När man går över till linjära teorier för små deformationer, kan de ursprungliga icke-linjära modellerna förenklas avsevärt. Detta görs genom att anta små förskjutningar där gradienterna av förskjutningarna kan betraktas som infinitesimala, vilket i sin tur leder till de traditionella linjära elastiska modellerna. Här förenklas termer som beskriver större deformationer, och den linjära teorin får därmed ett brett användningsområde för att beskriva små påfrestningar på materialet.

Det är av största vikt för den som arbetar med sådana materialmodeller att förstå hur dessa modeller kan appliceras på verkliga material, där större och mer komplexa deformationer ofta förekommer. För sådana applikationer, där linjära teorier inte längre håller, är det avgörande att använda en mer detaljerad beskrivning som beaktar både andra- och tredjeordningens effekter för att förutsäga materialbeteendet korrekt under dessa förhållanden.

Hur teknologiska innovationer formade civilisationerna: Från antikens vetenskap till medeltidens maskiner
Hur man utnyttjar Google Hacking för att hitta känslig information
Hur man arbetar med closures och deras kraftfulla tillämpningar i programmering
Hur fungerar sCO2-turbinen och vilka utmaningar finns?