Vad är volymen för hyperboliska Brunnian-länkar och hur beräknas den?

För hyperboliska länkar Br(k1, ..., kn), gäller följande övre gräns för volymen:

Enligt Korollar 21.3.5 för varje $n \geq 2$ gäller att värdet

är en gränspunkt för volymerna av hyperboliska Brunnian-länkar med $n$-komponenter. Denna relation ger en teoretisk uppfattning om hur volymen utvecklas när $n$ ökar.

Kapitel avslutas med några öppna problem relaterade till hyperboliska Brunnian-länkar:

Problem 21.3.1: Vad är den minsta volymen för en hyperbolisk Brunnian-länk med $n$-komponenter? Det är välkänt att länken "Borromean rings" är aritmetisk.

Problem 21.3.2: Vilka Brunnian-länkar är aritmetiska? Detta är ett intressant problem att beakta när man diskuterar Brunnian-länkar, eftersom de kan ha speciella egenskaper beroende på deras struktur.

För att ytterligare fördjupa sig i detta ämne och bättre förstå volymen och strukturen hos dessa länkar, behöver man överväga de grundläggande egenskaperna hos hyperboliska mångfalder och deras geometri. Vidare är det av vikt att beakta hur specifika konstruktioner av länkar, som Borromean-ringar, kan bidra till förståelsen av de volymmässiga begränsningarna och aritmetiska egenskaperna hos dessa strukturer. Det är också viktigt att förstå den detaljerade kopplingen mellan topologi och geometri när det gäller att beräkna volymerna av länkar och att hur dessa problem interagerar med avancerade begrepp inom matematikens och fysikens värld.

Hur matematik och fysik sammanflätas i den moderna vetenskapen

Fysikens relation till matematik är en komplex och djupgående fråga som har utvecklats under flera århundraden. Under den vetenskapliga revolutionen och framväxten av modern fysik genom figurer som Descartes, Galileo och andra, blev det tydligt att fysik inte bara är en fråga om observation och experiment, utan också om matematisk modellering. För att förstå fysikens sanna natur, krävs inte bara observation av fenomen utan också en matematisk formulering som kan förutsäga dessa fenomen. Detta förhållande mellan matematik och fysik är inte nytt, men har utvecklats och intensifierats med tiden.

Enligt Martin Heidegger är modern vetenskap experimentell tack vare dess matematiska projekt. Matematikens roll i fysiken går bortom enbart mätningar av kvantitativa data; den är själva grunden för att förstå och förutsäga naturens struktur. Enligt Heidegger handlar detta inte bara om att kvantifiera det som observeras, utan om en fundamental relation mellan matematik och fysik som gör att vi kan konstruera teorier om universums allra mest grundläggande lagar.

För att förstå denna relation, kan man se på geometri, som ursprungligen var ett sätt att beskriva fysiskt rum. Under antiken var geometri en vetenskap som handlade om mätningar av objekt i rummet. Under 1900-talet, med Albert Einsteins allmänna relativitetsteori (GR), återupplivades denna syn på geometri som en beskrivning av gravitationens fysik. Men vid den tiden hade geometri och fysik separerats, vilket förstärktes av framväxten av topologi som ett eget matematiskt ämnesområde.

Denna separation är dock inte absolut. Under 1700-talet hade matematiker som Leonhard Euler, Jean le Rond d'Alembert och Pierre Simon de Laplace, alla arbetat med att förstå relationen mellan matematik och fysik. Euler var en av de viktigaste gestalterna för att skapa den moderna matematikens grunder och hans arbete med topologi gav viktiga insikter om strukturen i fysiska system. På 1800-talet blev den relationen än mer tydlig genom arbetet av Karl Friedrich Gauss och Bernhard Riemann, vars geometri blev grundläggande för senare utvecklingar inom fysik.

Kant lade fram en viktig skillnad mellan fenomen och ting-i-sig, där fenomenen, de objekt vi observerar och mäter, är produkter av vårt sinne, medan tingen-i-sig är det som finns oberoende av vårt medvetande. Inom klassisk fysik och relativitetsteori är det möjligt att identifiera fenomenen med de objekt vi betraktar, och dessa objekt kan representeras matematisk för att förutsäga deras beteende. Denna relation mellan fenomen och objekt har dock blivit mer komplex inom kvantmekanik, där fenomenen inte kan enkelt kopplas till de objekt som tros orsaka dem. I kvantmekaniken är fenomenen något annat än objekten, och detta förhållande kan inte reduceras till en enkel matematisk representation av verkligheten.

I de tolkningar av kvantmekanik som kallas "realitet utan realism" (RWR) betraktas denna skillnad mellan fenomen och objekt som ännu mer fundamental. Enligt dessa tolkningar är den verkliga naturen av de kvantmekaniska objekten bortom både vår förmåga att förstå och vår förmåga att konceptualisera. Detta sträcker sig bortom Kants teori om tingen-i-sig och innebär att vi inte ens kan tänka oss den verkliga naturen av kvantobjekt. Därmed blir kvantmekaniken och dess fenomen något som inte bara kan representeras i matematiken utan också något som ligger bortom all mänsklig förståelse.

Det som gör detta särskilt intressant är att det påminner oss om att vetenskapen, trots all sin matematisk rigorositet, fortfarande är beroende av en filosofisk och ontologisk grund för att tolka de fenomen vi observerar. När vi talar om kvantmekanik och andra moderna teorier, rör vi oss i ett område där våra vanliga föreställningar om verklighet och observation inte längre är tillräckliga för att ge oss en fullständig bild av världen.

Det är också viktigt att förstå att matematik, särskilt inom fysik, är mer än bara en metod för att beskriva världen; det är också ett verktyg för att förutsäga nya fenomen. Till exempel, Einsteins generalrelativitet förutsade fenomen som gravitationslinser, vilket inte var direkt observerbart vid tidpunkten för teorins utveckling, men som senare blev bekräftat genom experiment. Matematikens förmåga att förutsäga nya fenomen är därför en grundläggande aspekt av dess roll i modern vetenskap.

I slutändan handlar relationen mellan matematik och fysik om mer än bara tekniska verktyg eller representationer; det handlar om hur vi förstår universum och vår plats inom det. Vetenskapen och filosofin är oupplösligt förenade i denna strävan att förstå verkligheten, och även om vi inte kan förstå alla dess djupaste aspekter, kan vi ändå förlita oss på matematikens kraft att ge oss en praktisk och teoretisk karta över världen omkring oss.

Hur diskret och kontinuerlig verklighet påverkar fysik och matematik

Avvägningen mellan kontinuitet och diskretisering är en central fråga i både matematik och fysik. Diskussionen om dessa begrepp går tillbaka till de grundläggande frågorna som Hermann Weyl lyfte fram i början av 1900-talet, där han insisterade på att den matematiska världens abstraktioner ofta är långt ifrån vår vardagliga förståelse av fenomen som rum och tid. Trots denna distans ansåg Weyl att den moderna fysiken, framför allt relativitetsteorin och kvantteori, var beroende av dessa abstrakta matematiska modeller, även när de inte motsvarade vårt intuitiva sätt att förstå världen.

Det är här som Weyls syn på kontinuitet kontra diskretisering blir viktig. Weyl hävdade att den matematiska strukturen ofta inte överensstämmer med vår fysiska intuition. Han pekade på att diskretiseringens natur kanske inte är förenlig med hur vi intuitivt uppfattar världen som kontinuerlig. Detta perspektiv blev än mer relevant i ljuset av Gödel's ofullständighetsteorem från 1931 och Paul Cohens bevis från 1960-talet om kontinuitetshypotesens obeslutsamhet, som ytterligare fördjupade förståelsen av att vi inte riktigt kan förstå eller definiera kontinuiteten i termer av matematik som vi gör i vårt fenomenala medvetande.

Det är också denna skillnad mellan diskret och kontinuerlig som ligger till grund för teorier som Yang-Mills teori, som söker beskriva fundamentala krafter i naturen genom diskreta symmetrier. Frågan om huruvida naturen på grundläggande nivå är diskret eller kontinuerlig, och huruvida dessa två tillstånd kan vara sammanlänkade, är fortfarande föremål för debatt. I kvantfysikens värld är det möjligt att vi ser fenomen som på ytan verkar kontinuerliga, men på en djupare nivå är fundamentalt diskreta.

Även om många av de klassiska teorierna, som Newtons mekanik och Einsteins relativitet, är definierade av kontinuerliga matematiska strukturer, är det viktigt att förstå att kvantmekaniken, och särskilt kvantfältteorin, hanterar diskretisering på ett sätt som inte bara är teoretiskt intressant utan också har praktiska konsekvenser. I kvantteori är partiklar och fält inte längre konti- nuumobjekt utan distinkta, diskreta entiteter, och interaktioner mellan dessa entiteter sker genom kvantiserade nivåer.

Det som ofta glöms bort är att även om diskretisering verkar vara en matematisk nödvändighet för att beskriva mikroskopiska fenomen, är det möjligt att på en djupare nivå dessa diskreta fenomen inte är isolerade. De kan mycket väl vara kopplade genom en underliggande struktur som ännu inte har blivit fullt förstådd. Weyl påpekade att för att kunna representera världen med hjälp av matematik måste fysikens teorier ofta ge upp sin krav på en direkt matchning med vår fenomenala uppfattning av världen.

De svårigheter som denna diskrepans mellan matematiska modeller och fysisk intuition medför, kan vara avgörande för hur vi förstår fysikens och matematiken natur. Särskilt i den moderna fysiken, där fenomen som kvantfluktuationer och subatomära partiklar inte går att förstå utan att tillgripa de abstrakta verktygen från modern matematik, måste man fråga sig om dessa abstraktioner på något sätt speglar den verkliga strukturen hos universum.

För att förstå dessa relationer och spänningar mellan kontinuitet och diskretisering, är det också viktigt att betänka hur de matematiska och fysiska teorierna påverkar varandra. Den matematiska abstraktionen som ligger till grund för kvantteori och relativitet har tvingat fysiken att utvecklas bortom den vanliga intuitiva världen och söka efter nya sätt att representera och förstå de fenomen som vi observerar. Men detta innebär inte att vår förståelse av världen kan vara helt abstrakt och utan anknytning till de fenomen vi upplever. I slutändan måste den abstrakta matematiken användas för att skapa modeller som på något sätt kan relatera till och beskriva den verkliga, observerbara världen.

Hur bevisade Poénaru och Gabai Poincarés hypotes och andra relaterade resultat inom låg-dimensionell topologi?

David Gross var student. På detta ämne vill jag nämna artiklar av Steve Weinberg, John H. Schwarz och David Gross, i volymen tillägnad G. F. Chew, "A passion for Physics", World Scientific (1985). Allt detta tar oss fram till omkring 1980, då jag fortsätter tråden om Poincaré-hypotesen, vilken fortsatte att uppta det mesta av min tid och energi, även om detta förblev mestadels underjordiskt, med få externa manifestationer, under mycket lång tid.

År 1970 lyckades jag bevisa "honeycomb representation theorem" [21] och [57] (en förbättrad version), vilket kom att bli det första steget i mitt program. Vid omkring 1972 tog mitt projekt form i två (förmodade) etapper av ungefär lika svårighetsgrad och, i själva verket, mycket lika problem: (i) "The Coherence Theorem" (som motsvarar teorem 2 + förmodan 4) och (ii) implikationen (Coherence theorem) ⇒ ( 3 = B3). Vid denna tid blev jag övertygad (liksom Dave Gabai) om att inga traditionella tricks, i själva verket ingen fin proces, någonsin skulle kunna övervinna (i) och (ii); vi skulle aldrig lyckas utan att bara flytta svårigheterna till en annan plats.

Då jag alltid varit besatt av Barry Mazurs tillvägagångssätt för Schoenflies-problemet, bestämde jag mig för att försöka iterera, oändligt, den långa proceduren som bevisar existensen av honungscomb-representationen, i ett försök att jaga bort svårigheterna i det oändliga. Men det var inte förrän omkring 1980 som denna oändligt komplicerade process började konvergera. Vid denna tidpunkt lade jag ned alla andra forskningsaktiviteter för att enbart ägna mig åt Poincaré-hypotesen, och inget annat (1980–1989).

Men innan jag fortsätter berättelsen, måste jag göra ett litet avbrott. Fortfarande motiverad av Poincaré formulerade jag en viss förmodan om knutar omkring 1974; ett skriftligt spår kan hittas i [32], där även min egen version av Cassons handtag kan hittas, se också [23]. Denna förmodan blev snart känd som "Poénarus förmodan" och genererade ett stort intresse och arbete. Den är för teknisk för att jag ska kunna redogöra för här, men låt mig nämna en korollär som också var min motivation.

Låt M4 vara en kompakt 4-dimensionell slät mångfaldighet sådan att H∗(M4) = H∗(pt), och som tillåter en handtagsdekomposition M4 = B4 + h2 + H3, där h2 är ett handtag med index 2 och H3 ett handtag med index 3. Då gäller att M4 D==I=F=F B4. "Poénarus förmodan" motstod alla specialisters ansträngningar tills Dave Gabai lyckades bevisa den, med en helt ny teknik ("Foliationer och Topologi för 3-mångfalder" III, Jour. of Diff. Geom 26 (1987), s. 479–536). Detta var början på min matematiska relation med Dave, som är så viktig för mig.

Å andra sidan, omkring 1989–1990, började de första partiella resultaten för π∞ 1 (M˜3) också dyka upp [54–56]. Eftersom dessa var mycket enklare än Poincaré-arbetet, med en faktor jag inte vågar nämna, drog de mycket mer uppmärksamhet och många människor blev intresserade av dem. Även för [56] var jag återigen i vänskaplig tävlan med Andrew Casson.

Mer nyligen (september 1999) lyckades jag slutföra beviset för följande teorem: Teorem 25.1 Låt M3 vara en sluten 3-dimensionell mångfaldighet. Då är den universella täckningen M˜3 enkelt sammanhängande vid oändligheten, π∞ 1 (M˜3) = 0. Beviset för detta teorem, som annonserades i [67] och [65], finns i [68] och [70]. Historien om problemet är lång, och låt mig bara här påpeka att analogin av Teorem 1 i alla dimensioner n ≥ 4 är känd att vara falsk (M. Davis 1982), även när π1(M n) är en "generisk" ("tam") grupp, som till exempel hyperboliska grupper i Gromovs mening. Teorem 1 är lika relevant för teorin om låg-dimensionella varieteter och teorin om diskreta grupper. Mitt bevis var kulminationen av 20 års arbete, punkterat med preliminära eller partiella resultat [54–56, 58–60, 69]. Artikel [65] ger en panoramavy av hela programmet. Bevisningsmetoderna för Teorem 1 är inspirerade av B nedan, men till skillnad från B för 1, där dimension fyra är avgörande, här arbetar vi i mycket höga dimensioner, för att till slut komma fram till ett 3-dimensionellt resultat.

För resten, 3 kommer att vara en 3-dimensionell homotopiboll, # betyder sammanlänkning längs kanterna och "geometriskt enkelt sammanhängande" betyder möjligheten att hitta en handtagsdekomposition (i DIFF-kategorin), utan index ett handtag.

De viktigaste resultaten hittills om Poincaré-hypotesen kan sammanfattas i följande två teorem:

Teorem 25.3 (Den stabil

Vad är en co-basin och dess roll i komplexiteten av ett system?

I den teoretiska studien av system där funktioner inte har några kritiska punkter, kan begrepp som basiner och co-basiner spela en avgörande roll för att förstå topologiska strukturer och komplexiteter. En co-basin, definierad som en maximal boll $B^*$, är ett område där gränsen består av två delar: en horisontell skiva $\partial F B^*$, där $z_0$ anger dess nivå, och en disk $\partial L B^*$ som är innesluten i L-gränsen för en bas $B(m)$. Denna gräns bildar ett system av referenspunkter där varje negativ minimum är kopplat till en unik co-basin. Denna struktur fungerar som en form av "ficka" för basinsystemet, vilket ger ytterligare insikter i hur de relaterade minimipunkterna samverkar.

Vidare, när vi undersöker basiner och deras gränser, ser vi att de kan innehålla en unik saddel, som i vissa fall fungerar som en tröskelpunkt mellan olika typer av interaktioner mellan minima och saddlar. Ett sådant system kan innefatta flera basiner som är sammanfogade genom gemensamma saddelgränser, vilket innebär att varje co-basin kan knytas till flera olika basiner genom en komplex geometrisk dynamik.

Vad gäller den tekniska implementeringen av dessa koncept, ger bevisen som presenteras i formeln Lemma 9.5.5 en detaljerad insyn i hur basiner och deras gränser opererar. Genom att förstå dessa basstrukturer kan vi förutsäga beteenden i system där det finns en kombination av positiva och negativa minima och maxima, samt hur dessa strukturer kan förändras över tid när systemet genomgår transformationer via diffeomorfier.

Det är också värt att notera att en co-basin, till skillnad från en vanlig basin, inte kan innehålla några negativa minima inom sin L-gräns. Detta beror på att en co-basin skapar en typ av skyddad region, där endast specifika interaktioner mellan saddlar och minima kan inträffa. På så sätt upprätthåller systemet en stabilitet där de minsta förändringarna i topologin kan studeras utan att förlora den övergripande strukturen.