Varför uppstår kontaktmotstånd i ballistisk transport?

Vid första anblicken kan det tyckas paradoxalt att ett elektriskt motstånd existerar i en perfekt ballistisk ledare där inga kollisioner mellan elektroner och gitter förekommer. Klassisk teori förutspår att konduktansen hos en sådan ledare borde divergera när dess längd går mot noll, enligt $G = \sigma W / L$, där $\sigma$ är ledningsförmågan, $W$ bredden och $L$ längden på ledaren. Experiment visar emellertid att konduktansen inte växer utan gräns, utan snarare närmar sig ett ändligt värde $G_c$, vilket motsvarar ett kontaktmotstånd som inte kan negligeras ens i idealfall.

Orsaken till detta kontaktmotstånd är inte materialspecifik utan snarare en kvantmekanisk effekt som uppstår vid gränssnittet mellan kontakt och ledare. Elektronflödet i kontakterna består av ett stort antal tvärgående mod, medan endast ett begränsat antal mod kan stödjas i den smalare ledaren. Denna skillnad kräver en omfördelning av strömbärande mod vid gränsytan, vilket ger upphov till ett motstånd – kontaktmotståndet.

Detta leder till ett universellt resultat: konduktansen per mod är kvantiserad i enheter av $2e^2/h$, oberoende av geometriska dimensioner eller elektronernas bandstruktur. Följaktligen ges kontaktmotståndet av $G_c^{ -1} = h / (2e^2 M)$, där $M$ är antalet tvärgående mod i ledaren. För ett enda mod är detta motstånd cirka 12.9 kΩ, vilket är långt ifrån försumbart.

Experimentellt har denna kvantiserade konduktans bekräftats i tvådimensionella elektrongas-system (2DEG) som skapats i GaAs/AlGaAs-heterostrukturer. Genom att tillverka punktkontakter med elektronlitografi och kontrollera deras bredd med hjälp av grindspänning, har man observerat tydliga konduktansplatåer som ett direkt uttryck för konduktanskvantisering. Vid 0.6 K registreras upp till 16 tydliga platåer när spänningen varieras från −0.6 till −2.2 V, vilket ger ett direkt bevis på att varje mod bidrar med exakt $2e^2/h$ till den totala konduktansen.

I detta sammanhang blir kontaktmotstånd inte bara en teknisk komplikation utan ett grundläggande uttryck för den kvantmekaniska naturen hos laddningstransport. Det finns ingen klassisk motsvarighet till denna effekt, vilket understryker behovet av kvantteori för att korrekt beskriva nanoskaliga transportfenomen. Det faktum att övergången mellan många mod i kontakterna och få mod i ledaren medför irreversibla processer trots att systemet är elastiskt, belyser också gränserna för klassiska begrepp som resistans och ohmisk kontakt.

Vidare är det viktigt att förstå att detta kontaktmotstånd existerar även i frånvaro av någon egentlig spridning inom ledaren själv. Det är en manifestation av begränsning

Hur påverkar kvantinterferens hålstransport i en kvantledning?

I kretsen i figur 10.7a kan den totala vågfunktionen uttryckas som en kombination av flera komponenter:

där $k_h = \sqrt{2 m_h E}$, $k_l = \sqrt{2 m_l E}$, och de olika koefficienterna $c_1, c_2, c_3, c_4$ bestäms av gränsvillkoren. Här representerar $m_h$ och $m_l$ de effektiva massorna för tunga och lätta hål respektive. De första gränsvillkoren för hålens vågfunktioner är desamma som för elektronvågfunktionerna. Det andra gränsvillkoret beskrivs av ekvationerna 10.4 och 10.5, där strömmen genom ledaren måste beaktas. Vid korsningen av de olika lederna måste gränsvillkoren uppfyllas enligt:

Håltransporter i kvantinterferenstransistorer är mer komplexa än elektrontransporter. Varje krets innehåller fyra okända koefficienter, vilket gör att det inte alltid är möjligt att få fram analytiska resultat för dessa koefficienter. För att kunna analysera håltransporten i kvantinterferenstransistorer med en enda port, enligt figur 10.7c, undersöker vi det fallet där en tung hål med en specifik vågvektor $k$ träder in i källa 1 och lämnar från avlopp 3, medan port 2 fungerar som en grind vars längd $L$ styrs av grindspänningen. Vågen i grindstubben 2 är en stående våg med sitt nollpunkt vid grinden.

Om vi definierar punkt O som ursprung för alla tre kretsarna kan vågfunktionerna skrivas som:

Efter att ha tillämpat gränsvillkoren erhålls ett system av linjära algebraiska ekvationer för de sex koefficienterna i ekvation 10.37. De resulterande transmission- och reflektionsfunktionerna är givna av:

De numeriska resultaten som visar transmissions- och reflektionsfunktioner som funktioner av $kL$ för strukturen i figur 10.7c kan ses i figur 10.8a. Här ser vi att $T_{hh}$, $T_{hl}$, och $R_{hh}$ alla oscillerar med $kL$ med en period på ungefär $5\pi$. För att underlätta beräkningarna har vi antagit att förhållandet mellan vågvektorerna för de lätta och tunga hålen är ungefär 0.395. När detta förhållande ändras till ett närliggande värde på 0.4 får vi en mer regelbunden oscillationsform, som visas i figur 10.8b. Det framgår att Thh-kurvan i figur 10.8b visar två huvudtoppar och två huvudsakliga dalar per period. Detta tyder på att en del av det tunga hålet omvandlas till ett lätt hål, vilket är ett resultat av interferensen mellan de tunga och lätta hålen.

Det är viktigt att förstå att dessa kvantinterferenseffekter inte bara påverkar transmissions- och reflektionssannolikheterna utan även kan användas för att designa mer effektiva kvanttransistorer. Genom att justera grindspänningen och längden på de olika lederna kan man styra vågvektorerna för både tunga och lätta hål, vilket ger stor kontroll över transportmekanismerna och resulterande strömmar i en kvantledning.