Hur kan en lyftning av ett simplicialt avbildning bli ett inbäddat mapp?

Ett fundamentalt resultat inom topologi är att vissa typer av simpliciala avbildningar mellan polyedrar kan lyftas till inbäddningar under specifika förutsättningar. Låt oss utforska de tekniska detaljerna kring dessa lyftningar, särskilt när vi behandlar icke-degenererade simpliciala avbildningar mellan ändliga simpliciala komplex.

För att förstå begreppet "lyftning" är det först viktigt att ha en klar definition av en simplicial avbildning. Om vi har en simplicial avbildning $f: K \to L$ , där $K$ och $L$ är simpliciala komplex, innebär det att $f$ bevarar simplicial strukturen i den meningen att det avbildar varje simplicium i $K$ på ett simplicium i $L$ . Men att en sådan avbildning bevarar denna struktur betyder inte nödvändigtvis att den kan lyftas till en inbäddning, vilket är en mer strikt krav.

En lyftning av en simplicial avbildning $f$ till en inbäddning innebär att det finns en "helt enkelt" inbäddad mappning från den geometriska realiseringen $|K|$ av komplexet $K$ till den geometriska realiseringen $|L|$ av komplexet $L$ . Men det krävs ytterligare villkor för att detta ska vara möjligt. Här kommer olika teorem in i bilden och ger nödvändiga och tillräckliga villkor för existensen av sådana lyftningar.

Admissibla linjära ordningar

Ett av de mest centrala begreppen i denna diskussion är den så kallade "admissibla samlingen av linjära ordningar". För att förtydliga: om $f: K \to L$ är en icke-degenererad simplicial avbildning, för varje simplex $C \in L$ definieras $K_C$ , mängden av alla simplicier $A \in K$ som avbildas på $C$ under $f$ . För varje sådan mängd $K_v = f^{ -1}(v)$ associerar vi en linjär ordning på dessa simplicier. Samlingen av dessa ordningar kallas admissibel om den inducerar linjära ordningar på alla mängder $K_C$ , där $C \in L$ .

Det krävs alltså att linjära ordningar på $K_v$ är kompatibla på ett sätt som bevarar ordningen på simplicier i $K_C$ . Om dessa ordningar inte uppfyller vissa villkor, kan inte en lyftning till en inbäddning existera. Den nödvändiga egenskapen är att för varje par av simplicier $A, B \in K_C$ , om $f(v) = f(w)$ för $v \in A$ och $w \in B$ , måste antingen $v \prec f(v) w$ eller $v \succ f(v) w$ gälla för alla sådana par av vertikser $(v, w)$ .

Tillräckliga och nödvändiga villkor

Teorem 16.2 bekräftar att en simplicial avbildning $f: K \to L$ lyfts till en inbäddning om och endast om det finns en admissibel samling av linjära ordningar på mängderna $K_v$ , $v \in V(L)$ . Detta teorem visar också att det finns en bijektion mellan de admissibla samlingarna av linjära ordningar och isotopiklasserna av lyftningar. Det innebär att för varje admissibel samling kan vi konstruera en lyftning som är isotop till en annan.

Reducering till grafproblem

En annan intressant aspekt är att bestämningen av om en lyftning finns kan reduceras till ett problem om grafers egenskaper. Enligt Teorem 16.3, om vi ser på den så kallade "en-dimensionella skelettet" $sk^1(K)$ och $sk^1(L)$ av de simpliciala komplexen $K$ och $L$ , kan vi reducera problemet om lyftning till en graf. Detta innebär att även om den ursprungliga frågan handlar om polyedrar i högre dimensioner, kan problemet om lyftning av en piecewise linear mappning reduceras till en fråga om grafers struktur.

En särskilt intressant konsekvens av detta är att genom att studera lyftningen på $sk^1(K)$ och $sk^1(L)$ , kan vi ofta reducera frågan om lyftningens existens till en enklare fråga om grafers relationer. Detta kan förenkla lösningen på problem inom algebraisk topologi, särskilt när vi arbetar med generaliseringar av immersionsproblem för ytor i $\mathbb{R}^3$ .

Exempel och ytterligare material

För läsaren som vill fördjupa sig i teorin kring lyftningar av simpliciala avbildningar och deras inbäddningar, kan det vara användbart att studera exempel som dem som presenteras i proposition 4 i [10], lemma 1.4 i [21], och teorem 5 i [16]. Dessa exempel ger en djupare förståelse av hur de olika linjära ordningarna och lyftningarna är kopplade och erbjuder en konkret bild av när dessa lyftningar existerar.

Vidare kan läsaren också titta på frågorna kring grafers isotopiklasser och hur dessa förhåller sig till simpliciala avbildningar. Genom att studera de 3-CNF booleska formlerna som definieras senare i texten, kan man förstå hur lyftningen kan representeras som ett logiskt problem, vilket öppnar upp för mer algebraiska metoder för att lösa problem om lyftningens existens.

Hur relaterar Alexanderformer och Reidemeister-torsion till genus ett-ytor?

Alexanderformen $A_X$ för ett tredimensionellt orienterat kompakt mångfald $X$ med begränsning och vald baspunkt är en topologisk invariant upp till homotopieekvivalens av par $(X, p)$ . Denna form är beroende av valet av baspunkt endast i den meningen att vi behöver en referenspunkt för att lyfta kurvor till den universella täckningen $\widetilde{X}$ . Men själva invariantens klass är oberoende av baspunktens läge. Det som etableras är en naturlig korrespondens mellan topologi och algebra genom homologi- och fundamentala grupper, där varje baserad kurva tolkas både som element i $\pi_1(X, p)$ och via dess exponent i gruppalgebran $\mathbb{Z}[\exp(H_1(X))]$ .

I fallet där $X = E_0$ , som är komplementet till ett handtag i $S^3$ , kan man uttrycka dess algebraiska struktur genom generatorerna $\tilde{u}_\alpha$ och $\tilde{u}_\beta$ med en presentation utan relationer, vilket gör att Alexanderformen där är fullständigt bestämd av värdet på $\tilde{u}_\alpha \wedge \tilde{u}_\beta$ . Den linjära formen $A_{E_0, P_0}$ uppfyller då $A_{E_0, P_0}(\tilde{u}_\alpha \wedge \tilde{u}_\beta) = 1$ , vilket återspeglar att inga icke-triviala relationer finns mellan generatorerna på detta stadium.

Fox-beräkningar gör det möjligt att explicit räkna ut hur lyfta kurvor multipliceras i homologigrupperna. Det visar sig att för två baserade kurvor $\gamma$ och $\delta$ gäller $\tilde{\gamma} \delta = \tilde{\gamma} + \exp(\gamma)\tilde{\delta}$ , vilket konkretiserar hur grupplagarna på topologiskt plan översätts till linjär algebra i homologirummet.

I det fall där $X$ är randytan till en genus 2-yta får man särskilda relationer mellan lyften av de baserade kurvorna $u_\alpha, u_\beta, u_\gamma$ , som i sin tur bestämmer hur Alexanderformen verkar. Specifikt gäller att $\tilde{u}_\alpha + \exp(u_\alpha)\tilde{u}_\beta + \exp(-u_\gamma)\tilde{u}_\gamma = 0$ , samt att kilprodukterna transformeras enligt $\tilde{u}_\beta \wedge \tilde{u}_\gamma = \exp(u_\gamma)\tilde{u}_\alpha \wedge \tilde{u}_\beta$ . Dessa identiteter är inte endast algebraiska utan speglar den geometriska strukturen hos ytan och dess omgivning.

När man sedan betraktar Reidemeister-torsionen $\tau(X)$ , kan man genom Alexanderformen återfinna den, upp till tecken och multiplikation med en enhet, genom att sätta $A_X(u) = \pm \tau(X) \cdot \partial(u)$ , där $\partial$ är randen av det lyfta elementet, definierad som $\partial(\tilde{x}) = \exp(x) - 1$ . Det innebär att Alexanderformen, som primärt är definierad i termer av generatorer och relationer i homologi, i själva verket kodar Reidemeister-torsionen när den tolkas genom denna randavbildning.

Betydelsen av detta blir särskilt tydlig när man studerar tredimensionella mångfalder som är komplementet till genus ett-yta $\Sigma$ inbäddad i en rationell homologisfär. Genom att betrakta $E = R \setminus \phi(H_0)$ , där $\phi$ är en inbäddning av handtaget i sfären $R$ , och konstruera $E[K]$ genom att fästa ett 2-handtag längs randen $K = \partial \Sigma$ , fås ett nytt rum vars Reidemeister-torsion normaliseras genom Alexanderformen för $E$ .

En avgörande punkt här är fixeringen av tecken i de algebraiska uttrycken: genom att välja en symplektisk bas $(\alpha, \beta)$ av $\Sigma$ och definiera deras kopior i den motsatta randen $\Sigma^-$ , får man en naturlig orientering av $H_1(E; \mathbb{Q})$ . Detta gör det möjligt att entydigt bestämma tecknet i uttrycket $\varepsilon \cdot AE(\tilde{\alpha} - \tilde{\alpha}^- \wedge \tilde{\beta} - \tilde{\beta}^-) = |H_1(R)|$ , vilket låter oss definiera Alexanderformen entydigt upp till multiplikation med en positiv enhet.

Detta i sin tur leder till att Reidemeister-torsionen $\tau(E[K])$ kan skrivas som $A_E(\tilde{K} \wedge u) = \tau(E[K]) \cdot \partial(u)$ , vilket kopplar samman torsionen med Alexanderformen via randavbildningen. På detta sätt uppstår ett element $D(\Sigma)$ i gruppalgebran $\Lambda^2 H_1(E)$ , välbestämt upp till enhet, och dessutom invariant under orienteringsbyte av $\Sigma$ .

Denna konstruktion gör det möjligt att definiera topologiska invariants av $\Sigma$ via algebraiska metoder, där elementet $D(\Sigma)$ är invariant under isotopier av inbäd

Är determinism förenligt med kvantmekanik och relativitet?

I denna verklighet, A, vid en given tidpunkt bestämmer, genom en viss lag (som till exempel Newtons gravitationslag), tillståndet för denna verklighet vid en framtida tidpunkt, X, och A bestäms också av samma lag genom ett tidigare tillstånd. Denna definition kräver inte att A är en orsak till X, vilket kan vara något annat, exempelvis gravitationskraften i Newtons mekanik. Med determinism refererar jag, epistemologiskt, till möjligheten, idealt sett, att exakt kunna förutsäga beteendet hos de system som studeras, vilket inte nödvändigtvis kräver determinism, även när dessa system är orsakssamband. I fallet med individuella eller små (icke-kaotiska) system inom klassisk fysik, är kausalitet och determinism sammanfallande. Å andra sidan, medan klassisk statistisk fysik och kaosteori är ontologiskt orsakssambandsbundna, är de epistemologiskt sett inte deterministiska, eftersom komplexiteten hos de studerade systemen kräver användning av sannolikhet för att förutsäga deras beteende. Denna användning är dock endast ett resultat av vår otillräckliga kunskap om den verklighet som betraktas, som antas vara orsakssambandsbunden. Detta antagande blir svårt att upprätthålla inom kvantmekanik (både QM och QFT) och är principiellt omöjligt i RWR-tolkningar, eftersom ingen ontologi för den ultimata konstitutionen av den verklighet som ansvarar för kvantfenomen är möjlig. I dessa tolkningar är användningen av sannolikhet inom kvantmekanik ett resultat av denna omöjlighet snarare än brist på praktisk kunskap om den yttersta verkligheten bakom kvantfenomenen, en verklighet som ligger bortom både begrepp och i princip bortom någon möjlig kunskap.

Relativitetsteorin, med början i den speciella relativitetsteorin (SR), introducerade nya mått på mätningar och förändrade mätinstrumentens (stänger och klockor) roll, vilket gjorde att rum och tid definieras av dem, snarare än att vara något som antas existera oberoende och sedan mätas av stänger och klockor, såsom var fallet med Newtons absoluta rum och tid. Ändå, precis som i klassisk mekanik, förutspådde SR resultatet av mätningar baserat på sin matematiska formalism, vilken först och främst representerade hur dessa resultat uppkommer. Detta var möjligt eftersom, som i klassisk mekanik, man för alla praktiska syften kunde anta att, i Bohrs ord, "de berörda fenomenen kan observeras utan att störa dem avsevärt." Denna förutsättning är inte längre möjlig i kvantfysik, oavsett tolkning. I RWR-tolkningar är QM eller QFT, med tanke på denna omöjlighet, representativt frånkopplade både från den fysiska uppkomsten av kvantfenomenen, som inte längre representeras av QM eller QFT, eller på annat sätt, och dessa fenomen själva, representerade av klassisk teori och inte av QM eller QFT. Följaktligen blir både klassisk fysik (med tillägget av SR i högenergi-regimer) och QT nödvändiga, utan att vara förenade eller ens förenliga inom en enda teori.

Klassisk fysik är nödvändig för att beskriva de observerade kvantfenomenen, som vi kan "se", medan QT är nödvändigt för att förutsäga de data som observeras i dessa fenomen, de data som görs möjliga av den RWR-typ verklighet som interagerar med experimentell teknik. Klassisk fysik kan dock inte förutsäga dessa data. Denna oförmåga ledde till uppkomsten av QT, med början i Plancks upptäckt av den kvantiserade naturen hos strålning 1900. Från Planck och framåt har QT alltid varit en probabilistisk teori, vilket, som redan påpekats, är helt i enlighet med kvantexperiment, eftersom inga andra förutsägelser är möjliga i allmänhet.

Som nämnts tidigare, oavsett om en representation av den fysiska verkligheten är kopplad till vår allmänna fenomenala intuition eller inte, uppstår möjligheten för denna representation eftersom klassisk fysik och relativitetsteori baseras på tanken att vi kan observera de berörda fenomenen utan att störa dem tillräckligt för att påverka dem. Som ett resultat kan vi, för alla praktiska syften, identifiera klassiska eller relativistiska fenomen med de motsvarande objekten i naturen i deras oberoende beteende och (idealiskt) representera deras beteende och förutsäga det genom att använda denna representation, med de kvalifikationer som krävs för klassisk statistisk fysik eller kaosteori, vilka, medan de är orsakssambandsbundna, fortfarande är probabilistiska. Denna identifiering hjälper realism, men garanterar inte den, även i fallet med klassisk mekanik, där representativa idealiseringar är mer förenliga med vår fenomenala erfarenhet. Kant insåg redan denna svårighet, även om han gav den euklidiska geometrin och Newtons fysik kapaciteten att representera den yttersta naturen av den fysiska verkligheten, åtminstone med en praktisk rättfärdigande som han ansåg vara tillräcklig för teorins objektiva funktion.

Det har ifrågasatts huruvida relativitetsteorins matematiska struktur motsvarar naturens struktur, i motsats till att fungera som en matematisk modell för korrekta förutsägelser om relativistiska fenomen. I detta fall är dessa förutsägelser idealiskt exakta och deterministiska, till skillnad från de probabilistiska eller statistiska förutsägelserna i QT, även när man hanterar de mest grundläggande individuella kvantfenomenen. Detta är en grundläggande skillnad på grund av omöjligheten, i princip, att kontrollera interferensen av observationsinstrument med det kvantobjekt som undersöks, oavsett tolkning.

I kontrast till relativitetsteorin använder QM eller QFT, i RWR-tolkningar, endast (abstrakt) matematik för att ge probabilistiska eller statistiska förutsägelser om resultaten från kvantexperiment, utan att erbjuda en representation eller, i starka RWR-tolkningar, ens en uppfattning om den yttersta konstitutionen av den verklighet som ansvarar för dessa resultat. Det är naturligt och till och med oundvikligt i mänskligt tänkande att anta att något händer mellan händelser vi har observerat. Känslan av att något hände är ett av de mest grundläggande elementen i mänskligt tänkande och definierar till och med detta som rör temporaritet. I RWR-tolkningar är emellertid uttrycket "något hände" inte tillämpligt på den ultimata konstitutionen av den verklighet som ligger bakom kvantfenomenen.

Hur geometriseringsteoremet leder till universalöverläggningen för asfäriska 3-mangfoldigheter

Geometriseringsteoremet, som bevisades av Perelman, implicerar flera djupgående resultat inom den topologiska studien av 3-mangfoldigheter. Ett av dessa är Theorem 7.6.1, som säger att den universella täckningen av varje sluten asfärisk 3-mangfoldighet är hemomorf med $\mathbb{R}^3$ . Detta resultat kan förklaras genom flera steg i den topologiska teorin, där centrala komponenter som den primitiva dekompositionen och Jaco-Shalen-Johannson-teorin spelar en viktig roll.

Låt $M$ vara en sluten asfärisk 3-mangfoldighet. Enligt Knesers primitiva dekomposition kan $M$ delas upp i en sammanhängande summa av primitiva 3-mangfoldigheter. Eftersom $M$ är asfärisk måste varje delmangfoldighet vara irreducibel. Om $\pi_1(M)$ är ändlig, innebär detta att den universella täckningen är en homotopisk sfär, vilket skulle vara en motsägelse, eftersom detta skulle utesluta att $M$ kan vara asfärisk. Därmed måste $\pi_1(M)$ vara oändlig.

Enligt Jaco-Shalen-Johannson-teorin kan $M$ delas upp i Seifert-fibrerade mangfoldigheter och atoroidala 3-mangfoldigheter genom att skära $M$ längs inkompressibla tårtor. Den universella täckningen av $M$ fås genom att sammanfoga de universella täckningarna för de olika bitarna längs deras plana gränser. För att bevisa att den universella täckningen av varje delmangfoldighet är ett område i $\mathbb{R}^3$ , räcker det att bevisa att varje sådan delmangfoldighet är antingen en Seifert-fibrerad mangfoldighet eller en hyperbolisk 3-mangfoldighet med toruscuspgränser. Enligt geometriseringsteoremet gäller detta alltid, och det är relativt enkelt att kontrollera att dessa mangfoldigheter uppfyller de krav som behövs för att den universella täckningen ska vara ett område i $\mathbb{R}^3$ .

Före att geometriseringsteoremet löstes försökte Poénaru och Casson att visa en svagare version av Theorem 7.6.1, nämligen enkel sammanhängandehet vid oändligheten, genom att införa vissa extra villkor på de fundamentala grupperna. Detta visade sig vara ett fruktlöst försök, eftersom den fullständiga versionen av teoremet endast blev bevisad efter Perelmans arbete.

En naturlig fråga som kan uppstå är om ett liknande teorem som Theorem 7.6.1 gäller för dimensioner högre än 3. Svaret är nej, vilket visades av Davis redan långt innan lösningen av det 3-dimensionella fallet. Davis bevisade att i varje dimension $n$ större än 3, finns det en sluten mangfoldighet som täcks av ett kontraherbart öppet manifold, vilket inte är enkelt sammanhängande vid oändligheten. Hans konstruktion baseras på Coxeter-konstruktionen, där det bevisades att det finns öppna kontraherbara $n$ -manifold som är oändliga och där en reflekterande grupp agerar på ett sätt som skapar en fri handling med ett kompakt kvot.

Detta resultat illustrerar att de topologiska egenskaperna hos 3-mangfoldigheter är mycket särskilda, och även om många av de tekniker som används för att förstå 3-mangfoldigheter kan generaliseras, är de 3-dimensionella fallen unika. Davis bevisade att dessa konstruktioner i högre dimensioner kan ge upphov till tillstånd där topologiska förhållanden är helt annorlunda än i dimension tre.

För att fördjupa förståelsen av dessa resultat är det viktigt att betona de betydelsefulla skillnaderna mellan dimension 3 och högre dimensioner när det gäller de fundamentala gruppernas egenskaper och hur man kan dela upp en mangfoldighet. För en 3-mangfoldighet är de topologiska verktygen och de geometriska tillämpningarna relativt klart definierade, medan i högre dimensioner kan man inte förvänta sig samma typ av förståelse eller resultat genom samma tekniker.

Vad är "kvasi enkel filtrering" och dess betydelse för profinite grupper?

Inom gruppteori och topologi spelar det finita presenterade gruppernas egenskaper en central roll. Ett begrepp som särskilt har väckt uppmärksamhet är "kvasi enkel filtrering" (QSF) och dess relation till profinite grupper. Enligt tidigare forskning kan kvasi enkel filtrering definieras som ett tillstånd där varje kompakt delmängd $C \subset X$ av en piecewise linear (PL) rymd $X$ kan inbäddas i en PL-homomorfism från ett helt enkelt sammanhängande polyhedron $K$ . Detta begrepp sträcker sig över flera olika aspekter av gruppteori, där varje del av begreppet rör sig mot en djupare förståelse av gruppers topologiska struktur och deras inverkan på andra områden som lågdimensionell topologi och geometri.

En profinite grupp är en särskild typ av kompakt grupp som är totalt frånkopplad, vilket innebär att varje sådant grupp kan beskrivas som en projektiv gräns av ändliga grupper. Topologin på profinite grupper har intressanta egenskaper; till exempel, varje öppen delgrupp i en profinite grupp har ändlig index. Detta innebär att profinite grupper är i grunden en typ av "kompakt" grupp där varje element upprepas i vissa gränsvärden av ändliga grupper, vilket gör dem användbara för att förstå gruppernas struktur genom deras "projektioner" på finita nivåer.

Men när man studerar dessa grupper i detalj måste man beakta olika sätt att "filturera" dem, särskilt i samband med kvasi enkel filtrering. Ett viktigt begrepp som introducerades i samband med detta är definitionen av en grupp som "kvasi enkelt filtrerad". Det innebär att för varje finit presenterad grupp $G$ finns ett polyhedron $P$ vars fundamentala grupp $\pi_1(P)$ är isomorf med $G$ , och vars universella täckning är kvasi enkelt filtrerad. Denna definition har vidareutvecklats av flera forskare, och dess användning har blivit avgörande för att förstå komplexa topologiska strukturer.

När vi nu vänder oss mot de olika begreppen som är förknippade med QSF och profinite grupper, bör vi också diskutera begreppen svag geometrisk enkel sammanhängandehet (WGSC) och geometrisk enkel sammanhängandehet (GSC). Dessa begrepp rör hur polyhedron kan "exhaustas" genom sammanhängande subpolyhedron, och när en finit presenterad grupp är weakly geometrically simply connected (WGSC) innebär det att det finns ett polyhedron vars universella täckning är svagt geometriskt enkelt sammanhängande. För att förstå dessa begrepp måste vi också beakta deras relation till QSF, där WGSC-begreppet utgör ett mer generellt ramverk för de geometriska egenskaperna som är relevanta för finit presenterade grupper.

Vidare, även om konceptet QSF kanske verkar vara ett mycket tekniskt och abstrakt område, har det viktiga konsekvenser för teorier om grupptopologi och manifolder. En viktig observation här är att alla finit presenterade grupper som är helt enkelt sammanhängande vid oändligheten är också svagt geometriskt enkelt sammanhängande. Detta innebär att förståelsen av QSF kan hjälpa till att definiera nya topologiska egenskaper för grupper som tidigare inte har haft en sådan koppling till geometriska objekt.

En av de mest intressanta frågorna som forskare som Poénaru och Otera har tagit upp är om alla finit presenterade grupper faktiskt är QSF, vilket skulle ha en djupgående inverkan på förståelsen av universella täckningar och deras förhållande till 3-dimensionella manifolder. Frågan om alla finit presenterade grupper är QSF förblir öppen, och en positivt svar på denna fråga skulle inte bara bekräfta vissa konjekturer utan också ge nya perspektiv på relationen mellan topologi och gruppteori.

Ytterligare forskningsområden som relaterar till QSF och profinite grupper är studier av automorfiska och hyperboliska grupper. Dessa grupper har visat sig vara kvasi enkelt filtrerade, och förståelsen av deras struktur ger ledtrådar om hur vi kan förhålla oss till mer komplexa grupper. En intressant utveckling är att forskare som Gersten och Stallings har visat att vissa korta exakta sekvenser av finit presenterade grupper, där en grupp $G$ har en normal undergrupp $A$ och en kvotgrupp $B$ , fortfarande bibehåller egenskapen att vara QSF.

Det är även viktigt att förstå hur de teoretiska verktygen som används för att studera QSF påverkar hur vi ser på förhållandet mellan geometri och algebra. Många av de tekniker som används för att undersöka QSF-grupper, som geometri av gruppers fundamentala grupper och deras täckningar, härstammar från olika delar av matematiken, som lågdimensionell topologi och differentialgeometri.

För en vidare förståelse av dessa koncept kan det vara nyttigt att studera de relaterade områdena, såsom studier om CAT(0)-rum, hyperboliska grupper, och även verktyg som utvecklats av Otera och Poénaru. Genom att noggrant analysera dessa olika tillvägagångssätt kan vi få en bättre insikt i gruppers egenskaper och deras användning inom både abstrakt algebra och geometrisk topologi.

Hur Design Thinking Kompletterar Ingenjörsutbildning: Människans Roll i en Teknologidriven Värld
Hur kan unga äventyrare och fångar överleva på Pike's Peak?
Hur man skapar en framgångsrik örtagård: Praktiska tips för den erfarna trädgårdsmästaren