Hur C = (K − L0+) ∩ L1 är sluten i L1: En djupare förståelse av konvergens och måttbaserade rum

Vi har att K ∩ L0+ ≠ {0}. Den konvexa mängden C = (K − L0+) ∩ L1 är en proper delmängd av L1. Närmare bestämt, C innehåller inte någon funktion F ∈ L1 där F ≥ 1. Om vi kunde representera F som ξ ⋅ Y − U för en icke-negativ funktion U, skulle det följa att ξ ⋅ Y = F + U ≥ 1, vilket är omöjligt för någon ξ. Dock visar vi härnäst att slutna C i L1 sammanfaller med hela rummet L1. I synnerhet kan C inte vara sluten.

Låt F ∈ L1 vara godtycklig och observera att Fn := (F+ ∧ n)1 − F [ n,1] konvergerar till F i L1 när n ↑ ∞. Varje Fn tillhör C, eftersom (F+ ∧ n)1 2 ≤ n Y [n,1] ⋅ . Därmed är F en del av L1-slutningen av C.

Lemma 1.66: Låt (ξn) vara en sekvens i L0(Ω, F0, P; ℝd) med lim infn |ξn| < ∞. Då finns det ξ ∈ L0(Ω, F0, P; ℝd) och en strikt växande sekvens (σm) av F0-mätbara heltalsvärda slumpmässiga variabler, sådan att ξσm(ω) → ξ(ω) för P-a.s. ω ∈ Ω.

Beviset av denna lemma bygger på definitionen av Λ(ω) := lim infn |ξn(ω)| och det sker genom att definiera σm på lägre nivå för att säkerställa den önskade konvergensen i L0.

Det är också viktigt att förstå hur ett system av “referensportföljer” N⊥ kan definieras för att hantera situationer där två portföljer, ξ och ξ̃, är lika med avseende på deras payoff men inte nödvändigtvis lika P-a.s. För att definiera N⊥ används en konstruktion av en linjär delmängd av L0(Ω, F0, P; ℝd). Här bygger vi upp ett argument baserat på projektionsmetoder i Hilbertrum.

Det finns också ett unikt sätt att dekomponera varje ξ ∈ L0(Ω, F0, P; ℝd) som ξ = η + ξ⊥, där η ∈ N och ξ⊥ ∈ N⊥.

Denna dekomposition av ett godtyckligt element ξ hjälper till att förstå den strukturella uppbyggnaden av L0(Ω, F0, P; ℝd) och ger också en väg för att tillämpa projektioner för att separera olika komponenter av ξ.

För att sammanfoga dessa teorier och bevisa att C = (K − L0+) ∩ L1 är sluten i L1, använder vi Lemma 1.70, som säger att om K ∩ L0+ = {0}, då är K − L0+ sluten i L0. Beviset baseras på att konvergens i L0 innebär konvergens i P-mått, vilket i sin tur innebär att C inte bara är en delmängd av L1 utan även att dess L1-closure sträcker sig över hela rummet L1.

Det är av avgörande betydelse att förstå att L0-konvergens i detta sammanhang innebär en form av konvergens i P-mått och att detta inte är detsamma som en konvergens i vanliga normer. Därmed är den slutna mängden C ett resultat av en fin mekanism av konvergens i L1, där alla delsekvenser av en given sekvens konvergerar till det slutliga målet, även om varje element inte nödvändigtvis är närvarande i den ursprungliga mängden.

Hur ekonomisk jämvikt fungerar i en marknad med olika riskaversioner

För att fördela marknadsportföljer mellan agenter, kan man uttrycka fördelningen som en linjär kombination av optioner med olika lösenpriser. En agent $a \in A$ kan exempelvis ta en lång position i en call-option med lösenpris $c_{i-1}$ och en kort position i en annan call-option med lösenpris $c_i$. Den här metoden skapar en effektiv fördelning av tillgångar, som sedan används för att bestämma jämviktspriser och efterfrågan i marknaden.

Om riskaversionen varierar bland agenterna, får vi en mer komplex struktur för jämvikten, där fördelningen av marknadsportföljen $W$ inte längre är en enkel linjär funktion. I stället blir den en icke-linjär funktion av portföljens värde och beskriver hur efterfrågan från agenter med olika riskpreferenser samverkar. För att lösa denna struktur måste vi införliva icke-linjära derivator och skapa en lösning som uppfyller marknadsbalans och de individuella agenternas budgetrestriktioner.

Vidare, om vi har ett system där alla agenter agerar utifrån en sådan balans, kan det vara möjligt att formulera det som ett system av förstahandsvillkor, där varje agent optimerar sin efterfrågan i förhållande till den gemensamma marknadsprisdichten. I sådana system går det att härleda att den lösning som maximerar nytta över alla agenter också kommer att vara Pareto-optimal, vilket innebär att ingen annan fördelning av tillgångar kan förbättra någon agents nytta utan att försämra någon annan.

Det är viktigt att förstå att denna modell förutsätter att alla agenter har kunskap om marknadspriser och att det finns en form av gemensam förståelse för risk och belöning. Även om alla agenters preferenser är olika, är det genom denna typ av marknadslikviditet som jämvikten uppnås. Jämvikten är inte bara en teori utan en faktisk beskrivning av hur marknader fungerar när alla agenter optimerar sina beslut under de givna förutsättningarna.

För att skapa en verklig förståelse för dessa modeller är det avgörande att reflektera över några viktiga aspekter: För det första, även om agenterna verkar agera rationellt enligt sina egna preferenser, innebär marknadens jämvikt att ingen enskild agent kan förbättra sin situation utan att skada någon annan, vilket är en central egenskap för optimalitet. För det andra är denna modell beroende av exakta antaganden om agenternas nytta och riskaversion, vilket innebär att förändringar i dessa parametrar kan förändra marknadens resultat avsevärt.

Hur convexa riskmått representeras och konvergerar i olika funktionella ramverk

För ett convex riskmått ρ definieras vanligtvis den minimala strafffunktionen αmin på mängden M1 av sannolikhetsmått. Ett viktigt resultat här är att om min α(Q) är ändlig för något sannolikhetsmått Q, så innebär detta att Q är σ-additiv. Detta innebär att varje funktion som representerar ett riskmått också är koncentrerad på klassen M1, dvs. sannolikhetsmåtten är sådana att deras strafffunktioner är begränsade. Formellt kan detta uttryckas som att för varje funktion X i mängden X gäller att:

Därmed kan man visa att om α(Q) ≤ c för alla Q som tillhör M1,f, så kommer denna funktional att ha egenskaper som är relaterade till svaga konvergenser i rummet av sannolikhetsmått.

För att förstå konvergensen av riskmått är det också viktigt att ha en korrekt förståelse av begreppen svag konvergens, uppåt och nedåt kontinuitet. Ett exempel på detta är att om en sekvens (Xn) konvergerar punktvis till en funktion X på Ω, så innebär detta att riskmåttet ρ(Xn) konvergerar till ρ(X) om sekvensen är begränsad. Detta är en direkt följd av att ρ är ett convex riskmått och den matematiska representationen av riskmåttet kan uttryckas med hjälp av funktionalen α.

Vidare, för att kunna bevisa kontinuitet och konvergensen av riskmått för funktioner som tillhör Cb(Ω), en funktionell rymd av alla kontinuerliga, begränsade funktioner definierade på Ω, är det avgörande att utnyttja både kompakthets- och svaga konvergensprinciper. Detta innebär att om en sekvens av funktioner (Xn) ökar mot en konstant λ, så kommer ρ(Xn) att konvergera till ρ(λ). Ett exempel på en sådan representation är:

För att förstå detta behöver man känna till att M1,f är en svagt kompakt uppsättning av sannolikhetsmått. Detta betyder att det finns en godtycklig nivå c där mängden av alla sannolikhetsmått som tillhör Λc är svagt kompakt. Genom att utnyttja Dini's lemma kan man härleda att för varje n, funktionen EQ[ −Xn ] konvergerar till −λ uniformt för Q ∈ Λc, vilket leder till konvergensen av riskmåttet.

Det är också viktigt att förstå att om Ω är kompakt, så kommer varje convex riskmått att ha en representering på Cb(Ω). I detta sammanhang innebär detta att varje sådan riskmått är Lipschitz-kontinuerligt och uppfyller alla nödvändiga villkor för att säkerställa att man kan representera det på ett robust sätt. Detta gör att funktionerna som är representerade av ett riskmått kommer att uppvisa önskvärda konvergensbeteenden, särskilt vid ökning mot en konstant.

Avslutningsvis, när man arbetar med riskmått i olika sammanhang, är det inte bara viktigt att förstå hur dessa representeras i teorin, utan också hur de faktiskt beter sig vid konvergens, särskilt för olika typer av sannolikhetsmått. Detta kan ha viktiga tillämpningar inom ekonomi och försäkring, där man ofta behöver säkerställa att riskmåtten har stabila och förutsägbara egenskaper över tid och i olika kontextuella ramverk.