Deutsch
Francais
Nederlands
Svenska
Norsk
Dansk
Suomi
Espanol
Italiano
Portugues
Magyar
Polski
Cestina
Русский
Den hydrostatiska approximationen kan rättfärdigas ur fysiska perspektiv genom en skalanalys, och den minskar avsevärt beräkningskostnaderna. Tillsammans med de 2D- och 3D-Navier-Stokes ekvationerna ingår den som en del av en hierarki av modeller för meteorologiska simuleringar, där man balanserar beräkningskostnader och upplösning. Dessa ekvationer används som den så kallade dynamiska kärnan i meteorologiska modeller, där de kan tolkas som vänster sida i de motsvarande ekvationerna, medan så kallad parametrisering, det vill säga högersidan, beskriver de olika kopplingarna och krafterna som påverkar systemet. Som en tumregel fokuserar den matematiska analysen på denna dynamiska kärna, medan meteorologisk modellering främst hanterar parametriseringarna.
I dagens väderprognosmodellering används de primitiva ekvationerna till exempel för stora simuleringar av haven, som i Ocean Component of the ICON Earth System Model från Max Planck Institute for Meteorology. Den tyska väderprognosbyrån (Deutscher Wetterdienst) bytte under de senaste åren till 3D-Navier-Stokes ekvationerna som dynamisk kärna. Men historiskt har andra ekvationer, som den quasi-geostrofiska ekvationen, också spelat en viktig roll inom väderprognostik.
Matematiskt sett kan den hydrostatiska approximationen rättfärdigas genom att omskala Navier-Stokes ekvationerna med anisotrop viskositet. Man betraktar ett vertikalt tunn område Oε, där ε är en liten positiv konstant. När man reskalar hastigheten och trycket på ett sätt där den vertikala komponenten av hastigheten minskar med ε, omvandlas Navier-Stokes ekvationerna till de reskalerade anisotropa Navier-Stokes ekvationerna på ett oberoende domän O1. Genom att ta gränsvärdet när ε går mot noll, erhålls de primitiva ekvationerna som används i meteorologiska simuleringar.
När vi ser på de primitiva ekvationerna, ser vi att dessa skapas genom att eliminera vertikal hastighet från ekvationssystemet och i stället relatera den vertikala hastigheten till de horisontella komponenterna. Detta innebär att den icke-linjära termen u∇v i de primitiva ekvationerna får en extra komplexitet, där vertikala och horisontella hastigheter är kopplade genom den vertikala tryckgradienten. Denna icke-linjära koppling gör att lösningarna till de primitiva ekvationerna är mer komplicerade än de för 3D-Navier-Stokes ekvationerna.
En viktig observation är att den globala existensen av svaga lösningar för de primitiva ekvationerna bevisades för första gången genom arbetet av LIONS et al. Men den unika lösningen för dessa ekvationer har varit svårare att etablera. Det var först när CAO och TITI lyckades bevisa global stark välbestämdhet för de primitiva ekvationerna som vi såg en märkbar framsteg. Deras arbete visade att lösningarna för de primitiva ekvationerna är välbestämda även när de initiala förhållandena är mer komplexa.
En annan aspekt som spelar en avgörande roll i den matematiska analysen av de primitiva ekvationerna är hur olika randvillkor påverkar lösningarna. Genom att analysera randvillkoren för vertikal hastighet och tryck, kan vi observera att Neumannrandvillkor är särskilt praktiska, medan Dirichlet- och Robin-randvillkor kräver ytterligare spårtermer för att kontrollera lösningarna när ekvationerna delas upp i barotropiska och barokliniska lägen.
De primitiva ekvationerna skiljer sig också från de 3D-Navier-Stokes ekvationerna genom deras globala starka välbestämda lösningar. Medan frågan om global välbestämdhet för de 3D-Navier-Stokes ekvationerna fortfarande är öppen och osäker, är de primitiva ekvationerna en del av en familj av globala välbestämda modeller som härleds från dessa komplexa grundläggande ekvationer. Denna skillnad markerar en viktig framgång för meteorologiska modeller, som nu erbjuder robustare och mer exakta prediktioner.
För att verkligen förstå de primitiva ekvationernas fulla potential i meteorologiska tillämpningar är det viktigt att betrakta hur de kan appliceras på olika scenarier, inklusive variabla randvillkor och komplexa interaktioner mellan atmosfär och ocean. Även om den hydrostatiska approximationen gör beräkningarna hanterbara, innebär detta förenklingar som måste beaktas när man tolkar modellerna och deras tillämpningar i verkliga förhållanden. När vi till exempel diskuterar prognoser för extrema väderhändelser eller havsströmmar, måste modellerna justeras för att hantera sådana extrema scenarier där de simplifierade antagandena inte alltid är tillräckliga.
Hur kan stokastiska störningar påverka de primitiva ekvationerna inom meteorologi och klimatmodeller?
Forskning om de primitiva ekvationerna, som ofta används för att modellera atmosfäriska och oceaniska flöden, har länge varit ett aktivt och expansivt forskningsområde. En central fråga i denna forskning rör unikaliteten hos svaga lösningar. Tidigare resultat, som de av Cao och Titi, har visat på global stark välställning för initialdata i H1, medan för data i L2 är det känt att svaga lösningar existerar, men inte nödvändigtvis unikt. Det har dock skett framsteg för att minska denna skillnad genom förfinade resultat om global välställning, som utökar uppsättningen av möjliga initialvärden. Samtidigt förblir frågan om global välställning för initialdata i L2 ett öppet problem.
Dessa matematiska frågeställningar har lett till utvecklingen av en allmän Lp-teori för de primitiva ekvationerna, där semigruppmetoder spelar en framträdande roll. Det är en förlängning av de metoder som ursprungligen användes för Navier-Stokes-ekvationerna och har visat sig vara användbara för att analysera de stokastiska primitiva ekvationerna. Ett centralt verktyg inom denna teori är Fujita-Kato-metoden, som har anpassats för de primitiva ekvationerna av Hieber och Kashiwabara, vilket ger initialdata i H2/p,p för p ∈ [6/5, ∞). På samma sätt som för Navier-Stokes-ekvationerna, har en maximal q Lt.-p Lx.-regularitetsteori utvecklats för de primitiva ekvationerna.
Det finns dock fler aspekter av de primitiva ekvationerna som är av stor betydelse för deras praktiska tillämpning. För att modellera atmosfäriska fenomen är det inte tillräckligt att enbart beskriva hastighetsfältet, utan det är också avgörande att ta hänsyn till påverkan från olika andra faktorer, som temperatur och fuktighet. I meteorologiska modeller utgör viskositeten en viktig aspekt, särskilt den så kallade virvelviskositeten, som är större i de horisontella riktningarna än i de vertikala. Detta innebär att anisotropiska och partiella viskositeter blir centrala i modellerna. Det är också viktigt att förstå att frågan om konvergens mellan Navier-Stokes-ekvationerna och de primitiva ekvationerna med olika typer av viskositet är ett ämne för aktiv forskning, med flera öppna problem.
När det gäller stokastiska versioner av de primitiva ekvationerna, finns det flera viktiga anledningar till varför man introducerar stokastiska störningar i modeller för geofysiska flöden. Stokastik används för att modellera osäkerheter och kan ge en väg att studera robustheten hos grundläggande modeller, särskilt när det gäller numeriska och empiriska osäkerheter. Dessutom kan komplexa fenomen som turbulens delvis uppstå genom stokastiska störningar. Exempel på detta kan hittas inom olika områden, som där stokastiska störningar används för att förfina numeriska parametriseringar, dataassimilation eller ensembleförutsägelser.
För meteorologiska modeller innebär detta att man integrerar stokastiska processer på flera nivåer: slumpmässiga initialvillkor, vilket reflekterar den ofullständiga kunskapen om det initiala tillståndet, samt slumpmässiga indata fördelade över rum och tid. Dessa modeller, även om de är förenklade, fångar de huvudsakliga matematiska egenskaperna hos verkliga fenomen och ger viktiga insikter. En central aspekt av stokastiska störningar är att de tillåter en mer realistisk simulering av osäkerheter, vilket i sin tur gör det möjligt att skapa probabilistiska förutsägelser och scenarioanalyser som kan användas för att förstå framtida väderförhållanden.
Inom forskning om stokastiska versioner av de primitiva ekvationerna har olika typer av brus och slumpmässiga störningar studerats. Exempel på detta är cylindriskt Brownsk brus, som agerar som en stokastisk drivkraft på högerledet i ekvationerna. Dessa stokastiska störningar kan antingen vara additiva eller multiplicativa, beroende på hur de påverkar systemets beteende. I vissa fall kan man också se hur störningar kan transporteras genom flödet via gradienter av hastigheten, vilket leder till komplexare modeller för turbulens.
För att verkligen förstå de primitiva ekvationerna och deras tillämpningar inom meteorologi och klimatforskning är det avgörande att förstå dessa stokastiska aspekter. Stokastiska störningar ger inte bara en metod för att hantera osäkerhet utan också ett sätt att studera komplexa dynamiska fenomen som kan påverka väderprognoser och klimatsimuleringar. I framtiden kommer fortsatt forskning inom detta område vara viktig för att förbättra våra modeller och förutsägelser.