Hur mäts och definieras mått i metriska rum och deras tillämpningar

För varje j i N gäller att antingen $I_j \cap A = 0$ eller $I_j \subseteq B = 0$ . Med andra ord, det finns undersekvenser $(I'_k)$ och $(I''_k)$ av $(I_j)$ , som täcker A och B respektive, och sådana att $I'_k \cap I''_k = 0$ för alla $k, j \in \mathbb{N}$ . Detta leder oss till uttrycket:

X_n(A) \leq \sum_{k} \text{vol}_n(I'_k), \quad X_n(B) \leq \sum_{k} \text{vol}_n(I''_k)

och därmed:

X_n(A) + X_n(B) \leq \sum_{k} \text{vol}_n(I'_k) + \sum_{k} \text{vol}_n(I''_k) = \sum_{j} \text{vol}_n(I_j) < X_n(A \cup B) + \epsilon.

Eftersom $\epsilon > 0$ var godtyckligt, följer det att $X_n(A) + X_n(B) \leq X_n(A \cup B)$ via subadditiviteten hos $X^*$ .

För en måttsgenererande funktion $F : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ , är den motsvarande Lebesgue-Stieltjes yttre måttet $F^*$ på $\mathbb{R}$ metrisk. Detta följer genom en enkel modifiering av beviset för det föregående resultatet. Vidare är Hausdorffs yttre mått $H_s$ på $\mathbb{R}^n$ metrisk för varje $s > 0$ . Varje mängd $A \in B_n$ är $H_n$ -måttbar. Beviset för detta följer på samma sätt som för det föregående fallet.

I måtteori definieras en mängd $A$ som $\sigma$ -måttbar om den kan representeras som en union av delmängder vars mått är väl definierade. Detta koncept är viktigt för att förstå hur vi kan tillämpa mått på olika mängder inom ett måttutrymme, särskilt när mängderna är komplicerade eller när vi arbetar med yttre mått för att approximera måtten på mängder.

För att ytterligare förstå detta, överväg den klassiska Cantorsatsen. Cantormängden är ett exempel på ett fractalt objekt som har viktiga egenskaper när det gäller mått och dimension. Cantor-mängden är definierad genom en iterativ process där man vid varje steg tar bort ett visst antal intervall från det föregående steget. Trots att denna mängd ser mycket komplicerad ut har den en väl definierad Hausdorff-dimension och ett exakt värde för Hausdorff-måttet.

För att beräkna $H^1(A)$ och visa att $\dim_H(A) = 1$ , måste vi använda en metod där vi täcker Cantormängden med intervall av passande storlek och beräknar summan av måtten av dessa intervall. På detta sätt kan vi få en övre och en nedre gräns för dimensionen och därmed fastställa att $A$ har en dimension på exakt 1. Denna typ av beräkning är grundläggande för att förstå hur dimensioner och mått relaterar till varandra.

För varje mängd $A$ kan det vara användbart att undersöka de mått som induceras av specifika funktioner, som till exempel Lebesgue-Stieltjes måttet. Om $F$ är en måttsgenererande funktion, då definieras $\mu_F$ som den Lebesgue-Stieltjes mått inducerat av $F$ . För ett specifikt element $a \in \mathbb{R}$ , beräknas $p_F(\{a\})$ genom att analysera värdet av $F$ vid detta element. Genom att förstå dessa beräkningar får vi en djupare insikt i hur specifika funktioner påverkar mått och hur dessa kan användas för att beskriva egenskaper hos mängder inom $\mathbb{R}^n$ .

En annan viktig aspekt är att varje delmängd av $\mathbb{R}^n$ som är innesluten i ett affint underutrymme har Lebesgue-mått noll. Detta innebär att alla sådana mängder är "för små" för att ha ett icke-noll mått, vilket kan vara en användbar egenskap när man arbetar med mått i komplexa rum.

En annan central idé är att för ett måttutrymme sägs $p$ vara reguljärt om för varje mängd $A \in A$ , gäller att:

p(A) = \inf \{ p(O) ; O \subseteq X \text{ öppet, } O \supseteq A \} = \sup \{ p(K) ; K \subseteq X \text{ kompakt, } K \subseteq A \}.

Detta resultat ger oss en kraftfull metod för att approximera mått och förstå hur dessa mått relaterar till olika typer av mängder inom ett givet rum.

Hur påverkar differensierbara avbildningar mätbarheten och mått av mängder i olika dimensioner?

En grundläggande fråga inom måttteori och analys är hur differensierbara funktioner påverkar måttet av mängder när vi rör oss mellan olika dimensioner. Antag att vi har en öppning $U \subset \mathbb{R}^n$ och en funktion $f \in C^1(U, \mathbb{R}^m)$ där $m > n$ . Om en delmängd $N \subset U$ har Lebesgue n-mått noll, så har bilden $f(N) \subset \mathbb{R}^m$ också Lebesgue m-mått noll. Detta är en konsekvens av att sådana funktioner är lokalt Lipschitz och därmed kontrollerar hur mycket mängder kan "expandera".

Det är dock viktigt att poängtera att kontinuitet ensam inte är tillräckligt för att denna egenskap ska gälla. Exempelvis kan en kontinuerlig avbildning från en mängd med nollmått ge en bild med positivt mått, vilket visas av Peanos kurva — en kontinuerlig kurva som fyller ett helt område. Detta illustrerar att kontroll över avbildningens differentiella egenskaper är avgörande.

En annan viktig aspekt är att om dimensionen på målrymden är mindre än källdimensionen, alltså $m < n$ , behöver inte egenskapen bevaras. En projektion från ett högdimensionellt rum till en lägre dimension kan ge en bild med positivt mått, även om utgångsmängden hade mått noll.

Lebesgue-mätbarhet är också lokal till sin natur. Om varje punkt i en mängd har en öppen omgivning där mängden är mätbar, är hela mängden mätbar. Detta följer av Lindelöfs egenskap som tillåter att täcka mängden med ett uppräkneligt familj av sådana omgivningar.

Vidare är Lebesgue-måttet translationinvariant, vilket betyder att för varje vektor $a \in \mathbb{R}^n$ gäller att mängdens mått inte förändras när den översätts med $a$ . Detta leder till att Borel- och Lebesgue-algebrorna är translationinvaranta och att måttet därmed är ett naturligt sätt att mäta "storlek" oberoende av position i rummet.

En djupare egenskap hos mängder med positivt Lebesgue-mått är Steinhauss sats: differensmängden $A - A$ av en sådan mängd är en omgivning av nollpunkten. Detta innebär att dessa mängder inte kan vara "för tunna" eller spridda, utan de innehåller en viss struktur i form av intervall runt noll i differensmängden.

Slutligen kännetecknas Lebesgue-måttet av sin translationinvarians och lokala ändlighet upp till en normaliseringsfaktor. En varje translationinvariant, lokalt ändlig mått på Borel- eller Lebesgue-mängder är en konstant multipel av Lebesgue-måttet.

Det är viktigt att förstå att dessa resultat grundar sig på funktioners differentiella egenskaper och lokal Lipschitz-kontroll, vilket ger en balans mellan mängders topologiska och måttmässiga egenskaper. Detta ger även en solid grund för att undersöka måttets stabilitet under transformationer och för att förstå varför vissa funktioner bevarar "måttnoll"-egenskaper medan andra kan skapa mer komplexa bilder.

Hur staroperatorn och codifferentialen fungerar på en orienterad Riemann-mångfald

Inom differentialgeometri är det vanligt att arbeta med stjärnoperatorn och codifferentialen på orienterade Riemann-mångfalder. Denna teori är central för förståelsen av hur olika differentialformer kan manipuleras, särskilt när man inte använder ortonormala koordinater.

Stjärnoperatorn (betecknad som *) är ett verktyg som appliceras på differentialformer. För att ge ett konkret exempel, låt oss överväga fallet med 1-former. Låt $(x_1, \dots, x_m)$ vara ett positivt koordinatsystem på en mångfald $M$ , där $U$ är en öppen delmängd av $M$ . Då gäller att $*dx_j = \sum_{k=1}^m (-1)^{k+1} g^{jk} dx_1 \wedge \dots \wedge \hat{dx_j} \wedge \dots \wedge dx_m$ , där $g^{jk}$ är den inverse metrikkomponenten, och $\hat{dx_j}$ betyder att $dx_j$ utelämnas i wedgeprodukten.

Denna relation kan härledas genom att använda de egenskaper som definierar stjärnoperatorn, vilket gör att vi får ett sätt att expressa *dx_j på ett explicit sätt, även om vi inte arbetar med ortonormala koordinater.

Codifferentialen

För att definiera codifferentialen, som ofta betecknas som $\delta$ , använder vi stjärnoperatorn och den yttre derivatan $d$ . Om $(M, g)$ är en orienterad Riemann-mångfald och $a$ är en $r$ -form på $M$ , så definieras codifferentialen av $a$ som $\delta a := (-1)^{m(r+1)} * da$ , där $da$ är den yttre derivatan av $a$ . Detta gör att vi får en mapning mellan olika grader av differentialformer på mångfalden.

Codifferentialen har flera viktiga egenskaper som gör den användbar i många sammanhang inom differentialgeometri:

$\delta^2 = 0$ : Detta innebär att applicering av codifferentialen två gånger på en form ger noll, vilket gör att codifferentialen är en exakt operator i vissa sammanhang.
Kommutativitet med yttre derivatan: Det gäller att $\delta d = d \delta$ , vilket gör att man kan byta ordning på dessa operationer utan att påverka resultatet.
Regler för att hantera konjugering: Codifferentialen på en form $a$ ger en annan form som är relaterad till $a$ via en enkel signumfaktor.

Exempel och tillämpningar

Enligt ett exempel som involverar Minkowski-rummet $\mathbb{R}^{1,3}$ med metrik $g := (dt)^2 - (dx)^2 - (dy)^2 - (dz)^2$ , kan vi använda stjärnoperatorn för att omvandla olika typer av differentialformer. Om vi till exempel har en form som $dx_1 \wedge dt$ , så ger stjärnoperatorn på denna form ett resultat som kan tolkas som en wedgeprodukt mellan $dx_j$ och $dx_k$ . Detta visar på kraften i stjärnoperatorn och dess förmåga att omvandla former mellan olika grader.

Dessa exempel illustrerar hur man kan använda stjärnoperatorn och codifferentialen för att arbeta med geometriska objekt på en mångfald. När man använder dessa verktyg på en pseudo-Riemann-mångfald krävs ytterligare justeringar i definitionen av stjärnoperatorn, där man tar hänsyn till tecknet på metrikkomponenterna och definierar en modifierad version av codifferentialen.

Viktiga koncept att förstå

Förutom de algebraiska och tekniska detaljer som redan nämnts är det också viktigt att förstå den geometriska betydelsen av dessa operationer. Stjärnoperatorn och codifferentialen är centrala för att arbeta med volymelement och för att studera hur olika geometriska objekt på en mångfald förändras under yttre derivator. Codifferentialen kan till exempel användas för att definiera adjungeringen av differentialformer, vilket är viktigt för teorin om Hodge-dekomposition på en Riemann-mångfald.

Det är också viktigt att notera att dessa operationer har en nära koppling till den metriska strukturen på mångfalden, vilket gör att de är djupt beroende av den valda koordinatsystemet. Att förstå hur man använder dessa verktyg i olika kontexter, till exempel på pseudo-Riemann-mångfalder, är avgörande för att kunna tillämpa dem på verkliga fysiska och matematiska problem.

Hur kan läkemedelsomfördelning erbjuda nya behandlingar för cancer?
Hur Doppler-skift påverkar interferometriska mätningar och ytmätning med Twyman-Green interferometer
Vad är den potentiella rollen för nanofiltrering av polyamidmembraner i avlägsnande av multivalenta katjoner?