I teorin om arbitrage är det avgörande att förstå förhållandet mellan de olika mängderna som beskriver de möjliga värdena för tillgångar och riskjusterade prisprocesser. En central observation är att om ett mått uppfyller vissa villkor, kommer inga arbitrage-möjligheter att existera, vilket öppnar upp för en struktur där riskneutral prissättning kan tillämpas. Denna teori används för att analysera marknader där priset på tillgångar utvecklas över tid och där en investerare kan fatta beslut baserat på observerad information.

Enligt teorin är ett arbitrage en strategi där en portfölj av tillgångar, som initialt är icke-negativ, genererar en vinst vid en framtida tidpunkt med icke-noll sannolikhet. Detta skulle innebära att det finns en möjlighet att skapa en vinst utan risk, vilket strider mot de grundläggande principerna i effektiv marknadsteori. Ett arbitrage är alltså en situation där investeraren kan göra en vinst utan att utsätta sig för någon risk eller medelvärdesförlust.

För att definiera arbitrage mer exakt säger vi att om en portfölj ξ uppfyller villkoren ξ ⋅ S0 ≤ 0 och ξ ⋅ S1 ≥ 0 nästan säkert, och dessutom att P[ ξ ⋅ S1 > 0 ] > 0, så föreligger ett arbitrage. Detta innebär att portföljen ger ett icke-negativt resultat vid den senare tidpunkten, samtidigt som den inte kräver någon initial investering eller till och med innebär en förlust.

För att förhindra sådana arbitrage-möjligheter krävs det att marknaden är "arbitragefri", vilket innebär att det inte finns någon sådan portfölj som uppfyller dessa villkor. Ett av de mest grundläggande resultaten här är det så kallade "fundamentala teorem för tillgångsprissättning", som säger att om marknaden inte tillåter arbitrage, så måste det existera ett riskneutralt mått. Detta innebär att det finns en prissättningsmekanism där förväntad avkastning på alla tillgångar, justerat för risk, är konstant över tiden, vilket gör det möjligt för investerare att säkra sina investeringar.

I samband med dessa begrepp uppstår diskussionen om stängda konvexa mängder, där den relativa inre delen av mängden Γ(μ), som definierar de möjliga priserna, spelar en central roll. Om marknaden är arbitragefri, kommer alla prisprocesser att tillhöra denna relativa inre del. På så sätt kan vi identifiera och verifiera att inga arbitrage-möjligheter föreligger genom att studera den geometri som styr hur tillgångarna interagerar.

En annan viktig aspekt att förstå är att inte alla mått eller distributioner tillåter en sådan enkel struktur. När vi arbetar med olika mått, som till exempel ett normaliserat Lebesgue-mått på intervallet [−1, +1], observerar vi att vissa resultat inte håller. Det innebär att även om vissa ekonomiska modeller och deras teoretiska grundläggande egenskaper håller för enklare fall, kan mer komplexa mått ge upphov till nya utmaningar som inte kan lösas genom grundläggande teorem som de i Proposition 1.52.

När vi introducerar nya marknadsmodeller där initialpriser är beroende av scenarier, blir det möjligt att tillämpa dynamisk hedging, som kräver en mer sofistikerad teknik. I dessa modeller är det också viktigt att förstå begreppet riskneutral prissättning och hur den relaterar till den ursprungliga marknadsmodellen. Det handlar om att tillåta en flexibel prissättning som kan anpassas till förändringar i marknadsinformation över tid, vilket gör det möjligt för investerare att skydda sig mot förändringar i marknadsdynamik.

Den matematiska teorin bakom detta sträcker sig till att involvera σ-algebror och konditionella förväntningar, där riskneutralitet definieras i termer av ett martingalmått. Detta mått säkerställer att den förväntade framtida prisutvecklingen inte ger någon vinst utan risk när den justeras för den observerade informationen. Detta gör det möjligt för marknaden att fungera utan arbitrage, där varje potentiell vinst är tillräckligt justerad för de risker som tas.

Viktigt att förstå för läsaren är att den matematiska abstraktionen som vi arbetar med i dessa teorier är djupt förankrad i hur marknader faktiskt fungerar, där varje beslut om en investering inte bara baseras på nuvarande priser, utan också på förväntningar om framtida förändringar i marknaden. Denna förväntan bygger på riskneutral prissättning och möjligheten att hedga, vilket innebär att tillgångar kan justeras och prissättas baserat på sannolika framtida scenarioförändringar. Det är denna dynamiska interaktion mellan risk och avkastning som gör marknaderna så komplexa, och varför det är avgörande att förstå teorin bakom arbitragefrihet och riskneutral prissättning för att kunna navigera i och förstå den moderna finansmarknaden.

Vad innebär dynamisk hedging och arbitrage i finansiella marknader?

Dynamisk hedging är en strategi som involverar kontinuerliga justeringar av en portfölj för att minska risker associerade med förändringar i marknadspriser över tid. Denna strategi har utvecklats genom att använda olika matematiska modeller som gör det möjligt att förstå och förutsäga hur marknadspriser kan förändras, samt hur man bäst kan skydda sig mot dessa förändringar. En av de centrala aspekterna i denna teori är begreppet arbitrage, som innebär att det går att hitta riskfria vinstmöjligheter på marknaden. I en perfekt marknad utan arbitrage är alla prisrörelser osannolika att ge riskfria vinster, och här kommer begreppet "martingal" in som en grundläggande del.

Martingaler är ständiga justeringar av prissättningen där de diskonterade priserna (det vill säga priser justerade för nuvärde) för tillgångar följer en slumpmässig process som förväntas vara rättvis – med andra ord, ingen garanti för vinst eller förlust på lång sikt. Enligt arbitragefri prissättning måste marknader där inga riskfria vinster kan skapas kännetecknas av just denna martingalstruktur. I den enkla enperiodsmodellen beskrivs hur dessa arbitragefria villkor uppstår och hur en sådan marknadsmodell är användbar för att bygga vidare på mer komplexa dynamiska hedgingstrategier i senare modeller.

Arbitrage, som refererar till möjligheten att köpa och sälja tillgångar för att utnyttja prisdifferenser på olika marknader utan att ta någon risk, är en central aspekt när vi talar om finansiell marknadsteori. Arbitrage uppstår när en aktör kan skapa riskfria vinster genom att samtidigt köpa och sälja liknande tillgångar på olika marknader. I en teoretiskt effektiv marknad finns det inga sådana möjligheter, och när sådana möjligheter identifieras, stänger marknaden snabbt dem genom prisjusteringar.

I detta sammanhang är det också viktigt att förstå begreppet marknadsfullständighet. En marknad sägs vara komplett när det finns tillräckliga möjligheter att konstruera alla tänkbara kontingenta krav, eller derivat, så att alla typer av finansiella risker kan täckas. När marknaden inte är komplett, vilket ofta är fallet i verkligheten, innebär det att det finns situationer där vissa typer av risker inte kan elimineras helt, vilket skapar behovet av mer avancerade hedgingstrategier.

En viktig aspekt av denna modell är att den inte förutsätter att marknadsaktörerna har fullständig information om framtida priser eller risker. Tvärtom kan scenarier för prisutveckling beskrivas som stokastiska processer, där varje utfall av marknadsrörelser har en viss sannolikhet att inträffa. Detta skapar den typ av osäkerhet som gör att hedging blir nödvändigt för att minimera potentiella förluster och maximera chanserna till avkastning.

Vidare är det viktigt att betona att de hedgingstrategier som utvecklas för att hantera dynamisk risk ofta är beroende av marknadens likviditet och de tillgångar som finns tillgängliga för handel. I situationer där marknader är otillräckligt likvida, eller där vissa tillgångar inte är tillgängliga, blir det svårt att genomföra effektiva hedgingstrategier. Det är därför av stor vikt att förstå den underliggande strukturen hos marknader och tillgångar för att kunna tillämpa dynamisk hedging på ett korrekt sätt.

En annan aspekt som är central är att dynamisk hedging innebär att kontinuerligt ombalansera portföljen i takt med marknadsrörelser. Detta kan göras genom att använda olika typer av modeller, som till exempel den binomiala modellen eller mer avancerade system som involverar exoteriska derivat, för att simulera möjliga prisrörelser och justera portföljens sammansättning därefter.

Det finns också en praktisk tillämpning av teorin om dynamisk hedging när man går från enperiodsmodeller till multiperiodsmodeller. I en multiperiodsmodell är marknadsbeteendet beroende av tidigare perioders resultat, vilket innebär att strategin för att säkra en portfölj måste justeras kontinuerligt baserat på den nya informationen som dyker upp för varje tidsperiod. Detta gör dynamisk hedging till ett kraftfullt verktyg i långsiktiga investeringsstrategier där osäkerhet och risk är oundvikliga.

Slutligen är det värt att förstå att dynamisk hedging inte är en garanti för vinst, utan snarare en metod för att minimera förluster under osäkra marknadsförhållanden. I en värld av finansiella marknader där osäkerhet är en ständig närvaro, är hedging ett nödvändigt verktyg för att hantera risker och skydda sig mot de potentiella effekterna av marknadens volatilitet.

Hur kan man representera konvexa riskmått robust och effektivt?

En central fråga inom teorin för riskmått är hur man på ett robust sätt kan representera konvexa riskmått genom en så kallad strafffunktion. Denna strafffunktion kan ses som ett sätt att mäta avvikelser från ett önskat acceptansområde för risker, där riskmåttet för en viss variabel XX ges som ett supremum av förväntade negativa värden för olika sannolikhetsmått. Ett sådant mått kan exempelvis definieras enligt formeln:

min⁡α(Q)=sup⁡X∈X(EQ[−X]−ρ(X))\min \alpha (Q) = \sup_{X \in X} \left( EQ[-X] - \rho(X) \right)

Här är EQ[−X]EQ[-X] förväntan av den negativa av XX, medan ρ(X)\rho(X) är det konvexa riskmåttet. Detta är en grundläggande representation som ofta används för att få fram en modell som reflekterar ett "penalty"-system, där αmin⁡\alpha_{\min} är den minimal möjliga strafffunktionen. Det är viktigt att observera att denna strafffunktion αmin⁡\alpha_{\min} är konvex och nedre semicontinuerlig för den totala variationsdistansen på mängden M1,fM_{1,f}, som är definierad enligt Definition G.20.

Det är också relevant att förstå hur olika typer av riskmått, såsom koherenta riskmått, kan kopplas till acceptansset. Om ett riskmått ρ\rho definieras via ett accepterande set A⊂XA \subset X, så bestäms det minimala straffmåttet genom att maximera den förväntade negativa värdet av XX för alla Q∈M1,fQ \in M_{1,f} med X∈AX \in A. Detta resultat följer från Proposition 4.7, som beskriver sambandet mellan ett accepterande set och den tillhörande strafffunktionen.

En intressant aspekt är att αmin⁡\alpha_{\min} kan betraktas som en Fenchel-Legendre transform, eller konjugatfunktion, av den konvexa funktionen ρ\rho i Banach-rummet XX. Denna transform ger en alternativ väg för att bevisa teoremet om dualitet i konvexa funktioner. Om vi definierar ρ∗\rho^* som konjugatfunktionen för ρ\rho, kan vi visa att ett konvext riskmått ρ(X)\rho(X) ges av en supremumrepresentation:

ρ(X)=sup⁡ℓ∈ba(ℓ(X)−ρ∗(ℓ))\rho(X) = \sup_{\ell \in ba} \left( \ell(X) - \rho^*(\ell) \right)

Detta ger en djupare insikt i hur riskmått och deras duala representationer kan förstås och användas för att modellera risker på ett effektivt sätt. Därmed leder dessa samband till en starkare förståelse för hur konvexa riskmått kan representeras som supremum av förväntade värden, vilket är en viktig del av den teoretiska infrastrukturen för riskmätning.

För koherenta riskmått, som är en specifik typ av konvexa riskmått, är den minimala strafffunktionen αmin⁡\alpha_{\min} särskilt enkel, då den endast antar värdena 0 och +∞+\infty. Detta innebär att riskmåttet kan representeras som ett maximalt förväntat värde över en mängd Qmax⁡Q_{\max}, som är det största setet där representationen kan hållas.

Det är också intressant att titta på hur sådana riskmått kan generaliseras. Om vi har en uppsättning konvexa riskmått ρi\rho_i definierade för olika i∈Ii \in I, kan deras supremum bilda ett nytt riskmått ρ(X)=sup⁡i∈Iρi(X)\rho(X) = \sup_{i \in I} \rho_i(X). Den strafffunktion som används för denna representering är en infimumfunktion av de individuella strafffunktionerna:

α(Q)=inf⁡i∈Iαi(Q)\alpha(Q) = \inf_{i \in I} \alpha_i(Q)

Sådana generaliseringar är användbara när man hanterar flera olika riskmått som behöver sammanföras till en enhetlig representation.

En annan viktig aspekt av konvexa riskmått är deras kontinuitetsegenskaper, vilket har stor betydelse för att säkerställa att supremumrepresentationer är väl definierade. Om ett riskmått kan representeras genom en strafffunktion på mängden M1M_1 av sannolikhetsmått, innebär detta att riskmåttet är kontinuerligt från ovan, vilket innebär att när en sekvens XnX_n konvergerar till XX nedifrån, så konvergerar även ρ(Xn)\rho(X_n) till ρ(X)\rho(X). Detta kan betraktas som en form av "Fatou-egenskap" för det konvexa riskmåttet, där en sekvens av riskmått som konvergerar punktvis, ger ett värde för ρ(X)\rho(X) som är mindre än eller lika med gränsvärdet för sekvensen.

I sammanhang där riskmått representeras av sannolikhetsmått är det också viktigt att beakta dessa kontinuitetsegenskaper för att förstå hur riskmått förändras när man hanterar sekvenser av stokastiska processer eller probabilistiska modeller. Det kan ge insikter i hur riskmått reagerar på förändringar i inputdata, vilket är av stor vikt för praktisk riskhantering.

Hur Konvergerar Optionspriser till Black-Scholes Modellen?

Funktionen V(x,t)V(x, t), som definieras som ∂σν(x,t)=xtϕ(d+(x,t))\partial \sigma \nu(x, t) = x \sqrt{t} \phi(d^{+}(x, t)), beskriver en av de viktigaste kvantiteterna inom optionsvärdering – Vega. Vega representerar känsligheten hos en europeisk köpoption med avseende på volatiliteten. I den klassiska optionsteorin, inklusive den välkända Black-Scholes-modellen, är de centrala begreppen ofta samlade under termen "Greker". De mest kända bland dessa är Δ\Delta, Γ\Gamma, Θ\Theta, ρ\rho och Vega, som alla anger hur olika parametrar i modellen påverkar priset på en option.