Hur man beräknar stationära lösningar för stokastiska Hamiltonsystem

I den analytiska behandlingen av stokastiska system med Hamiltonian dynamik uppstår ofta behovet av att bestämma stationära lösningar för systemets sannolikhetsfördelning. Specifikt, i fallet med quasi-Hamiltonska system, är metoder för stokastisk genomsnittsbildning viktiga för att uppskatta stationära sannolikhetsfördelningar (PDF) för systemets olika parametrar och deras relationer. En sådan lösning kan representeras som en funktion av de initiala betingelserna, systemets parametrar och externa stokastiska drivkrafter.

För att härleda den stationära lösningen för ett givet system, antas en lösning på formen:

p(I_1, I_2, h_3) = C \exp[-\lambda(I_1, I_2, h_3)],

där $\lambda(I_1, I_2, h_3)$ måste uppfylla vissa partiella differentialekvationer. Genom att substituera denna lösning i den reducerade, genomsnittliga FPK-ekvationen, med det första derivatet av $p$ i förhållande till tiden lika med noll, kan den stationära lösningen $\lambda(I_1, I_2, h_3)$ härledas.

Ekvationerna som styr den stationära lösningen för $\lambda$ kan skrivas som:

2 \pi K_1 I_1 \frac{\partial \lambda}{\partial I_1} = 2 \pi K_1 - 2 \pi K_2 2 I_2 \frac{\partial \lambda}{\partial I_2} \quad \text{och} \quad 2 \pi (K_3 + K_4) S(h_3) = 2 \pi (K_3 + d S(h_3) K_4) - 2 a_3 \frac{\partial h_3}{\partial h_3}.

Vidare, om systemets dämpningskoefficienter och intensiteten hos de stokastiska excitationerna uppfyller kompatibilitetsvillkoren:

\frac{\alpha_{12}}{K_1} = \frac{\alpha_{21}}{K_2}, \quad \frac{\alpha_{13} + \alpha_{14}}{K_1} = \frac{\alpha_{31} + \alpha_{41}}{K_3 + K_4}, \quad \frac{\alpha_{23} + \alpha_{24}}{K_2} = \frac{\alpha_{32} + \alpha_{42}}{K_3 + K_4},

kan den exakta stationära lösningen för FPK-ekvationen skrivas som:

p(I_1, I_2, h_3) = C \left(1 + 4b h_3 \right)^{\frac{1}{2}} \exp \left[ -\left( \frac{\alpha_{10} \omega_1 I_1}{\pi K_1} + \frac{\alpha_{20} \omega_2 I_2}{\pi K_2} + \cdots \right) \right].

För att uppskatta den stationära sannolikhetsfördelningen för systemets displacements och moment, kan den approximativa stationära PDF:n för förskjutningar och moment härledas med hjälp av de genomsnittliga Itô-ekvationerna, och omvandlingen mellan de ursprungliga och genomsnittliga parametrarna.

Vid resonansfall, där $\omega_1 = \omega_2$ , kan de genomsnittliga Itô-ekvationerna för systemet skrivas som:

dI_{\eta} = m_{\eta}(I_1, I_2, \psi, h_3) dt + \sigma_{\eta l}(I_1, I_2, \psi, h_3) dB_l(t), \quad \eta = 1, 2,

där $m_{\eta}$ och $\sigma_{\eta l}$ är de genomsnittliga drift- och diffusionskoefficienterna för systemet. Genom att använda dessa koefficienter kan vi bestämma den stationära lösningen för systemet.

I praktiken är lösningarna för system som är quasi-integrabla eller quasi-icke-integrabla beroende av systemparametrarnas storleksordning. För ett 2-DOF vibrations-impaktsystem kan stationära lösningar härledas genom att använda stokastisk genomsnittsbildning för att approximera PDF:erna för förskjutningar och moment, särskilt när systemet utsätts för extern Gaussian vit brus.

Vid specifika parametrar, där dämpningskoefficienterna är i balans med systemets excitation och intern resonans, kan exakta stationära lösningar för sannolikhetsfördelningarna härledas genom användning av systemets Hamiltonian och de derivator som styr dess dynamik. Dessa lösningar är användbara för att förutsäga långsiktig beteende hos systemet under storskaliga stokastiska excitationer.

Det är också viktigt att förstå att de stationära lösningarna för stokastiska Hamiltonsystem kan ändras beroende på om systemet är i resonans eller inte, samt beroende på hur stor påverkan som externa stödpåverkan har. I vissa fall, när systemet är nära resonans, kan resultaten från Monte Carlo-simuleringar och stokastiska genomsnittsmetoder överensstämma nära nog.

Hur man använder stokastisk genomsnittsteori för att lösa kvasi-Hamiltonianska system

För att förstå hur stokastisk genomsnittsteori tillämpas på kvasi-Hamiltonianska system, är det nödvändigt att börja med en översikt av de matematiska verktyg och metoder som används för att hantera sådana komplexa dynamiska system. I kvasi-Hamiltonianska system behandlas stokastiska störningar som påverkar systemets evolution, vilket kräver att man införliva externa stokastiska processer och deras effekter på systemets stabilitet och dynamik.

Betrakta en systembeskrivning där $H(Q, P)$ är Hamiltonfunktionen och $P$ är ett stokastiskt påverkad moment. Om vi antar att störningarna är små (den störa storleken $\varepsilon$ är liten), kan man utveckla Hamiltonianen med hjälp av en Taylor-expansion kring en referenspunkt, vilket gör det möjligt att isolera de dominerande termerna. Expansionen ger en representation av den stokastiska effekten på systemets dynamik, vilket beskriver hur olika parametrar påverkar utvecklingen av systemet över tid.

Matematiskt innebär detta att skriva om Hamiltonianen på ett sätt som inkluderar en summa över de första termerna i en serieutveckling, vilket gör att de stokastiska termerna kan behandlas som små förändringar i systemets parametrar. Denna process ger en förenklad men ändå användbar approximation av systemets utveckling, som sedan kan analyseras vidare.

Stokastiska processer som Wienerprocesser (dvs. en enhets-Wienerprocess $B(t)$ ) introduceras för att beskriva den stokastiska effekten på systemets evolution. Genom att använda ett genomsnittsprincip (som utvecklades av Khasminskii 1968) kan man visa att Hamiltonfunktionen $H(t)$ tenderar att konvergera svagt mot en endimensionell Markovprocess när $\varepsilon \to 0$ . Denna svaga konvergens är avgörande för att kunna förenkla analysen och hantera de olika störningarna som uppstår i praktiken.

Vidare kan den genomsnittliga Stokastiska Differentialekvationen (SDE) för $H(t)$ skrivas på en förenklad form genom att genomföra tidsgenomsnitt, vilket gör att systemets beteende kan förstås i termer av långsiktiga trender snarare än detaljerade tidsberoende fluktuationer. För att erhålla en slutgiltig lösning för systemets dynamik, måste man behandla de oändliga termerna i den ursprungliga SDE:n genom att göra en truncering, vilket innebär att man förnekar termer av högre ordning än en viss nivå.

Denna process att approximera och truncera leder till en försluten form av den genomsnittliga SDE:n, som innehåller alla relevanta termer upp till den valda ordningen $\varepsilon^u$ . Den resulterande ekvationen kan användas för att förstå systemets långsiktiga beteende under påverkan av stokastiska störningar.

För att ytterligare förenkla analysen introduceras begreppet stationär sannolikhetsfördelning, som beskriver systemets sannolika tillstånd vid ett givet tillfälle. Stationära fördelningar kan beräknas genom att lösa en särskild form av den Fokker-Planck-ekvation som är associerad med den genomsnittliga SDE:n. Lösningarna till denna ekvation ger insikter i systemets stabilitet och långsiktiga fördelning av energi eller andra relevanta kvantiteter.

En viktig aspekt att notera är att för praktiska tillämpningar där störe i systemet är mycket liten, så minskar termerna snabbt när ordningen $k$ ökar. Det innebär att endast de första få termerna i expansionen behöver beaktas för att få en god approximation av systemets dynamik. I sådana fall kan man använda en förenklad version av den genomsnittliga SDE:n, som ofta innebär att man sätter $u = 4$ för att uppnå en praktisk lösning med tillräcklig precision.

Det är också viktigt att förstå att den stokastiska genomsnittsteorin inte bara ger en analytisk lösning utan också ett ramverk för att uppskatta effekten av små störningar på systemets övergripande dynamik. Genom att använda denna teori kan vi bättre förstå hur kvasi-Hamiltonianska system reagerar på externa stokastiska effekter och hur dessa kan leda till stabila eller instabila beteenden beroende på systemets parametrar.

Genom att förkorta högre ordningens termer och använda en förenklad genomsnittsmodell får man en starkare förståelse för hur olika störningar påverkar systemet på lång sikt. Den här metodiken är användbar inte bara för kvasi-Hamiltonianska system utan även för många andra stokastiskt drivna dynamiska system, där liknande principer kan tillämpas för att analysera systemets stabilitet och långsiktiga beteende.

Det är också värt att notera att medan denna metod är kraftfull för att hantera små störningar, kan den vara mindre effektiv i system där störningarna är stora eller där systemet inte längre kan approximera linjärt genom en Taylor-expansion. Därför är det viktigt att noggrant överväga systemets egenskaper och storleken på störningarna innan man tillämpar denna metod för att säkerställa att approximationerna är tillräckligt noggranna för det aktuella problemet.

Hur man skapar flexibla designlösningar för anpassningsbara produkter
Hur 2D-materialer Kan Revolutionera Vätgasproduktion genom Fotokatalys från Vatten
Hur Underhållsstrategier Påverkar Hållbarheten: En Kvantitativ Analys
Hur kan Recon-ng och Search Diggity förbättra säkerhetsrekognosering?