Hur kan vi säkerställa att ett finita element är lämpligt för icke-linjär analys?

Inom området icke-linjär strukturanalys är det relativt lite arbete gjort för att testa kvaliteten på finita element som används för denna typ av problem. De flesta tester som har utvecklats, som patch-testet, fokuserar på linjära analyser, men för att validera ett element för icke-linjär analys behövs mer sofistikerade metoder. För en geometrisk icke-linjär analys som baseras på stelhetsformulering bör den geometriska stelhetsmatrisen [kg] inkluderas tillsammans med den linjära (eller elastiska) stelhetsmatrisen [ke] i varje test.

Den linjära stelhetsmatrisen [ke], som härleds från den elastiska deformationens energi, kommer att generera noll krafter i elementet när det utsätts för en stel kroppsrörelse, förutsatt att den är korrekt härledd eller att den passerar patch-testet. Den geometriska stelhetsmatrisen [kg] å andra sidan, som representerar effekten av inledande krafter på ett finita element som genomgår geometriska förändringar, är källan till strukturell instabilitet och kommer att generera icke-noll krafter under stel kroppsrörelse.

För att en finita elementmodell ska vara giltig för en icke-linjär analys kan vi inte enbart förlita oss på den geometriska stelhetsmatrisen. Istället måste vi överväga hela den incrementella stelhetsekvationen, som även inkluderar den geometriska stelhetsmatrisen, i kombination med rigid body rule och planetramselementets ekvationer. Det är genom en sådan helhetssyn som ett element kan bedömas för sin förmåga att hantera de fysiska lagarna för stel kroppsrörelse.

Porter och Powell (1971) dekomponerade den geometriska stelhetsmatrisen i två delar: den interna och externa stelhetsmatrisen. Den interna stelhetsmatrisen beaktar förändringar i nodkrafter orsakade av naturliga deformationer under ett inkrementellt laststeg, medan den externa stelhetsmatrisen beaktar förändringar som orsakas av stel kroppsrörelse. Om vissa högre ordningens termer i relationerna mellan deformation och förskjutning försummas kan detta resultera i fiktiva deformationsvärden för ett finita element under stel rotation, vilket kan leda till inkonsekvenser i strukturellt beteende.

Vidare användes dessa begrepp av Gattass (1982) för att förklara jämvikten hos ett tvådimensionellt balkelement under stel kroppsrörelse, baserat på en uppdaterad Lagrange-formulering. Yang och McGuire (1986a) härledde en stelhetsekvation för ett tredimensionellt I-balkelement, som omfattar sju frihetsgrader vid varje ände, inklusive vridning. I en annan artikel (Yang och McGuire, 1986b) presenterades en mer generell variationalmetod för att fastställa externa och interna stelhetsmatriser för detta balkelement.

Testet för stel kroppsrörelse innebär att vi säkerställer att ett finita element, när det utsätts för en stel kroppsrörelse, följer samma fysikaliska regler som en stel kropp skulle göra. Om ett element uppfyller dessa kriterier kan det anses vara lämpligt för användning i en icke-linjär analys, oavsett om det är ett tvådimensionellt balkelement eller mer komplexa tredimensionella element.

För att ytterligare fördjupa förståelsen av dessa dynamiska aspekter bör läsaren förstå att ett finita element inte bara måste vara strukturellt korrekt i sin grundläggande form, utan även kunna hantera de förändringar som sker under rörelse och belastning. Denna förmåga att anpassa sig till rigid body-mekanismer är en central del av alla avancerade icke-linjära analysmetoder. När man arbetar med sådana modeller är det också viktigt att vara medveten om att de matematiska och fysiska antagandena bakom modellerna kan ha en avgörande inverkan på resultatens tillförlitlighet och noggrannhet.

Hur tillförlitliga beräkningsmetoder för icke-linjära ramar är för att lösa problem med stora rotationer och snap-through-punkter?

I de numeriska exemplen som presenteras här har det visat sig att tre iterationer vanligtvis krävs vid varje increment steg, vilket tyder på att de tre komponenterna i lösningsstrategin – styvhetsmatris, kraftåtervinning och lösningsmetod – fungerar väl tillsammans för att lösa de aktuella problemen. Ett exempel på detta är Williams' toggel, där de numeriska resultaten överensstämmer nära med de analytiska lösningarna som gavs av Williams (1964). Vidare har beräkningstider för den aktuella metoden jämförts med Yang och Chiou (1987) och visat sig vara ungefär lika effektiva.

En annan typ av problem som behandlades var ett fyrkantigt diamantram, antingen under drag- eller tryckbelastning. Denna struktur analyserades genom att modellera endast hälften av ramen, vilket är möjligt på grund av symmetri. Återigen stämde den numeriska lösningen väl överens med de analytiska lösningarna av Mattiasson (1981). Här, liksom i de tidigare exemplen, visade sig den föreslagna metoden vara lika effektiv som de tidigare metoderna vad gäller beräkningstid och antal iterationer per increment steg.

Slutligen undersöktes ett fyrkantigt ram med rigida leder som var belastad vid mitten av de övre och nedre delarna av ramen. Både drag- och tryckbelastningar beaktades. Den numeriska lösningen visade god överensstämmelse med Mattiassons lösningar, och som tidigare, var beräkningstiderna jämförbara med Yang och Chiou (1987).

Dessa exempel visar att de styvhetsmatriser som härleddes i den föregående delen, baserat på den allmänna teorin och med beaktande av geometrisk styvhet, är pålitliga för att lösa icke-linjära problem som involverar snap-through och bifurkationspunkter samt stora rotationer. Den föreslagna metoden för att återvinna krafter i elementen och det geometriska förhållandet för att hantera dessa icke-linjära beteenden har visat sig vara användbara och effektiva.

Hur geometriska styvhetsmatriser påverkar analysen av ramstrukturer: En detaljerad genomgång

Geometriska styvhetsmatriser är grundläggande för att förstå hur krafter, moment och rörelser interagerar i ramstrukturer, särskilt vid analys av instabiliteter och icke-linjära deformationer. I denna kapitel genomgår vi derivationen och användningen av geometriska styvhetsmatriser för tredimensionella ramstrukturelement, med fokus på hur dessa kan appliceras på verkliga strukturanalysproblem.

En intressant aspekt av den geometriska styvhetsmatrisen är hur momenten definieras som spänningresultanter i tvärsnittet av elementet vid den deformerade konfigurationen C2. Böjmoment och torsionsmoment anses vara av olika typ – kvasitangentiella för böjning och semitangentiella för torsion – vilket är avgörande för korrekt formulering av styvhetsmatrisen och för att säkerställa att elementet passerar testet för styv kropp.

Vid analysen av ramstrukturer är det viktigt att också inkludera de inducerade momenten, som kan ha en stor inverkan på stabilitetsberäkningar. Dessa moment, som induceras av roterande krafter och böjande moment, måste beaktas för att modellen ska kunna återge verkliga instabiliteter. Inducerade momentmatrixer härleds från de yttre traktionernas arbete vid C1 och C2-konfigurationerna. Denna aspekt av analysen säkerställer att alla potentiella rotationsrörelser tas med i beräkningen, vilket är avgörande för att korrekt förutsäga strukturell instabilitet och böjning.

En annan central komponent i analysen är den inducerade momentmatrisen, som skapas för att återspegla de effekter som moment har på elementet när de genomgår rotationer i tredimensionellt utrymme. Här är det viktigt att förstå att den inducerade momentmatrisen för ett enskilt element är asymmetrisk. Denna egenskap beror på att böjningsmoment och nodala rotationsgrader inte är konjugerade, vilket leder till att momentmatrisen förblir asymmetrisk tills elementet ansluts till andra element i strukturen. När flera element kopplas samman, kommer symmetrin i styvhetsmatrisen att återställas, vilket sker under sammansättningen av strukturella leder.

Vid införandet av externa krafter på ett strukturelement genomgår systemet en successiv ökning av den virtuella arbetet. Detta sker genom att de yttre krafter som verkar på elementet ökar i små steg, vilket leder till en ackumulering av deformationer och instabiliteter. Genom att använda styvhetsmatriser och momentmatriser kan ingenjörerna förutsäga och analysera dessa fenomen, vilket gör det möjligt att ta hänsyn till både linjära och icke-linjära responser av strukturen under olika belastningar.

För att förstå dessa principer på djupet, är det avgörande att se hur dessa matematiska modeller och matriser kopplas samman med verkliga strukturella analyser och simuleringar. Att förstå hur geometriska och inducerade styvheter interagerar med varandra är inte bara viktigt för grundläggande ingenjörsarbete utan också för mer avancerade tillämpningar inom strukturell analys och design. De detaljerade härledningarna som presenteras i de föregående ekvationerna erbjuder en systematisk metod för att beräkna och analysera komplexa strukturer där icke-linjära effekter, såsom buckling eller plastisk deformation, kan uppkomma.

Det är också viktigt att notera att även om dessa modeller är matematiskt rigorösa, måste de kompletteras med praktisk förståelse för de material och konstruktioner som analyseras. Teoretiska modeller och simuleringar kan ge värdefulla insikter, men de måste alltid beaktas i ljuset av praktiska tester och observationer. Därför är det nödvändigt att ingenjörer, förutom att förstå och använda dessa avancerade matematiska verktyg, också måste ha en stark förståelse för materialens beteende och strukturell dynamik.

Hur man uppdaterar geometri och beräknar styvhetsmatriser i ramar med finita rotationer

Styvhetsmatriser är grundläggande för att förstå strukturell respons vid beräkning av deformationer och spänningar i material. Dessa matriser används för att beskriva hur ett system svarar på yttre påverkningar genom att relatera krafter och rörelser. I den här kontexten beskrivs en metod för att beräkna styvhetsmatriser och uppdatera geometrin i strukturella ramar, särskilt när man arbetar med stora rotationer och icke-linjära analyser.

De vanligast använda integralmatriserna, som till exempel $K_{021}^{33}$, $K_{100}^{33}$, eller $K_{110}^{33}$, är alla derivat av den generella styvhetsmatrisen som beskrivs i formeln för integralmatrisen. Dessa matriser är inte bara teoretiska konstruktioner utan har praktiska tillämpningar i strukturella analyser, särskilt vid beräkning av krafter och deformationer i olika element inom ramen. Varje sådan matris bygger på den specifika strukturella konfigurationen och de parametrar som definierar materialets svar på externa krafter.

Vid beräkningarna är det viktigt att förstå att för ramar med stora rotationer måste den finita rotations- teorin tillämpas, eftersom lagarna för kommutativitet inte gäller. I det här fallet är rotationerna inte längre små, vilket gör att de måste behandlas som icke-kommutativa operationer. När rotationsincre- menten är stora, måste varje förändring i position och orientering beräknas med hjälp av Euler's formel för finita rotationer.

För att uppdatera geometrin för varje element i ramen används denna teori för att successivt beräkna hur varje punkt i strukturen förändras med varje iteration av analysen. Detta sker genom att uppdatera referensaxlarna för varje nod vid varje tidssteg. I början av analysen kan de ursprungliga referensaxlarna för varje nod anges som en uppsättning ortogonala enhetsvektorer, vilka definierar ramen i sitt ursprungliga tillstånd. Vid varje steg i analysen justeras dessa axlar för att återspegla förändringarna i orientering och position som följer av de finita rotationerna.

Det är också viktigt att förstå att uppdateringen av elementens geometri inte bara påverkar rotationerna utan också de naturliga deformationerna hos varje element. Dessa deformationer måste beaktas för att korrekt beräkna de krafter som verkar på strukturen vid varje steg av analysen. De naturliga deformationerna är en direkt konsekvens av de förändringar i geometri som uppstår när elementet roterar eller deformeras under yttre påtryckningar.

Vid analysen av ramar som utsätts för stora rotationer blir det också avgörande att hantera kopplingen mellan de globala och lokala koordinatsystemen korrekt. För att beräkna elementkrafter i ramar där deformationerna inte är små måste alla dessa transformationer av axlar och koordinater hanteras med precision. Varje element i ramen har sina egna lokala axlar och sektioner, och dessa måste uppdateras i enlighet med förändringarna som sker under analysens gång.

För en korrekt beräkning av krafter och deformationer, särskilt i ramar med stora rotationer, är det avgörande att använda en exakt beskrivning av hur referenssystemen och sektionerna för varje nod ändras under deformationen. Det innebär att varje förändring i strukturens geometri måste beaktas vid varje iterationssteg för att säkerställa att resultatet är korrekt och representativt för den faktiska strukturella responsen.

Det är också viktigt att förstå att de matrisformler och teorier som presenteras för styvhetsmatriser är enbart en del av en större beräkningskedja. Dessa formler ger en detaljerad förståelse för hur krafter och deformationer beräknas i en struktur, men de måste integreras i en övergripande numerisk metod för att lösa systemet av ekvationer som beskriver hela ramen. De flesta praktiska tillämpningar kräver att man använder dessa styvhetsmatriser tillsammans med metoder som finite element analysis (FEA) för att lösa komplexa strukturella problem.

För att optimera den numeriska lösningen och säkerställa att de beräknade krafterna och deformationerna är korrekta måste även tillräcklig noggrannhet i de integraler som används för styvhetsberäkningarna beaktas. De vanligaste metoderna för att hantera dessa beräkningar inkluderar användningen av Gauss-integration eller andra numeriska integreringsmetoder, som gör det möjligt att approximera de komplexa integraler som annars skulle vara omöjliga att lösa exakt.

Hur man beräknar och uppdaterar geometrin för ett rymdtramelement med hjälp av finita rotationer

När vi övergår från en initial konfiguration C0 till en deformerad konfiguration, C1, för ett rymdtramelement, ändras de ortogonala axlarna för sektionerna vid varje ände. Vid konfiguration C0 är dessa axlar parallella, som visas i Figur B.3(a). Men när elementet rör sig till C1, som visas i Figur B.3(b), ändras sektionernas axlar (0αa, 0βa, 0γa) för nod A och (0αb, 0βb, 0γb) för nod B på grund av rotationerna av de normala och huvudsakliga riktningarna för sektionerna vid ändarna. Eftersom det centrala axeln för elementet blir böjd kommer de två ändsektionerna generellt inte att förbli parallella.

För att hantera detta kan vi definiera elementets axel 1x vid konfiguration C1 som axeln som passerar genom centroiden för de två ändsektionerna. För att förenkla beräkningarna och uppdateringen av geometri, introduceras begreppet "konvekta koordinater", vilket innebär att vi definierar axlarna 1y och 1z som genomsnitten av projektionerna av de största och minsta huvudsakliga riktningarna för sektionerna vid de två ändarna på ett plan som är vinkelrätt mot 1x-axeln. Detta gör att vi kan bestämma de roterande axlarna för elementet, även när de inte längre är parallella.

Sektionerna för nod A vid konfiguration C0 kan relateras till referensaxlarna genom en transformationsmatris, [0R], som beskriver hur axlarna för nod A (0pa) är relaterade till referensaxlarna (0qa) i den globala koordinatsystemet. Eftersom referensaxlarna är parallella med de globala axlarna vid C0, kan denna transformationsmatris skrivas som [0R] = {0αa}, {0βa}, {0γa}, där {0αa}, {0βa}, och {0γa} representerar komponenterna av sektionens axlar vid nod A i det globala koordinatsystemet XYZ. Detta gör att vi kan omvandla mellan elementets axlar och de globala axlarna i den obe- formade konfigurationen C0.

För noderna A och B definieras de roterade axlarna vid C1 och C2 genom att använda transformationsmatrisen [0R] och sektionernas axlar vid C0. Vid varje konfiguration C1 och C2 kan axlarna för respektive nod uttryckas som {1pa} = [0R]{1qa} och {2pa} = [0R]{2qa}. Detta gäller även för nod B, där vi får {1pb} = [0R]{1qb} och {2pb} = [0R]{2qb}.

För att beräkna de naturliga deformationerna för ett rymdtramelement vid varje nod använder vi en metod som baseras på de geometriska relationerna mellan de centrala axlarna vid C1 och C2. Om vi definierar 1S som ett plan vinkelrätt mot 1x-axeln, kan vi beräkna projektionerna av sektionernas axlar (1β och 1γ) för både nod A och nod B på detta plan. Genom att ta medelvärdet av dessa projektioner, får vi de nya enhetsvektorerna {1ey} och {1ez}, som representerar genomsnittsprojektionerna av sektionernas axlar vid de två ändarna.

I det deformerade tillståndet kommer enhetsvektorerna {1ey} och {1ez} inte att vara vinkelräta mot varandra. För att skapa ett ortogonalt axelsystem gör vi en ytterligare justering, baserat på egenskapen hos en romb att dess diagonaler är vinkelräta mot varandra. Genom att definiera de diagonala vektorerna {e1} och {e2} kan vi konstruera ett ortogonalt koordinatsystem för de deformerade sektionerna. När dessa enhetsvektorer roteras med 45 grader får vi de nya sektionernas axlar {1y} och {1z}.

För att beräkna de naturliga deformationerna för ett rymdtramelement använder vi begreppet att deformationerna kan delas upp i två komponenter: de stela förskjutningarna och de naturliga (medlemmens) deformationerna. De stela förskjutningarna beskriver rörelsen av hela elementet utan att ändra på de interna krafterna, medan de naturliga deformationerna är de förändringar som sker inom elementet på grund av dess deformation. Genom att dekomponera förskjutningarna på detta sätt kan vi bättre förstå hur krafterna och deformationerna påverkar elementets beteende.

För att sammanfatta, de metoder som beskrivs för att uppdatera geometri och beräkna de naturliga deformationerna för ett rymdtramelement bygger på en noggrant definierad transformationsprocess som tar hänsyn till både stel kroppsrörelse och de faktiska deformationerna. Genom att följa dessa steg kan vi noggrant modellera och analysera hur ett element reagerar på externa belastningar och hur dess interna krafter förändras över tid.