I maskininlärning, och särskilt vid träning av neurala nätverk, är ett av de största problemen att undvika överanpassning (overfitting). Överanpassning uppstår när en modell lär sig detaljer och brus i träningsdata så noggrant att den presterar dåligt på nya, osedda data. För att förbättra modellens förmåga att generalisera, det vill säga att göra bra prediktioner på data som inte har setts tidigare, är det avgörande att minska modellens komplexitet. Det finns flera metoder som hjälper till att minska överanpassning, och här fokuserar vi på några av de mest effektiva teknikerna.

En vanlig metod för att motverka överanpassning är L2-regularisering, även känd som viktförfallet (weight decay). L2-regularisering lägger till ett straff i förlustfunktionen baserat på vikternas kvadrerade storlek. Formeln för den regulariserade förlustfunktionen ser ut så här:

Rreg(w)=R(w)+A∣∣w∣∣2=R(w)+A∑j=1nwj2R_{\text{reg}}(w) = R(w) + A||w||_2 = R(w) + A \sum_{j=1}^{n} w_j^2

Här är AA en positiv konstant som styr styrkan på regulariseringen. Genom att ta gradienten av den regulariserade förlustfunktionen, får vi:

∇wRreg(w)=∇wR(w)+2Aw\nabla_w R_{\text{reg}}(w) = \nabla_w R(w) + 2A w

Detta introducerar en krympning av vikterna, vilket gör att modellen undviker att passa för stora vikter, och därmed förhindrar överanpassning genom att minska modellens komplexitet.

En annan metod är L1-regularisering, där straffet baseras på de absoluta värdena av vikterna:

Rreg(w)=R(w)+A∣∣w∣∣1=R(w)+A∑j=1n∣wj∣R_{\text{reg}}(w) = R(w) + A ||w||_1 = R(w) + A \sum_{j=1}^{n} |w_j|

Gradienten för L1-regulariserad förlustfunktion är:

∇wRreg(w)=∇wR(w)+A sgn(w)\nabla_w R_{\text{reg}}(w) = \nabla_w R(w) + A \, \text{sgn}(w)

Här gör L1-regularisering vikterna sparsamma genom att driva många av vikterna till exakt noll. Detta gör att modellen kan välja en undergrupp av de viktigaste funktionerna, vilket är särskilt användbart i högdimensionella inställningar där många indataegenskaper kan vara irrelevanta.

En mer avancerad regulariseringsteknik är dropout, där en slumpmässig andel av neuronerna deaktiveras under träningen. Dropout introducerar en binär mask som slumpas från en Bernoulli-fördelning med framgångsprobabilitet pp. Aktiveringen av en neuron under träning modifieras så här:

hdropout=p⋅mi⊙hih_{\text{dropout}} = p \cdot m_i \odot h_i

Här representerar mim_i en binär mask som är noll eller ett beroende på om en neuron ska deaktiveras eller inte. Dropout tvingar nätverket att lära sig redundanta representationer, vilket minskar beroendet av specifika neuroner och främjar bättre generalisering.

Tidigt stopp är en annan metod för att motverka överanpassning. Denna metod innebär att träningen stoppas när valideringsfelet börjar öka. Under träningen övervakas valideringsfelet, och om det ökar efter flera epoker stoppas träningen för att förhindra att modellen överanpassar.

En annan kraftfull teknik är dataaugmentation, där träningsdatasetet artificiellt förstoras genom att applicera olika transformationer som rotation, skalning och översättning. Genom att skapa nya träningsdataexempel med hjälp av dessa transformationer kan modellen lära sig mer generella mönster och inte passa för mycket till bruset i de ursprungliga träningsdata.

Slutligen är batchnormalisering en metod som normaliserar aktiveringarna för varje minibatch för att reducera intern kovariatförskjutning och stabilisera inlärningsprocessen. Batchnormalisering förbättrar den numeriska stabiliteten och hjälper modellen att konvergera snabbare, samtidigt som risken för överanpassning minskar genom att förhindra att modellen fastnar i snäva, skarpa minima i förlustlandskapet.

Överanpassning är en betydande utmaning vid träning av neurala nätverk, och för att motverka detta krävs en kombination av tekniker som styr modellens komplexitet, förbättrar generalisering och minskar känsligheten för brus i träningsdata. Regelbundna metoder som L2- och L1-regularisering, dropout och tidigt stopp, tillsammans med strategier som dataaugmentation och batchnormalisering, är grundläggande för att förbättra prestandan hos neurala nätverk på osedda data och säkerställa att de inte överanpassar till träningsdatan.

Endtext

Hur Stone-Weierstrass-teoremet relaterar till neuralnät och funktionell approximation

Stone-Weierstrass-teoremet är en grundläggande pelare inom funktionell analys, och det har en central roll i förståelsen av funktionell approximation. Teoremet, som är en förlängning av Weierstrass approximationsteorem, påstår att varje kontinuerlig funktion definierad på en kompakt mängd kan approximera vilken funktion som helst från en subalgebra av funktioner, under vissa villkor. I detta sammanhang blir det relevant för att förstå hur neurala nätverk kan användas för att approximera kontinuerliga funktioner, vilket är en grundläggande aspekt av många moderna AI-modeller.

Det var Rudin (1976) som introducerade Weierstrass approximationsteorem och dess generalisering, Stone-Weierstrass-teoremet. Han visade att polynom kan approximera kontinuerliga funktioner på ett uniformt sätt. Det betyder att vi kan närma oss varje kontinuerlig funktion så nära vi vill, med hjälp av polynom. Vidare presenterade han också exempel och övningar relaterade till kompakthet, uniform konvergens och Banach-algebrastrukturer.

Stein och Shakarchi (2005) byggde vidare på detta genom att applicera Stone-Weierstrass-teoremet inom måtteori och funktionell analys, och bevisade teoremet i kontexten av Lebesgue-integration. Deras arbete visade också hur teoremet kan tillämpas på Hilbertrum och ortogonala polynom, samt dess koppling till Fourieranalys och spektraldekomposition.

Conway (2019) expanderade teoremet ytterligare i sammanhanget av Banach-algebras och C-algebras, och undersökte hur det kan appliceras på icke-kommutativa funktionalgebror och operatorteoretiska implikationer i Hilbertrum. Teoremet fick dessutom en ny dimension i Dieudonnés (1981) historiska genomgång av funktionell analys, där han undersökte bidragen från Karl Weierstrass och Marshall Stone.

En av de mest intressanta utvecklingarna kom från Folland (1999), som integrerade Stone-Weierstrass-teoremet i sannolikhetsteori och ergodisk teori. Han visade hur teoremet kan användas för att etablera tätheten av algebraiska funktioner i måttutrymmen och knöt det till funktionell approximation i Lp-utrymmen. Sugiura (2024) tog detta ännu längre genom att introducera Stone-Weierstrass-teoremet i maskininlärningens område och bevisade att vissa neurala nätverk kan approximera funktioner under de förutsättningar som teoremet kräver.

I sin mest rigorösa form kopplas Stone-Weierstrass-teoremet direkt till Universal Approximation Theorem (UAT), vilket ger en stark matematisk grund för att förstå varför och hur neurala nätverk kan approximera vilken kontinuerlig funktion som helst som är definierad på en kompakt mängd. Denna koppling innebär att en neural nätverksmodell kan approximera varje funktion som tillhör ett kompakt Hausdorffutrymme, vilket innebär att vi kan använda neuralnät för att lösa en rad problem inom både teori och praktik.

För att formulera detta mer exakt, låt oss anta att X är ett kompakt Hausdorffutrymme och C(X) representerar rummet av kontinuerliga reella funktioner på X. För att definiera närme mellan dessa funktioner används supremumnormen:
∥f∥=sup⁡x∈X∣f(x)∣\|f\| = \sup_{x \in X} |f(x)|

För att approximera en funktion f∈C(X)f \in C(X) med en funktion gg från en subalgebra A⊂C(X)A \subset C(X), måste algebra AA uppfylla två avgörande villkor: den måste innehålla de konstanta funktionerna och den måste separera punkter, vilket innebär att för alla distinkta punkter x1,x2∈Xx_1, x_2 \in X finns det en funktion h∈Ah \in A sådan att h(x1)≠h(x2)h(x_1) \neq h(x_2). Detta säkerställer att funktionerna från AA är tillräckligt "rika" för att kunna särskilja mellan olika punkter i XX. Om dessa två egenskaper är uppfyllda, garanterar Stone-Weierstrass-teoremet att för varje kontinuerlig funktion ff och varje ϵ>0\epsilon > 0 finns det en funktion g∈Ag \in A sådan att:

∥f−g∥<ϵ\|f - g\| < \epsilon

Det är här den moderna teknologin kommer in, där de senaste tillämpningarna av teoremet är synliga i utvecklingen av neuralnät och deras förmåga att approximera komplexa funktioner under de givna teoretiska förutsättningarna. Sugiura (2024) och Liu et al. (2024) har visat att teoremet kan användas för att analysera och förbättra prestanda hos neurala nätverk, och för att bygga broar mellan traditionell funktionell approximation och de avancerade tekniker som används inom maskininlärning och djupinlärning idag.

Det är viktigt att notera att även om Stone-Weierstrass-teoremet säkerställer att alla kontinuerliga funktioner på ett kompakt Hausdorffutrymme kan approximera med hjälp av neurala nätverk, är det långt ifrån trivialt att implementera denna approximation i praktiken. Beroende på den specifika problemställningen kan nätverksarkitektur, inlärningsalgoritmer och optimeringstekniker spela en stor roll i hur effektivt och exakt en sådan approximation uppnås. Vidare måste man beakta de möjliga bristerna och begränsningarna som kan uppstå när teoremet appliceras på verkliga data och komplexa system.

Hur kan blockchain-teknologi förbättra säkerhet och effektivitet inom hälso- och sjukvården?
Hur man bygger förtroende och säljer solenergi effektivt
Hur kan superkritisk vattenoxidation användas för att hantera organiska föroreningar och avfall?
Hur en enkel handling kan förändra perceptionen: En medicinmans bluff och naturens mysterier