En rationell funktion på en algebraisk varietet A över ett kropp K är ett element i funktionsfältet K(A), vilket definieras som kvotkroppen till koordinatringen K[A]. Eftersom A är irreducibel är K[A] en integritetsdomän, och därför existerar denna kvotkropp. Ett element f ∈ K(A) kan skrivas som f = g/h där g, h ∈ K[A] och h ≠ 0. Funktionen f är endast delvis definierad på A; den är definierad i punkter p ∈ A där h(p) ≠ 0.

Att en rationell funktion har många representationer innebär att från det faktum att en viss nämnare h har ett nollställe vid p inte nödvändigtvis följer att f är odefinierad där—det kan finnas en annan representation med en nämnare som inte försvinner i p.

För att formalisera detta introduceras begreppet idealet av nämnare för f, If = {h ∈ K[A] | h·f ∈ K[A]}. Mängden där f är definierad ges av dom(f) = A \ V(If), vilket är en Zariski-öppen mängd. I själva verket är varje sådan mängd tät i A, eftersom A är irreducibel och därför inte kan täckas av två strikt mindre stängda delmängder.

Det är centralt att en rationell funktion som är definierad överallt på A faktiskt är en polynomfunktion; detta följer av att om dom(f) = A, så är V(If) = ∅ och Hilberts nollställesats ger att 1 ∈ If, vilket innebär att f ∈ K[A].

Den lokala ringen OA,p vid en punkt p i A är lokalisationen K[A]mp, där mp är den maximala idealt motsvarande p. En rationell funktion f ∈ K(A) är definierad vid p om och endast om f ∈ OA,p. Denna observation ger en lokal beskrivning av dom(f) som mängden av punkter där f tillhör den lokala ringen.

En rationell avbildning ϕ : A ⇢ B mellan två irreducibla varieteter ges av ett m-tuple (f₁, ..., fₘ) av rationella funktioner i K(A), där varje fi är definierad på en tät öppen delmängd. Avbildningen ϕ är definierad i punkter där alla komponentfunktioner är definierade, det vill säga i dom(ϕ) = ⋂ dom(fi), vilket är en Zariski-öppen tät delmängd av A. Detta garanteras av att snittet av två täta öppna mängder i en irreducibel mängd återigen är tät.

Två rationella avbildningar ϕ : A ⇢ B och ψ : B ⇢ C kan inte alltid komponeras, eftersom bilden av ϕ kan ligga helt utanför definitionsmängden för ψ. Men om ϕ är dominant—dvs. om bilden ϕ(dom(ϕ)) är tät i B—så existerar en sammansättning ψ ∘ ϕ som återigen är dominant. Dominanta rationella avbildningar tillåter oss att betrakta varieteter i termer av deras funktionsfält: en dominant rationell avbildning ϕ : A ⇢ B inducerar en inklusion av funktionsfält K(B) ↪ K(A), vilket är en injektiv homomorfi av K-algebror.

När ϕ dessutom är birationell—det vill säga när K(B) ≅ K(A)—är ϕ en isomorfi i kategorin av varieteter upp till rationalitet. Detta fältteoretiska perspektiv ger ett abstrakt men kraftfullt sätt att förstå relationer mellan varieteter.

Slutligen definieras dimensionen av en algebraisk varietet A som transcendensgraden av dess funktionsfält över K, alltså dim A = trdeg_K K(A). Denna definition stämmer överens med geometrisk intuition och ger en algebraisk grund för begreppet dimension. För godtyckliga algebraiska mängder A, definierar man dimensionen som det maximala värdet av dimensionerna för dess irreducibla komponenter.

Det är också väsentligt att notera att koordinatringar till varieteter inte alltid är faktoriella, vilket kan påverka analysen av funktioner och ideal. Ett exempel är A = V(wx − yz), där K[A] = K[w, x, y, z]/(wx − yz), vilket inte är en faktoriell ring. Trots detta kan rationella funktioner som f = w/z = y/x definieras och studeras utan problem i K(A), med lämpliga undantagspunkter identifierade via deras nämnare.

Det är viktigt att förstå att hela konstruktionen bygger på att varieteten A är irreducibel; annars hade vi inte haft ett integritetsdomän och därmed ingen välbestämd kvotkropp. Detta krav genomsyrar hela strukturen, från definitionen av rationella funktioner till dimensionsteori och kategoriska betraktelser. Varietetens irreducibilitet garanterar att öppna täta mängder alltid har icke-triviala snitt, vilket är fundamentalt för teorin om rationella avbildningar och deras kompositioner.

Hur kan vi avgöra om ett algebraiskt ekvationssystem har lösning?

Att lösa ett system av algebraiska ekvationer innebär att avgöra om det finns punkter i ett givet fält där samtliga polynom i systemet simultant antar värdet noll. Den mest fundamentala frågan är om mängden av nollställen, den så kallade "vanishing locus", är tom eller inte. Redan detta första steg är centralt för förståelsen av algebraisk geometri, och svaret varierar dramatiskt beroende på vilket fält vi arbetar över: de komplexa talen, de reella, de rationella eller någon ändlig kropp.

Utgångspunkten är att varje mängd av polynom definierar en mängd lösningar i ett affint rum. För ett fält kk, och polynom f1,...,fr∈k[x1,...,xn]f_1, ..., f_r \in k[x_1, ..., x_n], utgör den gemensamma nollmängden V(f1,...,fr)⊂knV(f_1, ..., f_r) \subset k^n en algebraisk mängd. Frågor vi naturligt ställer är: Har systemet någon lösning? Hur många? Om oändligt många, vad är dimensionen av lösningsmängden? Går det att parametrisera den?

I fallet k=Ck = \mathbb{C} erbjuder Hilberts Nullstellensatz ett effektivt svar. Det förutsätter dock en översättning av systemet till en fråga om ideal i polynomringen k[x1,...,xn]k[x_1, ..., x_n]. Ett ideal är en mängd polynom sluten under addition och multiplikation med godtyckliga polynom i ringen. Specifikt är idealet genererat av f1,...,frf_1, ..., f_r, betecknat (f1,...,fr)(f_1, ..., f_r), mängden av alla polynom som kan skrivas som g1f1+...+grfrg_1f_1 + ... + g_rf_r för vissa gi∈k[x1,...,xn]g_i \in k[x_1, ..., x_n].

Hilberts Nullstellensatz säger att om ett polynom ff är noll på hela lösningsmängden till idealet (f1,...,fr)(f_1, ..., f_r), så existerar en potens av ff som tillhör idealet. Det innebär att geometriska egenskaper – som att ett visst polynom försvinner på en algebraisk mängd – kan översättas till algebraiska relationer i polynomringen. Men för att detta ska vara praktiskt användbart krävs en algoritmisk metod för att kontrollera idealtillhörighet, och här kommer Gröbnerbaser in.

Buchbergers algoritm, som kan ses som en generalisering av Gausselimination till multivariata polynom, tillhandahåller ett sådant verktyg. Den möjliggör inte bara kontroll av idealtillhörighet utan också effektiv lösning av ekvationssystem och beräkning av dimensioner. I detta sammanhang blir residueklasser avgörande. Genom att arbeta i kvotringen R/IR/I, där II är ett ideal, kan man representera varje element som en klass av ekvivalenta polynom. Beräkningar i sådana kvotringsstrukturer förutsätter division med rest, vilket i det univariata fallet alltid är möjligt tack vare divisionsalgoritmen.

I fall då polynomet ff är moniskt – alltså har ledkoefficient 1 – kan varje element i k[x]/(f)k[x]/(f) representeras entydigt av ett polynom av grad strikt mindre än deg⁡f\deg f. Detta gör det möjligt att se kvotringen som ett ändligt-dimensionellt vektorrum över kk, med bas \

Hur man beräknar kollisioner med plan i en tvådimensionell simulering av en dammbrytning
Varför misslyckades den amerikanska senaten?
Hur USB Shell Punching Machine och Automatisk Slipmaskin Förbättrar Effektiviteten i Produktion
Vad representerar den här matematiska formeln och hur kan den tolkas i praktiken?