Como a Linearização Exata Via Realimentação Pode Transformar Sistemas Não Lineares

A linearização exata por meio de realimentação é uma técnica essencial no controle de sistemas não lineares, permitindo que um sistema originalmente não linear seja tratado como se fosse linear. Esta abordagem facilita a análise e o controle de sistemas dinâmicos complexos, essencialmente transformando um problema difícil de ser modelado e controlado em um problema linear, que possui ferramentas de controle bem estabelecidas.

Consideremos um sistema não linear descrito pelas equações $Z_1 = Z_4$, $X_2 = Z_2$, $X_3 = Z_3$, e $X_4 = Z_4$. A transformação das variáveis do sistema para um novo conjunto de coordenadas $z_i$, $z_2$, $z_3$, $z_4$, é uma técnica central no processo de linearização. No entanto, um ponto crucial é que, mesmo com a mudança de coordenadas global, o sistema não é imediatamente colocado na sua forma normal devido à presença da entrada $u$ na equação para $Z_3$. Para remover essa dependência de $u$, é necessário modificar a função de controle e aplicar uma transformação mais sofisticada.

A função proposta $\varphi_3(x) = x_2 - 2x_3 - x_4$, após uma análise cuidadosa, resulta em uma transformação que pode levar o sistema a uma forma normal, o que permite a aplicação de técnicas de controle linear convencionais. A normalização do sistema é alcançada através da redefinição das funções que descrevem a dinâmica do sistema no novo conjunto de coordenadas, permitindo um controle efetivo da entrada $u$.

A realimentação estática, ou feedback de estado estático, é uma forma particular de controle em que a entrada $u$ depende diretamente do estado atual $x$ e de uma entrada externa de referência $v$, sem depender de informações passadas ou de variáveis de estado adicionais. Para um sistema de entrada única e saída única, uma estrutura simples de controle de feedback pode ser expressa pela equação $u = a(x) + \beta(x)v$, onde $a(x)$ e $\beta(x)$ são funções que dependem do estado $x$ do sistema. A implementação desse tipo de controle é vantajosa porque permite que o sistema se comporte de forma linear e controlável, com as funções $a(x)$ e $\beta(x)$ sendo definidas em um conjunto aberto adequado do espaço de estados.

Para que o controle de realimentação seja eficaz, o sistema deve ser transformado para um sistema linearizado através de mudanças de coordenadas. Isso é especialmente importante quando o sistema não linear tem um grau relativo igual à sua dimensão, o que implica que o número de variáveis do sistema é o mesmo que a ordem do sistema. Nesse contexto, a transformação de coordenadas e a aplicação de uma lei de controle de feedback resultam em um sistema linear, no qual a realimentação pode ser imposta de maneira mais simples, como $v = Kz$, onde $K$ é uma matriz de ganho, e a dinâmica do sistema é completamente descrita pelas coordenadas $z$.

Em sistemas com essa propriedade, é possível aplicar novos controles de realimentação para determinar, por exemplo, o comportamento dos polos do sistema ou para otimizar seu desempenho. Ao substituir as variáveis $z$ de volta para as coordenadas originais $x$, o controle de feedback pode ser expresso como uma função não linear, que, embora envolva uma complexidade adicional, ainda pode ser controlado de maneira eficaz devido à transformação anterior que simplificou a análise.

A linearização exata, ao transformar um sistema não linear em um sistema linear e controlável, não apenas facilita o design de controladores, mas também abre um leque de possibilidades para otimizar o comportamento dinâmico do sistema. Contudo, um aspecto crucial que deve ser observado é que a eficácia desta abordagem depende da precisão na escolha da transformação de coordenadas e da função de controle utilizada, o que exige um entendimento profundo da dinâmica do sistema original e da natureza das equações que o descrevem.

Além disso, ao se trabalhar com sistemas não lineares, é essencial compreender que a linearização exata, embora poderosa, não elimina a necessidade de análises cuidadosas das características do sistema. A realimentação, por si só, não garante um desempenho ótimo ou a estabilidade global do sistema, mas quando combinada com outras técnicas de controle e com a modelagem adequada das dinâmicas, ela pode fornecer soluções robustas para desafios complexos.

Como Alcançar o Grau Relativo Através da Extensão Dinâmica de Sistemas Não Lineares com Retroalimentação

A questão do grau relativo, no contexto de sistemas dinâmicos, está intimamente ligada à possibilidade de projetar um controle dinâmico que transforme um sistema não linear em um sistema com características desejáveis de controle, como linearidade e controlabilidade. O método conhecido como Extensão Dinâmica oferece uma forma eficaz de atingir esse objetivo, realizando iterações sucessivas que alteram a estrutura do sistema até que a condição de grau relativo seja satisfeita. O algoritmo subjacente, em sua forma básica, procura determinar quantas iterações são necessárias para transformar um sistema inicial, geralmente não controlável ou não linear, em um sistema que possa ser tratado de forma linear e controlável.

Considere um sistema da forma $\dot{x} = f(x) + g(x)u$, onde $y = h(x)$, e seja $F$ uma matriz associada ao sistema, com a condição de que $F$ tenha um posto constante $q < m$ em uma vizinhança de $x = 0$. Após um número finito de iterações, o sistema será transformado, de forma que o posto da matriz $F$ aumente, alcançando uma condição em que o grau relativo possa ser definido para cada saída do sistema.

A primeira iteração do algoritmo de Extensão Dinâmica pode ser implementada de maneira simples. Se necessário, após uma troca na ordem das entradas e saídas, seleciona-se um par de índices $(i_0, j_0) = (1, 1)$, e escolhe-se uma função de retroalimentação $p(x) = -L^h_i(x)$ e $q(x) = 1$, conforme sugerido na observação anterior. Isso resulta em um sistema estendido, onde a nova configuração das variáveis auxiliares e as relações entre as saídas começam a revelar as primeiras dependências das variáveis de controle $v_2, v_3, \dots, v_m$. A cada nova iteração, as variáveis de controle passam a influenciar as saídas de maneira mais explícita.

Após $q$ iterações desse tipo, o sistema estendido atinge uma configuração onde o grau relativo é definido, mas o processo não se encerra aqui. O algoritmo de Extensão Dinâmica pode ser repetido para refinar ainda mais o sistema, até que o posto da matriz $F$ atinja a condição desejada, ou seja, até que as saídas do sistema se tornem linearmente dependentes das entradas de uma maneira controlável e previsível.

No entanto, a simples implementação do algoritmo de Extensão Dinâmica não é suficiente para garantir a controlabilidade ou linearidade do sistema. Além de alcançar o grau relativo, é essencial garantir que o sistema original possua certas propriedades, como a ausência de dinâmicas nulas. Quando um sistema possui dinâmicas nulas triviais, como definido por $y(t) = 0$ implicando $u(t) = 0$ e $x(t) = 0$, isso facilita a aplicação do feedback dinâmico sem introduzir comportamentos indesejáveis ou instabilidades. Isso é crucial, pois o comportamento da dinâmica do sistema deve ser controlado de forma que, ao aplicar o feedback dinâmico, não se introduzam soluções triviais que comprometam a performance do controle.

Além disso, a condição de que a soma dos graus relativos das saídas seja igual à dimensão do espaço de estados $n$, ou seja, $r_1 + r_2 + \dots + r_m = n$, é fundamental. Esta condição garante que, após a aplicação do feedback dinâmico e das transformações de coordenadas, o sistema original pode ser convertido em um sistema linear e controlável. Portanto, a implementação de um feedback adequado não apenas altera a estrutura do sistema, mas também pode ser usada para transformar um sistema não linear em um sistema com controle linear, permitindo uma análise mais simples e a utilização de técnicas convencionais de controle.

A conclusão prática desse processo é que, quando o grau relativo é alcançado e a condição $r_1 + r_2 + \dots + r_m = n$ é satisfeita, o sistema original pode ser convertido em um sistema linear e controlável por meio de retroalimentação dinâmica e transformações de coordenadas. A chave para a efetividade desse método está na interação precisa entre a dinâmica do sistema e o feedback aplicado, que deve ser cuidadosamente projetado para garantir que todas as variáveis do sistema se comportem de maneira linearizada.

É possível obter controle não interativo com estabilidade apenas via realimentação dinâmica?

A possibilidade de obter controle não interativo com estabilidade por meio de realimentação dinâmica representa uma das questões centrais na teoria do controle de sistemas não lineares. A análise se inicia com a constatação de que, mesmo quando um sistema não possui grau relativo vetorial em torno de um ponto de equilíbrio, é ainda possível transformá-lo em um sistema não interativo mediante o uso de realimentações dinâmicas apropriadas. No entanto, a simples existência de tal realimentação dinâmica que assegure não interatividade não implica, de forma geral, que seja também possível garantir a estabilidade assintótica do sistema fechado. Essa dissociação entre as propriedades de não interatividade e estabilidade exige uma investigação mais aprofundada.

A caracterização precisa do problema revela que se deseja encontrar uma extensão dinâmica localmente definida em torno de um ponto de equilíbrio (x, ξ) = (0, 0), tal que o ponto (0, 0) seja estável na primeira aproximação e que o sistema resultante preserve a estrutura não interativa: cada saída yi deve depender exclusivamente de sua entrada correspondente vi, sem interferência cruzada. A formulação matricial do sistema em malha fechada deixa clara a presença de dois objetivos distintos: a imposição de uma estrutura de controle não interativo e a garantia de estabilidade local.

A literatura reconhece casos em que a ausência de grau relativo vetorial impede a aplicação de realimentações estáticas convencionais, mas onde uma extensão dinâmica regularizante permite atingir os objetivos desejados. Contudo, esse tipo de abordagem requer que certas condições sejam satisfeitas — condições essas que, segundo o Teorema 7.3.9, são suficientes, embora bastante restritivas.

O ponto central da análise reside em compreender até que ponto é possível utilizar a flexibilidade da realimentação dinâmica não apenas para impor o grau relativo vetorial necessário, mas também para relaxar as condições de estabilidade exigidas no caso estático. Particularmente, deseja-se enfraquecer a exigência de estabilidade do sistema autônomo obtido na ausência de entradas — uma exigência que, sob certas hipóteses de regularidade de distribuições envolvidas, se mostra crítica no caso de realimentação estática.

Parte-se, então, da construção de distribuições invariantes associadas ao sistema. Dado um sistema não interativo que admita grau relativo vetorial em torno do ponto de equilíbrio, é possível associar-lhe uma distribuição geométrica que permanece invariável sob quaisquer transformações de realimentação dinâmica que preservem a propriedade de não interatividade. Essa distribuição é construída a partir da álgebra de Lie de controle do sistema, mais especificamente de um ideal formado por combinações lineares de colchetes de Lie repetidos que envolvem múltiplos vetores de campo associados às direções de entrada — ou seja, combinações que cruzam os canais de controle e que, por definição da não interatividade, devem estar contidas nas distribuições que não afetam diretamente os estados controláveis por um único canal.

Se tal distribuição, denotada por Δ_mix, for não singular e involutiva, então ela define um sistema de coordenadas locais no qual a estrutura do sistema desacopla naturalmente os diferentes canais de controle, e permite representar dinamicamente a evolução das variáveis de forma separada. Nessas coordenadas, a escolha adequada de variáveis adicionais (por exemplo, zm+1) garante que o sistema continue dentro da distribuição Δ_mix, preservando sua invariância sob os campos vetoriais f, g₁,..., g_m. Essa estrutura facilita a separação dos subsistemas e permite o estudo refinado das condições de estabilidade.

A implicação mais profunda dessa construção é que o papel da realimentação dinâmica ultrapassa o mero ajuste estrutural do sistema: ela atua como um instrumento para manipular as distribuições geométricas do sistema de forma que as condições de controlabilidade e estabilidade possam ser satisfeitas simultaneamente, mesmo que de maneira aproximada. Essa abordagem é fundamental sobretudo em sistemas com múltiplas entradas e saídas (m > 2), onde as interações cruzadas são mais complexas e onde a estrutura interna do sistema não admite simplificações triviais.

A análise geométrica conduz à conclusão de que a distribuição Δ_mix é não apenas uma ferramenta diagnóstica, mas também um objeto estrutural que determina a viabilidade da estabilização por controle não interativo. Quando essa distribuição é suficientemente rica e regular, abre-se a possibilidade de construir extensões dinâmicas que não apenas preservam a não interatividade, mas que também viabilizam a estabilidade do sistema fechado sem recorrer a condições restritivas como as do Teorema 7.3.9. Assim, o estudo da estrutura de Δ_mix fornece não apenas uma caracterização do comportamento do sistema sob realimentações dinâmicas, mas também um critério geométrico para avaliar a possibilidade de alcançar os objetivos de controle desejados.

Importante também compreender que a invariância de Δ_mix sob a dinâmica do sistema impõe limites à eficácia das realimentações dinâmicas. Isto é, ainda que tais realimentações aumentem o espaço de soluções disponíveis, elas permanecem subordinadas às restrições impostas pela estrutura interna do sistema — restrições essas expressas por sua álgebra de Lie e pelas distribuições que dela derivam. Assim, a análise das propriedades de invariância dessas distribuições é essencial para o projeto sistemático de controladores dinâmicos que pretendam alcançar simultaneamente estabilidade e desacoplamento.