Como simplificar sistemas estocásticos não lineares com o método de média estocástica?

Em muitos sistemas dinâmicos não lineares com excitação aleatória, obter soluções exatas ou mesmo aproximadas das respostas do sistema é extremamente difícil, sobretudo quando a excitação é modelada como ruído branco Gaussiano. O ruído branco é uma idealização matemática: possui energia infinita e sua função de correlação é uma delta de Dirac. Nenhum processo estocástico real atende a essas características, o que impõe limitações à modelagem direta. Para contornar essa dificuldade, foi desenvolvido o método de média estocástica. Esse método permite aproximar um processo estocástico real — não branco — por um ruído branco sob certas condições, o que viabiliza o uso de ferramentas associadas a processos de difusão de Markov para obter soluções aproximadas.

O princípio teórico da média estocástica foi inicialmente proposto por Stratonovich e posteriormente formalizado por Khasminskii, através de um teorema de convergência fraca. Considere uma equação diferencial estocástica com um pequeno parâmetro ε, onde os termos de ordem ε e √ε representam respectivamente os efeitos determinísticos lentos e as excitações aleatórias rápidas. Quando essas excitações são de banda larga e têm média zero, e as funções envolvidas são suaves e limitadas, o processo de resposta do sistema converge, à medida que ε tende a zero, para um processo de difusão de Itô governado por uma equação diferencial estocástica com coeficientes de deriva e difusão definidos por médias temporais e funcionais de correlação.

Esses coeficientes — vetor de deriva m(X) e matriz de difusão σ(X) — são obtidos por meio de integrais envolvendo médias em conjunto e no tempo de funções das variáveis do sistema e das excitações. Essa abordagem pressupõe que o processo X(t) varia lentamente, sendo quase constante na escala de tempo das excitações, o que permite tratar X(t) como parâmetro fixo ao calcular essas médias.

Para garantir que o processo de resposta seja um processo de difusão de Markov, duas condições principais são necessárias: (i) as excitações devem ser de banda suficientemente larga para que possam ser aproximadas como ruído branco; (ii) o lado direito da equação diferencial deve ser pequeno, garantindo que a resposta seja de variação lenta. A caracterização da largura de banda é feita pela análise da função de correlação das excitações, e o tempo de correlação — uma medida da memória do processo — deve ser pequeno para justificar a aproximação como ruído branco.

Sob essas condições, o sistema é reduzido a uma equação de Itô cuja solução é um processo de difusão. Essa transformação permite utilizar a equação de Fokker-Planck-Kolmogorov (FPK) para descrever a evolução da função densidade de probabilidade (PDF) da resposta do sistema. O objetivo central da média estocástica é, assim, determinar os momentos de primeira e segunda ordem — ou seja, os coeficientes de deriva e difusão — que regem a evolução estatística da resposta.

É importante compreender que o método se aplica de forma distinta dependendo da natureza das excitações. Quando estas são ruídos brancos Gaussianos, a média é feita apenas no tempo, tornando o processo mais direto. Porém, para excitações de banda larga, o procedimento exige técnicas mais elaboradas e aproximações sucessivas. O método também se estende a sistemas com excitação harmônica combinada com ruído aleatório, sistemas excitados por ruídos de Poisson e aqueles com ruído fracionário G

Como é possível obter soluções aproximadas para sistemas dinâmicos sob excitações estocásticas e harmônicas combinadas?

Ao considerarmos um sistema com funções de amortecimento e excitação não lineares, como expresso pelas equações diferenciais estocásticas para as variáveis $x_c$ e $x_s$, torna-se necessário aplicar métodos que consigam lidar com a não exatidão da sintonia entre as frequências características do sistema. A condição de exatidão — isto é, a sintonia perfeita entre a frequência do sistema e a frequência da excitação — implica que certos parâmetros, como $\gamma$ e $D$, sejam nulos, simplificando as equações e permitindo uma solução explícita para a função potencial $\varphi(x_c, x_s)$.

A forma dessa PDF envolve termos quadráticos e quarticos em $x_c$ e $x_s$, refletindo a influência dos termos não lineares, especialmente o amortecimento não linear do sistema. A construção dessas funções substitutas e da PDF associada é embasada na resolução de um sistema de equações algébricas lineares para os coeficientes que definem os termos não lineares do potencial, garantindo a minimização do erro residual obtido pela diferença entre o sistema original e o substituto.

Além disso, a aplicação do método dos resíduos ponderados permite selecionar funções de peso adequadas para garantir que o erro acumulado seja minimizado em um sentido médio, assegurando que a aproximação seja consistente com o comportamento estatístico do sistema.

O tratamento de sistemas sujeitos a excitações do tipo ruído branco de Poisson amplia a abordagem para sistemas n-dimensionais, onde as variáveis estocásticas são governadas por processos de saltos compostos. A expansão de Itô para funções dessas variáveis torna-se crucial, considerando os momentos derivados até ordens elevadas para capturar os efeitos não lineares e a distribuição temporal do ruído.

Na modelagem do envelope de amplitude de um sistema SDOF sob excitação de ruído branco de Poisson, a transformação das variáveis para coordenadas polares permite expressar a evolução da amplitude e da fase por meio de equações diferenciais estocásticas, nas quais se aplicam técnicas de média estocástica para reduzir a complexidade. A análise das funções de momentos derivados, após integração temporal, permite a formulação de equações para a densidade de probabilidade do envelope, essencial para a compreensão do comportamento estatístico do sistema.

É importante salientar que, para sistemas lineares sujeitos a ruído branco de Poisson, a modelagem das variáveis de estado como processos compostos facilita a descrição da dinâmica e a aplicação de técnicas de análise estocástica. A transformação para o espaço de amplitude e fase, seguida pela aproximação dos momentos de ordem superior, constitui uma metodologia robusta para o estudo da resposta estacionária desses sistemas sob excitação impulsiva.

Para além da formulação matemática e dos procedimentos aproximativos descritos, é fundamental compreender que tais métodos não apenas facilitam a análise e a previsão da resposta dos sistemas, mas também revelam a importância da sintonia exata e do papel da não linearidade no comportamento dinâmico. A estabilidade estatística do sistema depende criticamente dos parâmetros envolvidos, e a manipulação adequada das funções substitutas pode garantir que os resultados estejam dentro de margens aceitáveis de erro.

Como são descritos os sistemas Hamiltonianos quase-integráveis sob perturbações estocásticas?

Os sistemas Hamiltonianos quase-integráveis são caracterizados por sua estrutura quase conservativa, mas sujeitos a pequenas perturbações estocásticas que influenciam suas dinâmicas ao longo do tempo. Considerando um sistema Hamiltoniano com variáveis angulares e ações, essas variáveis podem ser divididas em grupos que variam lentamente e rapidamente, refletindo a presença de diferentes escalas temporais e ressonâncias internas. A evolução dessas variáveis sob ruído branco Gaussiano é descrita por equações diferenciais estocásticas do tipo Itô, onde as perturbações dependem de parâmetros pequenos de ordem ε.

À medida que o parâmetro ε tende a zero, o sistema converge, no sentido fraco, para um processo de difusão markoviano em dimensão maior, contendo tanto as variáveis de ação lentas quanto as angulares associadas às ressonâncias. O método de média estocástica é empregado para derivar as equações médias, onde os coeficientes de deriva e difusão são obtidos por média temporal ou, devido à ergodicidade do sistema Hamiltoniano na toroidal de dimensão n−α, por média espacial sobre as variáveis angulares rápidas. Isso assegura que as equações médias descrevam a dinâmica lenta efetiva do sistema em termos das variáveis canônicas.

O sistema resultante é governado por uma equação de Fokker-Planck parcial, que regula a evolução da densidade de probabilidade conjunta das variáveis de ação e ângulos ressonantes. Tal equação apresenta condições periódicas nas variáveis angulares, refletindo a natureza cíclica dessas coordenadas, enquanto as condições nas ações dependem das propriedades específicas do sistema e restrições físicas. A matriz de difusão do sistema médio é tipicamente não degenerada, e a dinâmica do fluxo de probabilidade contém apenas fluxo potencial, permitindo soluções estacionárias exatas associadas a potenciais estacionários.

A partir da solução estacionária da equação de Fokker-Planck, é possível reconstruir a densidade de probabilidade aproximada das variáveis generalizadas do sistema original — posições e momentos — por meio de transformações canônicas, utilizando o determinante Jacobiano adequado da mudança de coordenadas. Notavelmente, a transformação das variáveis canônicas de ação e ângulo para as variáveis originais mantém a propriedade canônica, assegurando a consistência da análise.

Um exemplo ilustrativo compreende dois osciladores acoplados por amortecimento não linear e excitados por ruídos brancos Gaussianos independentes, cujo sistema é regido por equações estocásticas com coeficientes de amortecimento e acoplamento de ordem ε. Ao aplicar a transformação para variáveis de ação e ângulo, derivam-se as equações estocásticas para essas variáveis. Dependendo das condições de ressonância interna, a dimensão e forma das equações médias variam. No caso sem ressonância interna, as equações médias assumem uma forma específica, e a solução estacionária da densidade de probabilidade pode ser expressa em termos de um potencial de probabilidade que satisfaz certas equações diferenciais parciais, desde que uma condição de compatibilidade entre os parâmetros seja satisfeita.

Essa estrutura permite analisar a estabilidade estatística do sistema, pois a densidade estacionária reflete a distribuição das ações dos osciladores sob a influência combinada de amortecimento, não linearidade e ruído. A técnica possibilita um entendimento profundo do equilíbrio dinâmico e da resposta estatística em sistemas Hamiltonianos quase-integráveis sob perturbações estocásticas, incluindo a influência de ressonâncias e acoplamentos não lineares.

O conhecimento detalhado dessas nuances amplia a compreensão da complexidade inerente a sistemas Hamiltonianos sob influências aleatórias, fornecendo ferramentas essenciais para o estudo de estabilidade, transições dinâmicas e resposta estatística em uma ampla gama de problemas físicos e de engenharia.