Como o Sistema Hamiltoniano Quase-Integrável com Forças Histeréticas Se Comporta Sob Excitação Estocástica?

A equação básica para o sistema dinâmico descrito é dada por:

$Ÿ(t) + 2ζω̇Y(t) + ω²[Y(t) + λpH(t)] = W(t),$

Além disso, ao introduzir parâmetros adimensionais como $ν$, o modelo começa a revelar diferentes regimes de comportamento. Quando $ν \to 0$, o domínio da solução se degenera, representando o comportamento de um modelo de Jenkins simples. Quando $ν < 1$, o sistema apresenta um limite de escalabilidade, e para $ν = 1$, o comportamento não linear do sistema se torna evidente, com a função de peso cobrindo todo o domínio de $D$. Esse ponto crítico de $ν = 1$ é de particular importância, pois marca a transição entre comportamento linear e não linear.

O sistema exibirá um comportamento linear quando $A < \epsilon^2$, ou seja, quando a amplitude da excitação estocástica não ultrapassar um certo limite. Nesse caso, a força não linear não terá efeito sobre a dinâmica do sistema, e o movimento do sistema pode ser descrito por uma equação simples com coeficientes de amortecimento e rigidez constantes. Contudo, quando a amplitude excede esse limite crítico, a dinâmica se torna quasi-linear, com coeficientes de amortecimento e rigidez que variam com a amplitude ou energia do sistema.

A totalidade da energia do sistema pode ser expressa como:

onde $K(A)$ representa a parte não linear da força restauradora, que depende da amplitude do sistema. Quando o sistema atinge uma amplitude maior que $\epsilon^2$, a energia total não é mais constante e sua evolução deve ser analisada por métodos mais sofisticados, como o método de média estocástica.

Por fim, a equação final para o sistema Hamiltoniano quasi-integrável pode ser escrita de forma compacta como:

Para uma análise mais aprofundada, é importante compreender a relação entre a energia do sistema e suas variáveis dinâmicas, como a amplitude e a velocidade, especialmente quando o sistema é excitado por forças estocásticas. O conceito de média estocástica e de equações de difusão é fundamental para modelar esses sistemas, pois permite aproximar o comportamento do sistema real com precisão suficiente para aplicações práticas em física, engenharia e outros campos.

Controle Estocástico Ótimo em Sistemas Quase-Hamiltonianos Não-Integráveis

No campo do controle estocástico, um dos tópicos centrais é o controle de sistemas não lineares sujeitos a ruído branco gaussiano. O uso de métodos de programação dinâmica estocástica e média estocástica permite que esses sistemas sejam analisados de forma mais eficiente, reduzindo a complexidade computacional e melhorando a capacidade de prever o comportamento dinâmico desses sistemas. Esse tipo de controle é particularmente relevante em sistemas quase-Hamiltonianos não-integráveis, nos quais o comportamento dinâmico é altamente dependente de parâmetros estocásticos.

Quando analisamos a equação reduzida de Fokker-Planck (FPK) associada a equações de Itô para a variável α₁, encontramos uma função de densidade de probabilidade estacionária p(α₁), que depende de vários parâmetros do sistema. Esta função pode ser obtida resolvendo-se a equação FPK, o que resulta numa distribuição que descreve como a variável α₁ evolui ao longo do tempo. O comportamento do sistema é então caracterizado pela distribuição de probabilidade que modela a transição entre os diferentes estados possíveis, com o expoente de Lyapunov máximo λ₁ fornecendo uma medida da estabilidade assintótica do sistema.

A estabilidade assintótica é um conceito fundamental no controle estocástico, pois ela determina a probabilidade de um sistema retornar ao estado de equilíbrio após uma perturbação. Para que o sistema seja assintoticamente estável com probabilidade 1, é necessário que o expoente de Lyapunov seja negativo. Esse tipo de estabilidade garante que a solução trivial do sistema, que representa o estado de equilíbrio, seja alcançada com alta probabilidade após uma perturbação externa.

No entanto, a tarefa de controlar sistemas não lineares estocásticos se torna desafiadora quando ambos os processos, tanto o controlado quanto o não controlado, são processos não gaussianos. Em sistemas lineares sob excitação de ruído branco gaussiano, as equações de programação dinâmica estocástica podem ser resolvidas com precisão. No entanto, quando se trata de sistemas não lineares, a resolução exata dessas equações se torna um problema complexo, especialmente quando a dimensionalidade do sistema é elevada. A combinação de métodos de média estocástica com programação dinâmica estocástica oferece uma solução eficaz, pois permite reduzir a dimensionalidade do problema, transformando-o em um problema de menor complexidade computacional.

Em sistemas quasi-Hamiltonianos controlados, as equações de movimento podem ser expressas em termos de variáveis generalizadas Q e P, que representam as coordenadas e momentos do sistema. As forças de controle são introduzidas para modificar o comportamento dinâmico do sistema, sendo divididas em forças conservativas e dissipativas. As forças conservativas são aquelas que alteram a estrutura do sistema, redistribuindo a energia interna, enquanto as dissipativas são responsáveis por consumir energia, o que ajuda a reduzir a resposta do sistema e a melhorar sua estabilidade.

Um exemplo de aplicação deste método pode ser visto no controle da vibração lateral de um cabo, onde as forças de controle podem ser classificadas como externas ou paramétricas, dependendo de sua dependência das coordenadas e momentos do sistema. As forças externas, que não dependem diretamente das coordenadas e momentos, atuam perpendicularmente ao eixo do cabo, enquanto as forças paramétricas, que dependem das variáveis do sistema, atuam ao longo do eixo do cabo.

Ao aplicar o controle estocástico a sistemas quasi-não-integráveis Hamiltonianos, o problema de controle se torna ainda mais complexo, uma vez que o sistema não possui uma solução geral para a equação de controle. Nesse contexto, o uso de média estocástica permite obter uma equação diferencial estocástica média parcial que descreve o comportamento do sistema de forma mais simples. Embora a solução exata para sistemas não integráveis seja complexa, a aplicação de métodos de média estocástica torna o problema mais tratável e passível de ser resolvido por técnicas de programação dinâmica estocástica.

É importante entender que, além da implementação de técnicas como a média estocástica e a programação dinâmica, o controle estocástico ótimo exige uma compreensão profunda das características do sistema e dos parâmetros que influenciam seu comportamento dinâmico. O controle estocástico ótimo não busca apenas minimizar a resposta do sistema, mas também melhorar sua estabilidade e a eficiência na distribuição de energia interna. O desafio de controlar sistemas não lineares e quasi-Hamiltonianos não integráveis exige uma abordagem multifacetada que combine teoria de controle ótimo, análise estocástica e técnicas computacionais avançadas.