Sob a suposição 4.1, sabemos que todos os autovalores da matriz .H possuem partes reais positivas, como indicado pelo Lema 2.2. A seguir, é apresentado um lema fundamental para o design de controladores nesta seção. Este lema descreve uma propriedade importante para a estrutura das matrizes, particularmente em sistemas de controle de consenso.

Lema 4.1: Para qualquer .H ∈ (N−1)×(N−1) R cujos elementos fora da diagonal sejam menores ou iguais a zero, se todos os autovalores reais de .H são positivos, então existe uma matriz diagonal definida positiva .D = diag(d1, ..., dN−1) > 0 tal que a condição

HTD+DH≥λmIN−1HTD + DH ≥ λm IN−1

é satisfeita, com um constante λm > 0. A prova desse lema é estabelecida pela construção de uma matriz .P = aIN − H que é não negativa, dada a propriedade de que os elementos fora da diagonal de .H são menores ou iguais a zero. A partir disso, a existência de um autovalor de Perron–Frobenius positivo é garantida, levando à conclusão de que a matriz .HTD + DH é definida positiva.

Este resultado tem implicações diretas para o design de controladores que visam estabilizar sistemas com dinâmica distribuída, como no contexto de sistemas de agentes múltiplos. A matriz .H, que pode representar interações entre agentes em um sistema, deve ser cuidadosamente manipulada para garantir a condição de dominância diagonal estrita, o que implica estabilidade no controle.

Exemplo 4.3: No caso específico de uma matriz .H apresentada em um exemplo anterior, observa-se que a condição .HT + H é definida positiva, permitindo a escolha de uma matriz .D escalada como uma matriz identidade, o que facilita o design do controlador. No entanto, em sistemas mais complexos, como a matriz Laplaciana .L do exemplo 4.3, .HT + H não é definida positiva, o que exige a escolha de uma matriz .D específica que satisfaça a condição necessária.

A partir deste ponto, o objetivo é estabelecer um controlador adequado para garantir que o sistema de agentes múltiplos atinja o consenso. A solução para o controle de consenso envolve a consideração de uma matriz .D e a escolha de funções não lineares que assegurem a convergência dos estados do sistema.

Controle Não Linear: O controlador para cada agente é projetado na forma

u1=0,ui+1=−κϕi(si+1),i=1,...,N−1u_1 = 0, \quad u_{i+1} = −κϕ_i(s_{i+1}), \quad i = 1, ..., N−1

onde .κ > 0 é o ganho do controlador e .ϕ_i é uma função não linear que deve ser determinada. Este tipo de estrutura não linear difere da versão linear típica, onde as funções de controle são baseadas apenas nos estados absolutos dos agentes. A função .ϕ_i depende das interações entre os estados relativos dos agentes e suas posições no grafo que descreve o sistema.

O objetivo do design do controlador é selecionar adequadamente o ganho .κ e as funções .ϕ_i para garantir que o sistema atinja consenso. O principal resultado deste estudo é apresentado no Teorema 4.2, que garante que, sob as condições apropriadas para a escolha da matriz .D e as funções .ϕ_i, o sistema de agentes múltiplos atinge o consenso no formato desejado.

Teorema 4.2: Considerando o sistema MAS (Sistema de Agentes Múltiplos) com a rede de interação definida pela equação (4.3) e satisfazendo a suposição 4.1, se o controlador for projetado como descrito na equação (4.32), então o sistema fechado alcançará consenso na forma desejada. O controle não linear é capaz de garantir que as dinâmicas do sistema, descritas por

ζ˙i=as(si+1)−as(sˉ)−κϕi(χi)\dot{ζ}_i = a_s(s_{i+1}) − a_s(s̄) − κϕ_i(χ_i)

converjam para uma solução consensual. O design do controlador depende de um termo de ganho .κ que deve ser suficientemente grande para garantir a estabilidade e a convergência do sistema.

Essa abordagem de controle não linear, ao contrário do controle linear tradicional, permite que os agentes interajam de forma mais flexível e robusta, especialmente em sistemas com dinâmicas mais complexas e não lineares.

Além disso, é importante destacar que o design de controladores em sistemas de agentes múltiplos não é trivial e depende de várias condições, como a escolha apropriada das matrizes de interação e das funções de controle não lineares. A existência de uma matriz .D positiva definida é crucial para garantir que as interações entre os agentes não resultem em instabilidades ou divergências nos estados do sistema.

Em conclusão, a estabilidade e o consenso em sistemas de agentes múltiplos podem ser garantidos por meio do uso de matrizes com autovalores positivos e controladores não lineares cuidadosamente projetados. A análise proposta aqui é essencial para a construção de sistemas robustos em que os agentes possam operar de forma coordenada, sem depender de um controle centralizado. Essa estrutura é particularmente útil em sistemas distribuídos, como redes de sensores, sistemas de veículos autônomos e outros sistemas multi-agente.

Como Atrasos na Comunicação Afetam o Consenso em Sistemas Multi-Agente: Uma Análise de Dinâmica de Primeira Ordem

No contexto de sistemas multi-agentes (MAS), a análise de consenso é fundamental para garantir que todos os agentes em um sistema distribuído cheguem a um acordo sobre um valor comum. No entanto, essa análise é complexificada por diversos fatores, entre os quais se destacam os atrasos de comunicação. A matriz T†\mathbf{T^\dagger}, conforme introduzida na equação (2.28), serve como ferramenta para transformar as coordenadas no contexto da análise de consenso em MAS. Essa transformação resulta nas relações fundamentais que são usadas para abordar problemas de consenso em sistemas com múltiplos agentes. Quando a matriz T†\mathbf{T^\dagger} é aplicada, ela descreve as mudanças no comportamento do sistema como uma função das interações entre os agentes e suas respectivas condições de comunicação.

O sistema descrito na equação (7.10), que envolve dinâmicas de primeira ordem para cada agente i∈Ni \in \mathbb{N}, é dado pela equação s˙i=gi(si,wi)+ui\dot{s}_i = g_i(s_i, w_i) + u_i, onde a função não linear gi(si,wi)g_i(s_i, w_i) deve satisfazer a condição ∣∣∂gi(si,wi)/∂si∣∣≤di|| \partial g_i(s_i, w_i) / \partial s_i || \leq d_i, conforme definido na equação (7.11). O controlador uiu_i necessário para resolver o problema de consenso é derivado a partir da equação (7.12), que ajusta o estado sis_i de cada agente em resposta ao erro de consenso observado entre os agentes.

A presença de atrasos de comunicação, no entanto, altera significativamente o comportamento do sistema. O controlador original (7.12), que não leva em conta atrasos, assume que as informações entre os agentes são trocadas instantaneamente. Quando atrasos são introduzidos, o controlador precisa ser adaptado para lidar com essas novas condições. A equação (7.13) descreve essa adaptação, em que s˙i(t)\dot{s}_i(t) é substituído por si(t−τi)s_i(t - \tau_i), indicando que o estado de cada agente agora depende do valor do estado de outro agente no passado, levando em consideração o atraso de comunicação τi\tau_i.

Quando a comunicação entre os agentes é afetada por atrasos, o consenso que antes seria alcançado rapidamente pode ser comprometido, como ilustrado no exemplo de MAS em Fig. 7.1. Neste exemplo, a introdução de atrasos h2h_2 e h3h_3 entre os agentes 4 e 1, respectivamente, demonstra que o consenso não pode mais ser alcançado com o controlador simples de primeira ordem. Essa falha na convergência para um consenso de estado comum justifica a necessidade de um controlador mais sofisticado que possa lidar adequadamente com a presença de atrasos.

A análise do sistema dinâmico modificado por atrasos leva à formulação de novos critérios de estabilidade e de consenso, como evidenciado pela equivalência demonstrada na equação (7.14), que descreve o comportamento do sistema com atrasos. O controlador modificado, expresso nas equações (7.14) e (7.15), é capaz de adaptar-se à nova configuração do sistema, mas exige condições de solvência refinadas para garantir que o consenso seja alcançado. Essas condições incluem a presença de uma matriz E(s)E(s) que depende dos estados dos agentes e dos atrasos de comunicação, bem como a necessidade de ajustar os parâmetros do controlador de acordo com esses atrasos.

A estabilidade do ponto de equilíbrio ϕ=0\phi = 0 do sistema de subsistemas com atrasos é uma consideração crucial. Para garantir que o sistema permaneça estável, uma definição de estabilidade exponencial é adotada, conforme descrito na definição 7.1. A ideia é que a solução do sistema com atrasos converja de forma exponencial para o estado de equilíbrio ϕ=0\phi = 0 com a introdução de uma função de Lyapunov adequada, como ilustrado nas equações (7.22) e (7.23). Essas funções permitem que o comportamento do sistema seja controlado e ajustado de maneira que o consenso seja alcançado, mesmo na presença de atrasos.

Além disso, para que o MAS alcance o consenso mesmo com atrasos na comunicação, é necessário que o controlador seja projetado de forma a satisfazer as condições de solvência representadas por uma série de desigualdades matriciais lineares (LMIs) descritas no Teorema 7.1. Essas condições garantem que, sob certos ajustes de parâmetros, o sistema seja capaz de alcançar o consenso desejado, mesmo diante de perturbações externas e atrasos nos sinais de comunicação.

Por fim, é importante entender que a introdução de atrasos em sistemas multi-agentes não é um fenômeno isolado, mas ocorre em uma ampla gama de aplicações práticas, como redes de sensores, veículos autônomos e sistemas de controle distribuído. A capacidade de adaptar os controladores para lidar com essas condições de atraso é, portanto, um aspecto essencial para garantir que tais sistemas possam operar de forma eficaz e alcançar os objetivos de consenso, mesmo em cenários reais de comunicação com latência.

O Significado da Árvore e o Dinheiro: Uma Reflexão sobre o Crescimento e a Transitoriedade
Como Manter a Calma e a Clareza em Situações Estressantes: Lições de Grandes Missionários e Técnicas Práticas de Enfrentamento
A Influência Hopewell no Período Woodland: Uma Análise da Cultura e das Redes de Trocas