Decomposições Globais de Sistemas de Controle: O Teorema de Sussmann e Suas Implicações

Em capítulos anteriores, exploramos como distribuições não singulares e involutivas podem induzir decomposições locais do espaço de estados de sistemas de controle, levando à criação de subvariedades de menor dimensão. Esse resultado, embora útil, depende de uma suposição crítica: a dimensão da distribuição precisa ser constante em uma vizinhança ao redor do ponto de interesse. A ideia fundamental por trás dessas decomposições locais é compreender a interação entre as entradas e os estados de um sistema de controle. Contudo, quando se busca uma análise mais ampla e global, é necessário abordar os problemas de maneira diferente, removendo a exigência de que a distribuição seja não singular e obtendo decomposições que têm validade global. Neste contexto, o espaço de estados é considerado uma variedade diferenciável N, o que nos permite uma abordagem mais generalizada.

Vamos definir uma distribuição $A$ sobre uma variedade $N$. Um subespaço $S \subseteq N$ é dito ser um subespaço integral da distribuição $A$ se, para cada ponto $p \in S$, o espaço tangente $T_pS$ coincide com o subespaço $A(p)$ do espaço tangente de $N$. O conceito de uma subvariedade integral máxima de $A$ é definido como aquela que é conexa e que, qualquer outra subvariedade integral de $A$ que a contenha, coincide com ela. A partir dessa definição, podemos afirmar que qualquer duas subvariedades integrais máximas de $A$ que passem por um ponto $p$ devem coincidir, o que nos leva à noção de que uma distribuição $A$ possui a propriedade de subvariedades integrais máximas. Isso significa que, para cada ponto $p \in N$, existe uma subvariedade integral máxima de A$ que passa por \( p, gerando uma partição global de $N$ em subvariedades integrais máximas de $A$.

Essa noção de decomposição global reflete uma versão global da integrabilidade completa de uma distribuição. Uma distribuição não singular e completamente integrável possui a propriedade de que, para cada ponto $p$, existe uma vizinhança $U$ de $p$ onde a distribuição restrita a $U$ tem a propriedade das subvariedades integrais máximas. Vale ressaltar que, em contraste com as decomposições locais, as partições globais geradas por distribuições com a propriedade das subvariedades integrais máximas são compostas por subvariedades imersas, ao contrário das subvariedades embutidas observadas nas decomposições locais.

Um exemplo elucidativo da diferença entre decomposições locais e globais pode ser visto no caso da distribuição $A$ definida no plano $\mathbb{R}^2$, onde a dimensão da distribuição depende da posição no plano. Quando se considera a distribuição $A$ com a propriedade de subvariedades integrais máximas, observa-se que subvariedades que passam por um ponto singular, como $(0, c)$, não são mais submanifolds integrais. Isso ilustra a diferença crucial entre os comportamentos local e global em sistemas de controle: enquanto localmente podemos encontrar partições do espaço de estados com subvariedades embutidas, globalmente, essas subvariedades podem ser apenas imersas, sem a possibilidade de embutir-se em uma vizinhança coordenada.

Para a teoria de decomposições globais de sistemas de controle, o Teorema de Sussmann estabelece a condição necessária e suficiente para que uma distribuição tenha a propriedade das subvariedades integrais máximas. O teorema afirma que uma distribuição $A$ possui essa propriedade se e somente se, para todo vetor campo $r \in A$ e para todo par $(t, p) \in \mathbb{R} \times N$, a derivada do fluxo de $r$ em $p$ mapeia o subespaço $A(p)$ no subespaço $A(\varphi_t(p))$, onde $\varphi_t(p)$ é o fluxo de $r$ em $p$. A compreensão intuitiva desse teorema está no fato de que, para uma subvariedade integral $S$ de $A$ que passa por um ponto $p$, qualquer ponto de $N$ alcançável pelo fluxo de um vetor campo de $A$ a partir de $p$ deve também pertencer a $S$.

É fundamental compreender que, enquanto o teorema de Sussmann oferece uma condição necessária e suficiente para a decomposição global, a estrutura das subvariedades integrais máximas pode ser bastante complexa. Em particular, a noção de imersão de submanifolds, ao contrário da embutida, torna evidente que, em muitos casos, as subvariedades globais podem ter uma topologia densa e não podem ser tratadas como fatias coordenadas simples. Em sistemas de controle reais, isso implica que, embora a análise local forneça uma compreensão direta das interações do sistema, a análise global pode revelar comportamentos e complexidades adicionais que exigem uma abordagem mais cuidadosa e abrangente.

Como a Estabilidade no Controle Não Interativo é Garantida por Feedback Dinâmico

O conceito de controle não interativo com estabilidade via feedback dinâmico se baseia na análise da dinâmica de sistemas e na forma como suas trajetórias se comportam sob a ação de diferentes estratégias de controle. Um dos pilares dessa teoria é a consideração das variedades invariantes do sistema, que são subconjuntos do espaço de estados nos quais o sistema permanece ao longo do tempo. Essas variedades fornecem uma estrutura crucial para garantir a estabilidade e a independência dos componentes do sistema quando submetidos a um controle específico.

Em um sistema dinâmico, a configuração do espaço de estados é definida por um conjunto de coordenadas, que representam a evolução do sistema ao longo do tempo. Quando essas coordenadas são zero, exceto em um componente específico, obtém-se o que é denominado de "manifold invariante". Este é o caso da manifold $L^*$, que é a máxima subvariedade integral do campo vetorial $Z_{lmix}$ contendo o ponto $x = 0$. Quando o sistema é restrito a essa manifold, as equações dinâmicas se tornam uma versão simplificada do comportamento global do sistema, permitindo uma análise focada nas dinâmicas mais relevantes.

A restrição do sistema dinâmico $f(x)$ à manifold invariante $L^*$ é de fundamental importância. Quando se deseja resolver o problema de controle não interativo com estabilidade, é necessário que a evolução do sistema, restrita a essa manifold, seja assintoticamente estável na aproximação de primeira ordem, no ponto de equilíbrio $x = 0$. Este é um dos critérios essenciais para garantir que o sistema não apenas permaneça estável, mas também que as interações entre seus componentes sejam controladas de forma eficiente.

O teorema que fundamenta essa solução é claro: para que o problema de controle não interativo seja resolvido com estabilidade via feedback dinâmico, a restrição do campo vetorial $f(x)$ à manifold $L^*$ deve ser assintoticamente estável em uma primeira aproximação. Isso significa que as trajetórias do sistema, quando projetadas sobre essa manifold, devem convergir para o ponto de equilíbrio $x = 0$, sem oscilações ou desvios indesejados, mesmo quando sujeitos a perturbações externas ou variações nos parâmetros do sistema.

A necessidade de estabilidade na aproximação de