Como a Média Estocástica Influencia Sistemas Hamiltonianos Quasi-Integráveis Excitados por Ruídos Harmônicos Aleatórios

A equação (1.236) define uma transformação entre os sistemas $\varphi$ e $\Delta$, que nos permite derivar a equação diferencial estocástica de Itô (SDE) apresentada em (1.237). Esta formulação descreve a evolução de duas variáveis, $A(t)$ e $\Delta(t)$, que representam processos de variação lenta. A partir dessa base, a aplicação do teorema de Khasminskii (1968) indica que o vetor de processos $[A, \Delta]^T$ converge, à medida que $\epsilon \to 0$, para um processo de difusão Markoviano bidimensional fraco. Isso sugere uma transição do comportamento caótico para um regime mais controlado e previsível.

Com essas médias, podemos ainda desenvolver a equação de Fokker-Planck associada (1.240), que fornece a descrição da evolução probabilística do sistema. O primeiro passo para a resolução dessa equação é compreender os momentos das primeiras derivadas das funções $m_1$ e $m_2$, que são fundamentais para determinar a distribuição estacionária do sistema. Essa distribuição é dada pela equação (1.242), que descreve o comportamento do sistema quando o tempo se aproxima do infinito, e a condição de contorno periódico para a variável $\delta$ está estabelecida pela equação (1.244).

A solução da equação de Fokker-Planck (1.240) leva à obtenção da distribuição de probabilidade estacionária $p(a, \delta)$, que, como mostrado na Figura 1.42, exibe dois picos que indicam a ocorrência de saltos aleatórios. A comparação com simulações de Monte Carlo confirmam a ocorrência desses saltos, revelando a complexidade do comportamento dinâmico quando a excitação estocástica se torna significativa.

No contexto de ressonâncias internas e externas, os ruídos podem causar transições de regime ou mudanças bruscas no comportamento dinâmico do sistema. As equações (1.255) e (1.256) detalham como os ruídos podem interagir com as frequências naturais dos subsistemas e provocar ressonâncias que alteram o comportamento do sistema de maneiras complexas. A análise dessas ressonâncias é fundamental para entender o impacto dos ruídos e prever possíveis bifurcações ou saltos estocásticos, como mostrado nas simulações e exemplos discutidos.

Em sistemas com múltiplos graus de liberdade, como o sistema (1.248), a introdução dos ruídos pode causar não apenas ressonâncias externas, mas também interações não lineares entre as diferentes variáveis. Isso exige um tratamento mais cuidadoso da evolução temporal das variáveis e da definição dos coeficientes de deriva e difusão, conforme descrito nas equações médias (1.253) e (1.258). O estudo dessas interações é crucial para entender o comportamento de sistemas excitados por ruídos harmônicos estocásticos e suas transições de fase.

Essas equações e métodos fornecem uma ferramenta poderosa para modelar sistemas dinâmicos sujeitos a excitação estocástica, permitindo a previsão de comportamentos complexos como saltos aleatórios e bifurcações. A média estocástica, ao suavizar as flutuações rápidas, revela a dinâmica subjacente dos sistemas e oferece uma visão mais clara de como as perturbações externas podem afetar o comportamento global do sistema.

Como os Sistemas Hamiltonianos Generalizados Quase-Integráveis Influenciam os Modelos Estocásticos

Nos sistemas dinâmicos estocásticos, a forma como as variáveis de estado se comportam pode ser descrita por equações diferenciais que envolvem tanto derivações quanto difusões. Esses sistemas complexos podem ser tratados com métodos que simplificam suas descrições e revelam comportamentos de longo prazo, como a média estocástica. O estudo dos sistemas Hamiltonianos quase-integráveis é uma das abordagens mais poderosas para entender tais sistemas, especialmente quando combinados com métodos de média estocástica.

Um sistema Hamiltoniano descreve a dinâmica de um sistema físico em termos de suas variáveis de energia, como a posição e o momento. Quando esses sistemas são submetidos a ruídos estocásticos, os coeficientes de deriva e difusão são fundamentais para determinar como as flutuações afetam a evolução temporal das variáveis. No caso de sistemas quase-integráveis, algumas das equações diferenciais podem ser aproximadas usando métodos de média estocástica, simplificando a análise sem perder a precisão dos resultados.

Os sistemas quase-integráveis são aqueles que, apesar de não possuírem uma solução exata para todas as suas variáveis dinâmicas, podem ser tratados com métodos que aproximam suas soluções para casos de interesse. Em particular, em sistemas estocásticos, as variáveis que evoluem de forma estocástica podem ser descritas com equações de Fokker-Planck médias, levando em consideração a influência de termos não-lineares e de flutuações externas.

É importante notar que, ao tratar esses sistemas, a equação de Fokker-Planck associada ao sistema estocástico de Itô toma uma forma simplificada, mas sua solução apresenta dependências intricadas dos parâmetros do sistema, como os momentos de ordem superior das variáveis dinâmicas. A modificação dos momentos de primeira e segunda ordem é uma consequência direta das flutuações que ocorrem no sistema, que podem ser bem modeladas por esses métodos.

Em sistemas multi-dimensionais não-lineares sujeitos a ruídos brancos gaussianos, as equações de movimento podem se tornar altamente complexas, envolvendo termos que dependem de várias variáveis e seus derivados. No entanto, essas equações podem ser reduzidas para uma forma mais simples através de transformações estocásticas que consideram a presença de ruídos e a interação não-linear entre as variáveis do sistema. O tratamento dessas equações por métodos de média estocástica resulta na obtenção de uma distribuição estacionária para as variáveis do sistema, que é de grande interesse em diversos campos da física e da engenharia.

A solução estocástica de tais sistemas permite calcular a função de distribuição de probabilidade estacionária do sistema original, o que é crucial para a previsão do comportamento do sistema a longo prazo. A técnica de médias estocásticas facilita essa tarefa, fornecendo uma maneira eficiente de calcular essa distribuição sem precisar resolver diretamente as equações diferenciais não-lineares originais. Assim, esses modelos se tornam indispensáveis para o estudo de sistemas físicos e engenharia que envolvem ruído e perturbações externas, permitindo avanços na compreensão e controle de tais sistemas.

Além disso, ao estudar sistemas generalizados quase-integráveis, é importante entender que, apesar de suas soluções serem aproximadas, elas oferecem uma visão robusta e prática do comportamento do sistema sob condições estocásticas. Esses métodos não apenas simplificam o modelo, mas também permitem que o analista foque nos aspectos mais relevantes das dinâmicas estocásticas, sem se perder nos detalhes matemáticos complicados que não são críticos para as observações práticas.

Transformação Conformacional de Biomacromoléculas Sob Perturbações Térmicas

A transformação conformacional de biomacromoléculas tem sido tradicionalmente modelada de forma determinística (Mezić, 2006a, b). Contudo, na realidade, uma biomacromolécula possui milhares de graus de liberdade (DOFs) e exibe uma alta não linearidade. Sabe-se que essas moléculas estão constantemente sujeitas a colisões com moléculas ao redor (correspondendo ao ruído térmico) e a perturbações térmicas. Uma variável crucial nesse processo é a temperatura, que desempenha um papel significativo na transformação conformacional das biomacromoléculas. Estudos indicam que a transformação conformacional dessas moléculas é, na realidade, um processo estocástico (Ebeling et al., 2003). Este capítulo aplica métodos de média estocástica para sistemas quasi-Hamiltonianos a fim de investigar a dinâmica da transformação conformacional de biomacromoléculas sob perturbações térmicas, com base em pesquisas anteriores.

Modelo e Movimento da Transformação Conformacional

A interação entre os pêndulos adjacentes é governada pela energia potencial de torção elástica, e a energia potencial de Morse gera forças atrativas ou repulsivas entre os pêndulos no suporte superior. As equações de movimento para os pêndulos são dadas por:

$m h^2 \ddot{\theta_i} = D_b \left[ \exp \left( -a_d \left( h(1 - \cos \theta_i) - x_0 \right) \right) - 1 \right] \exp \left( -a_d \left( h(1 - \cos \theta_i) - x_0 \right) \right) \sin \theta_i + k \left( \theta_{i+1} - 2\theta_i + \theta_{i-1} \right)$

Ao considerar $N = 1$ no sistema, as curvas equipotenciais do modelo revelam dois mínimos locais simétricos em torno da posição instável $\theta_1 = \pi$, com o movimento entre os poços de potencial ocorrendo por meio da passagem por esse ponto. Para $N > 1$, se cada pêndulo permanecer em um poço de potencial, isso corresponde a uma conformação estável da biomacromolécula.

Dinâmica Estocástica da Transformação Conformacional

As forças aleatórias que agem sobre as biomacromoléculas surgem principalmente de colisões com moléculas ambientais e flutuações térmicas. A dinâmica estocástica da transformação conformacional sob forças aleatórias é descrita por um sistema de equações diferenciais estocásticas. Para facilitar a análise, considera-se a massa dos pêndulos igual a $m = 1$ e introduzem-se os parâmetros $L$ e $S$, com: