O design feedforward é uma abordagem proposta para sistemas multiagentes heterogêneos não lineares, expressos na forma normal (2.16), que pode ser reformulada da seguinte maneira:

x˙i=Φixi+Ψifi(xi)+Ψiuiyi=Γixi,i∈N.\dot{x}_i = \Phi_i x_i + \Psi_i f_i(x_i) + \Psi_i u_i \quad y_i = \Gamma_i x_i, \quad i \in N.

Aqui, fi(xi)f_i(x_i) representa uma função não linear assumida como suficientemente suave, e o grau relativo do agente ii é denotado por rir_i. O conceito central por trás do design feedforward é alinhar as saídas dos agentes com as de modelos de referência para alcançar a sincronização, enquanto os modelos de referência atingem consenso. Esse processo utiliza um controlador feedforward que emprega o modelo dinâmico de um agente para calcular o controle necessário, orientando o agente em direção à trajetória de saída desejada, definida por seu modelo de referência.

Para regular efetivamente um agente, é crucial ter acesso à saída do agente e suas derivadas até uma determinada ordem, conforme especificado pelo modelo de referência. Assim, o primeiro objetivo deste design é desenvolver um modelo de referência com uma saída suficientemente diferenciável. Esse objetivo se baseia em um protocolo de consenso ampliado baseado em comunicação de saída, conforme descrito na Seção 11.1.

Nesse contexto, um modelo de referência representa a dinâmica interna de um controlador para cada agente. Assim, as saídas desses modelos de referência são consideradas como os estados internos dos agentes, que não estão disponíveis ou não são transmitidos pela rede de comunicação de saída. Ao contrário, as saídas reais transmitidas pela rede são as dos agentes, conforme especificado em (11.1). Essa diferença gera um problema de consenso perturbado, estudado em detalhes na Seção 11.2. Após resolver o problema de consenso perturbado entre os modelos de referência, o passo final consiste na aplicação de controladores de regulação feedforward para alinhar as saídas dos agentes com as dos modelos de referência. Uma vez que a regulação é alcançada, o consenso perturbado entre os modelos de referência transita para o consenso simultaneamente. Como resultado, o problema de sincronização é resolvido, conforme detalhado na Seção 11.3.

A propriedade de um grau relativo suficientemente alto, conforme discutido na Seção 11.1, facilita a abordagem feedforward para projetar um controlador de sincronização descentralizado. Este design é notavelmente simples, pois pode ser completado de forma independente para cada agente.

Modelo de Referência de Alto Grau Relativo

Começamos com um modelo de referência de dinâmica dada por (3.43). Para clareza, as equações são reiteradas abaixo:

s˙i=Assi+Bsμiqi=Cssi,i∈N.\dot{s}_i = A_s s_i + B_s \mu_i \quad q_i = C_s s_i, \quad i \in N.

Aqui, μi\mu_i representa a entrada de controle para o agente ii, que é determinada pelo controlador de comunicação de saída μi=Kξi\mu_i = K \xi_i, e a dinâmica do agente é dada por ξ˙i=Aξξi−Lqi\dot{\xi}_i = A_{\xi} \xi_i - L q_i. O sistema de malha fechada composto por (11.2) e (11.3) é equivalente a:

∑σ˙i=Aσσi−BσCσaij(σi−σj),qi=Cσσi,i∈N.\sum \dot{\sigma}_i = A_\sigma \sigma_i - B_\sigma C_\sigma a_{ij} (\sigma_i - \sigma_j), \quad q_i = C_\sigma \sigma_i, \quad i \in N.

O modelo de referência pode ser colocado de forma compacta como segue:

σ˙=(IN⊗Aσ−L⊗BσCσ)σ.\dot{\sigma} = (I_N \otimes A_\sigma - L \otimes B_\sigma C_\sigma) \sigma.

O desenvolvimento apresentado reflete o descrito na Seção 3.3, com uma notável semelhança estrutural entre as equações (3.54) e (11.6). A condição suficiente para o consenso em (3.54) é abordada no Teorema 3.5. Agora, exploramos o design de um controlador de consenso estendido para garantir a diferenciabilidade suficiente da saída qi(t)q_i(t).

A derivada de qi(t)q_i(t) pode ser calculada como segue:

q˙i=CσAσσi−CσBσCσaij(σi−σj).\dot{q}_i = C_\sigma A_\sigma \sigma_i - C_\sigma B_\sigma C_\sigma a_{ij} (\sigma_i - \sigma_j).

Se CσBσ=0C_\sigma B_\sigma = 0, a segunda derivada de qi(t)q_i(t) é dada por:

q¨i=CσAσ2σi−CσAσBσCσaij(σi−σj).\ddot{q}_i = C_\sigma A_\sigma^2 \sigma_i - C_\sigma A_\sigma B_\sigma C_\sigma a_{ij} (\sigma_i - \sigma_j).

Entretanto, se CσBσ≠0C_\sigma B_\sigma \neq 0, então a segunda derivada de qi(t)q_i(t) depende da derivada de σj(t)\sigma_j(t) de outro agente jj, que geralmente é inacessível. Para calcular a derivada de ordem superior de qi(t)q_i(t) sem acessar a entrada da rede σj\sigma_j, é necessário que CσAkσBσ=0C_\sigma A_k \sigma B_\sigma = 0 para um valor suficientemente grande de kk. Isso implica que o modelo de referência (11.4) deve ter um grau relativo suficientemente alto entre a saída qiq_i e a entrada de rede.

Além disso, surge um requisito adicional de design: para um valor especificado de k∗k^*, deve-se garantir que:

CσAkσBσ=0,k=0,…,k∗−1.C_\sigma A_k \sigma B_\sigma = 0, \quad k = 0, \ldots, k^* - 1.

Esse requisito é essencial para o desenvolvimento de um controlador feedforward que possa garantir a sincronização eficiente dos agentes.

Em termos técnicos, as matrizes AσA_\sigma, BσB_\sigma, e CσC_\sigma devem satisfazer a condição para qualquer k∗≥1k^* \geq 1:

CσAkσBσ=0,k=0,…,k∗−1.C_\sigma A_k \sigma B_\sigma = 0, \quad k = 0, \ldots, k^* - 1.

Isso exige uma construção cuidadosa dos parâmetros AξA_\xi, KK e LL para garantir tanto o consenso conforme um padrão especificado quanto a diferenciabilidade suficiente das saídas.

O Teorema 11.1 oferece diretrizes explícitas para projetar esses parâmetros de maneira que o modelo de referência atinja consenso no padrão desejado, assegurando, ao mesmo tempo, que as condições de diferenciabilidade necessárias sejam atendidas.

Como Garantir a Sincronização de Saídas em Sistemas Multiexperimentais: Teoria e Aplicações

A sincronização de saídas em sistemas de agentes múltiplos é um dos desafios mais profundos e complexos no campo do controle. Modelos que envolvem múltiplos agentes e variáveis dinâmicas dependem de estratégias de controle altamente especializadas para garantir que as saídas dos agentes se alinhem de forma eficiente, mesmo diante de incertezas ou mudanças no ambiente externo. O processo de alcançar a sincronização ideal, especialmente em sistemas com dinâmicas não lineares ou variáveis perturbadoras, exige o entendimento profundo das teorias de controle e, mais especificamente, o uso do princípio do modelo interno (Internal Model Principle), que garante que o sistema seja capaz de lidar com essas incertezas e garantir a estabilidade desejada.

A base para o controle de sistemas dinâmicos não lineares pode ser construída sobre a ideia de um controlador de regulação, que atua independentemente do modelo de referência. Em sistemas como os descritos na equação (12.2), a sincronização de saída é alcançada por meio do controlador de regulação descrito na equação (12.4), sem a necessidade de modificar o modelo de referência diretamente. O papel fundamental do controlador de regulação é garantir que as variáveis de saída, representadas por qiq_i (saídas do modelo de referência) e yy (saídas dos sistemas de agentes), se alinhem de forma precisa, mesmo com pequenas variações nas condições de operação. No caso do exemplo ilustrado na figura 12.4, onde o controlador de regulação é aplicado, é possível observar que a sincronização é alcançada com sucesso, reafirmando a eficácia dessa técnica.

Uma das questões cruciais ao lidar com sistemas multiexperimentais envolve o conceito de estabilização de entrada para estado (Input-to-State Stabilization, ou ISS). Este conceito é aplicado a sistemas que são afetados por incertezas e perturbações externas, representadas pelos conjuntos compactos WW e DD. A questão principal aqui é garantir que, mesmo diante dessas incertezas, o sistema se mantenha estável e capaz de atingir o objetivo desejado de sincronização. Para sistemas com dinâmica instável ou marginalmente estável, a escolha adequada de funções de Lyapunov, como a descrita na suposição 12.4, é fundamental para garantir a estabilidade global do sistema.

A suposição de que existe uma função quadrática de Lyapunov Vz(z0)=z0TS0z0V_z(z_0) = z_0^T S_0 z_0 com uma matriz S0>0S_0 > 0 positiva definida e cuja derivada ao longo da trajetória do sistema satisfaça a desigualdade V˙z(z0)≤−α0(∣∣z0∣∣)+σ0(∣∣z1∣∣)\dot{V}_z(z_0) \leq - \alpha_0(||z_0||) + \sigma_0(||z_1||) é crucial para entender como o sistema pode lidar com os efeitos das incertezas. Essa suposição assegura que o sistema é capaz de se estabilizar mesmo quando perturbado por distúrbios externos, como os representados por μ\mu.

Além disso, a introdução do controlador ustbu_{stb}, baseado na técnica de backstepping, permite construir um controlador que estabiliza o sistema de forma recursiva. Esse controlador depende de funções de ganho suave ρk\rho_k, que são projetadas de acordo com o método de backstepping. Como demonstrado na equação (12.29), essas funções garantem a estabilidade do sistema em cada estágio do controle, alcançando a sincronização desejada em todos os agentes. A estrutura do controlador é semelhante ao controlador convencional, mas com uma abordagem mais sofisticada para lidar com sistemas mais complexos.

Para sistemas com múltiplas variáveis dinâmicas, como os descritos nas equações (12.30) e (12.31), a construção de funções de Lyapunov para cada subsistema é um passo essencial. A prova por indução das funções de Lyapunov garante que, à medida que o sistema evolui de k−1k-1 para kk, a estabilidade e a sincronização são mantidas. Essa abordagem permite lidar com os efeitos das perturbações externas e a interação entre os subsistemas de forma eficaz. A utilização das funções χk\chi_k, que combinam os estados do sistema, oferece uma maneira de representar o sistema de forma global e lidar com as interações entre os agentes de maneira eficiente.

O controle de sistemas multiexperimentais é, portanto, um processo intrincado que exige a consideração cuidadosa de várias técnicas de controle avançadas, como a estabilização de entrada para estado, o uso de funções de Lyapunov e o design de controladores recursivos baseados em backstepping. Esses métodos não apenas garantem a sincronização desejada entre as saídas dos sistemas de agentes, mas também oferecem uma maneira robusta de lidar com as incertezas e as perturbações externas que são comuns em sistemas dinâmicos complexos.

Além disso, é importante destacar que a eficácia do controlador de regulação e das técnicas de estabilização depende fortemente da correta modelagem e análise das dinâmicas do sistema. O comportamento do sistema pode variar dependendo das escolhas dos parâmetros do controlador e das condições externas. Assim, é essencial que o projetista de controle tenha uma compreensão detalhada dos modelos dinâmicos envolvidos, das incertezas possíveis e das estratégias de controle que podem ser implementadas para garantir a estabilidade e a sincronização desejadas. Além disso, a adaptabilidade do controlador, a sua capacidade de se ajustar a novas condições operacionais ou a mudanças nos parâmetros do sistema, é um fator determinante para a performance a longo prazo do sistema de controle.

Como Excluir o Comportamento Zeno em Mecanismos de Controle com Gatilho de Evento em Sistemas Multiagente

O controle baseado em eventos, como proposto para sistemas dinâmicos e Multiagentes (MAS), tornou-se uma estratégia importante para otimizar o uso de recursos computacionais e a comunicação entre os agentes. Através de um mecanismo de gatilho de evento, os agentes ajustam suas ações de controle apenas quando determinados eventos são acionados, ao invés de atualizar continuamente suas decisões. No entanto, esse tipo de controle levanta desafios, especialmente no que se refere à exclusão do comportamento Zeno, uma situação indesejável em que os eventos são disparados em intervalos infinitesimais, levando a uma execução excessivamente fragmentada e instável do sistema.

O Teorema 15.2 propõe um sistema de controle com gatilho de evento e a função de controle .γ, que é localmente Lipschitz, sendo uma classe de funções .K∞, com a função .γsmp satisfazendo a condição .γ(γsmp(τ)) = cτ, com 0 < c < 1. A partir dessa condição, a mecânica de gatilho de evento é expressa pela equação (15.29), onde o evento ocorre quando a diferença entre os valores de .w(t) e .q(t) ultrapassa um determinado limite, garantindo que o controle seja ajustado somente quando necessário.

Adicionalmente, o teorema garante que o comportamento Zeno é excluído quando a condição (15.30) é atendida. Esta condição implica que a diferença entre os tempos de disparo de eventos consecutivos não pode ser infinitesimal, evitando assim a ocorrência de eventos em intervalos de tempo cada vez menores. A chave para a exclusão de Zeno é garantir que a função .γ, que define o mecanismo de gatilho de evento, seja suficientemente bem comportada para manter uma distância mínima entre os tempos de disparo consecutivos.

Quando a função .γsmp é adotada, a função γ(γsmp(||q[0,t]||)) é mantida abaixo do valor de ||q[0,t]||, o que implica que as distâncias entre os estados dos agentes continuam dentro de limites razoáveis e o sistema não se aproxima da singularidade. A partir da equação (15.32), é possível garantir que os estados .q(t) e .φ(t) do sistema sejam limitados, sem que se verifique uma progressão para valores infinitesimais que possam indicar um comportamento Zeno.

Por exemplo, a análise do comportamento do sistema sob essas condições foi feita utilizando uma função .γsmp(τ) simplificada, com o valor .γsmp(τ) = 0.07τ. Nesse caso, foi observado que, mesmo com essa simplificação, os agentes sincronizaram-se adequadamente e seguiram o padrão sinusoidal desejado, como mostrado nas Figuras 15.5 e 15.6. Em contraste, quando a função .γsmp foi aumentada para .γsmp(τ) = 0.08τ, os eventos passaram a ser disparados com menos frequência, o que dificultou a sincronização entre os agentes, como ilustrado na Figura 15.8.

É importante destacar que, ao projetar um controlador baseado em eventos, a escolha da função .γsmp é crítica. Se .γsmp for muito grande, pode ocorrer uma falha na ativação frequente dos eventos, o que pode impedir que o sistema se estabilize de forma eficiente. Por outro lado, se for muito pequena, pode haver uma sobrecarga de eventos, o que também não é desejável.

Portanto, a configuração do gatilho de evento deve ser cuidadosamente ajustada para equilibrar a frequência de atualizações e a estabilidade do sistema. O comportamento do sistema, incluindo a exclusão do comportamento Zeno, depende fortemente dessa configuração, que deve garantir que a função .γ seja adequada para o cenário específico em que o sistema opera.

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