Como Resolver Equações Diferenciais de Primeira Ordem: Exemplos e Teoremas

O teorema da existência e unicidade fornece um guia crucial para determinar a viabilidade das soluções. Se uma função real $f(x, y)$ é contínua em um retângulo no plano $xy$, contendo o ponto $(a, b)$ no interior, então o problema de valor inicial dado por

terá pelo menos uma solução no intervalo aberto $I$ que contém $x = a$. Adicionalmente, se a derivada parcial de $f$ em relação a $y$, denotada por $\frac{\partial f}{\partial y}$, também for contínua nesse retângulo, então a solução será única em um intervalo aberto $I_0$ que contém $x = a$.

Porém, se alterarmos a condição inicial para $y(0) = 0$, vemos que $f_y$ não é contínua em torno de $(0, 0)$, resultando na inexistência de uma solução única. Nesse caso, podemos encontrar duas soluções diferentes, como $y_1(x) = x^{3/2}$ e $y_2(x) = (x - 1)^{3/2}$ para $x \geq 1$, cada uma válida em intervalos diferentes.

Exemplo 1.2.7: Taxa de Juros

Um banco paga uma taxa de juros $r$ sobre o saldo de uma conta, ao mesmo tempo que uma quantia $P$ é retirada anualmente. A variação do saldo da conta $x(t)$ é governada pela equação diferencial:

A solução dessa equação, dado o depósito inicial $x(0)$, é:

Exemplo 1.2.8: Fluxo Estacionário de Calor

Em um fluxo estacionário de calor, a transferência de calor entre duas superfícies a diferentes temperaturas é descrita pela equação diferencial:

É essencial que o leitor compreenda que as equações diferenciais, mesmo em contextos aparentemente simples como o de uma conta bancária ou do fluxo de calor, têm uma profundidade significativa na modelagem de fenômenos naturais e artificiais. A compreensão das condições de existência e unicidade das soluções é fundamental para a correta interpretação dos resultados obtidos a partir dessas equações. Além disso, a seleção adequada das condições iniciais e de contorno pode alterar drasticamente as soluções, refletindo a importância da precisão na formulação dos problemas matemáticos.

Como Resolver Equações Diferenciais de Primeira Ordem: Exemplos e Aplicações

As equações diferenciais de primeira ordem surgem em muitos campos da engenharia e da física, desde a análise de circuitos elétricos até o estudo do movimento de partículas. A solução dessas equações pode ser feita de várias maneiras, e o comportamento das soluções pode revelar muito sobre o sistema em questão. Vamos ilustrar o processo de resolução dessas equações com alguns exemplos práticos, começando pela utilização do software MATLAB.

Para resolver uma equação diferencial de primeira ordem, podemos usar a ferramenta simbólica do MATLAB, que permite expressar a solução de forma simbólica e, em seguida, transformá-la em um código executável. Por exemplo, a equação $x \cdot \frac{dy}{dx} - y = 4x \cdot \ln(x)$ pode ser resolvida com o seguinte código:

matlab
Copy code
clear

y = dsolve('x*Dy-y=4*x*log(x)', 'y(1) = c', 'x');
solution = inline(vectorize(y), 'x', 'c');
close all;
axes;
hold on;
x = 0.1:0.1:2;
for c = -2:4
    if (c==-2)
        plot(x, solution(x, c), '.');
    end
    if (c==-1)
        plot(x, solution(x, c), 'o');
    end
    if (c==0)
        plot(x, solution(x, c), 'x');
    end
    if (c==1)
        plot(x, solution(x, c), '+');
    end
    if (c==2)
        plot(x, solution(x, c), '*');
    end
    if (c==3)
        plot(x, solution(x, c), 's');
    end
    if (c==4)
        plot(x, solution(x, c), 'd');
    end
end
axis tight
xlabel('x', 'Fontsize', 20);
ylabel('y', 'Fontsize', 20);
legend('c = -2', 'c = -1', 'c = 0', 'c = 1', 'c = 2', 'c = 3', 'c = 4');
legend boxoff

Este código resolve a equação diferencial simbólica e gera gráficos para diversas condições iniciais de $y(1) = c$, onde $c$ varia de -2 a 4. Ao observar os gráficos, podemos notar que, à medida que $x \to 0$, todas as soluções se comportam de maneira similar, aproximando-se de $2x \ln(x)$, o que indica que a solução tem um comportamento assintótico nesse limite.

Outro exemplo clássico de equação diferencial de primeira ordem envolve circuitos elétricos, como os que contêm resistores, indutores e capacitores. A lei de Kirchhoff, que afirma que a soma algébrica das quedas de tensão em um circuito fechado é zero, nos leva a equações diferenciais que descrevem a dinâmica de correntes e tensões. Por exemplo, em um circuito com um resistor e um indutor, a equação diferencial que governa o sistema pode ser escrita como:

Aqui, $L$ é a indutância do indutor, $R$ é a resistência do resistor, $I$ é a corrente no circuito e $E$ é a força eletromotriz constante. A solução dessa equação nos fornece a corrente $I(t)$ no tempo, que pode ser expressa como:

Esta solução revela que, no início, a corrente aumenta rapidamente, mas à medida que o tempo passa, o crescimento desacelera, aproximando-se de um valor constante. A solução pode ser dividida em duas partes: uma solução transitória (que diminui com o tempo) e uma solução estacionária (que permanece constante).

Em outros casos, como circuitos com resistores e capacitores, a equação diferencial se torna:

onde $Q$ é a carga instantânea no capacitor, $R$ é a resistência e $C$ é a capacitância. Quando a força eletromotriz $E$ é uma função do tempo, como $E_0 \cos(\omega t)$, a solução para a carga $Q(t)$ pode ser encontrada usando o fator integrador. A solução final leva em consideração tanto a resposta transitória quanto a solução estacionária, que é uma função oscilatória com uma frequência determinada pelas características do circuito.

Esses exemplos ilustram a importância de entender as condições iniciais e os parâmetros do sistema ao resolver equações diferenciais. As soluções podem ter comportamentos bastante distintos dependendo da natureza da equação e dos valores dos parâmetros. Além disso, é fundamental entender que, em sistemas reais, a presença de não linearidades pode modificar de maneira significativa a resposta do sistema, o que exige uma análise cuidadosa das equações e suas soluções.

A resolução de equações diferenciais de primeira ordem não se limita a situações teóricas. Elas são aplicadas em uma vasta gama de problemas práticos, desde o estudo de circuitos elétricos até a modelagem de processos dinâmicos em sistemas físicos e biológicos. Ao resolver essas equações, é essencial considerar não apenas as soluções formais, mas também o comportamento assintótico, os efeitos de transientes e a interação entre as diferentes partes do sistema.