Como as Álgebras Localmente Convexas Multiplicativamente Definidas Influenciam a Teoria das Álgebras Banach e Cauchy

Álgebras topológicas são um campo fundamental no estudo das estruturas algébricas com topologias definidas, especialmente em espaços de Banach e seus derivados. Entre as diversas classes de álgebras, destacam-se as álgebras multiplicativamente convexas localmente definidas (denominadas Imc-álgebras), que apresentam uma topologia dada por uma família de seminormas submultiplicativas. Essas álgebras oferecem uma rica interação entre a álgebra e a topologia, facilitando o estudo de propriedades contínuas do produto, como evidenciado no teorema estrutural básico de Michael.

A classe das Imc-álgebras foi introduzida por Arens, e sua principal característica é que a topologia pode ser definida por seminormas que são simultaneamente submultiplicativas. Em um Imc-álgebra, é possível encontrar uma base de vizinhanças da origem consistindo de barris idempotentes, e a continuidade conjunta do produto é garantida. Isso significa que, ao combinar elementos da álgebra, a operação de produto se comporta de maneira estável e contínua em relação à topologia imposta por essas seminormas.

Um exemplo clássico de Imc-álgebra é a álgebra das funções contínuas $C(X)$, onde $X$ é um espaço Hausdorff completo e localmente compacto. A topologia compacta-aberta, definida por uma família de seminormas, torna $C(X)$ uma Imc-álgebra completa. A peculiaridade dessa álgebra é que ela se torna uma álgebra de Fréchet se e somente se $X$ tiver uma família total contável de subconjuntos compactos — uma propriedade conhecida como hemicompletude. Além disso, se o espaço $X$ for compacto, $C(X)$ é uma álgebra de Banach. Isso ilustra a flexibilidade das Imc-álgebras, que se transformam em álgebras de Banach sob certas condições.

Outro exemplo relevante são as álgebras de convolução Cauchy, que podem ser construídas a partir de certos espaços de sequências. Essas álgebras são fechadas sob o produto de convolução, introduzido por Cauchy, e apresentam a estrutura de álgebra *-algebrica com involução definida pela conjugação complexa. As sequências em tais espaços podem ser estudadas com a topologia normal, que é a topologia localmente convexa determinada por uma família de seminormas associada ao dual de Kothe. Um exemplo de álgebra de convolução Cauchy que é também Imc é o espaço $l^p$ para $0 < p < 1$, além de outros exemplos relacionados a espaços holomorfos e analíticos, como o espaço de funções inteiramente analíticas.

Esses exemplos mostram como a estrutura das álgebras e suas topologias afetam diretamente suas propriedades algébricas e funcionais. A interação entre álgebra e topologia torna possível uma análise mais profunda da continuidade das operações algébricas e das representações de grupos, além de permitir a construção de novas classes de álgebras com características interessantes para diversas aplicações em análise funcional e teoria dos grupos.

Como se define a ordem em espaços vetoriais ordenados e álgebras topológicas?

Ao tratar de espaços vetoriais ordenados e sua interação com estruturas algébricas e topológicas, a noção de cone positivo emerge como ponto central. Dado um espaço vetorial real $E$, um subconjunto convexo não-vazio $K \subset E$ é denominado wedge se satisfaz duas condições fundamentais: a estabilidade sob adição, $K + K \subseteq K$, e a estabilidade sob multiplicação escalar por reais positivos, $\lambda K \subseteq K$ para todo $\lambda > 0$. Quando, além disso, $K \cap (-K) = \{0\}$, $K$ é chamado de cone. A partir desse cone, define-se uma relação de ordem (ou pré-ordem) em $E$, onde $x \leq y$ se, e somente se, $y - x \in K$.

A estrutura dual ganha relevância nesse contexto. Dado um cone $K \subset E$, o dual wedge $K' \subset E^*$ é o conjunto de todos funcionais lineares contínuos $\phi \in E^*$ tais que $\phi(x) \geq 0$ para todo $x \in K$. Se $K' \cap (-K') = \{0\}$, $K'$ é um cone dual propriamente dito. A estrutura dual completa, $K^* - K^*$, é chamada de dual de ordem de $E$, e o espaço é dito regularmente ordenado se o dual de ordem separa pontos de $E$.

A relação entre o cone e sua estrutura dual também revela propriedades de normalidade e totalidade. Um cone é dito normal se ele induz uma topologia localmente convexa onde a ordenação é compatível com a estrutura topológica. O conceito dual é o de b-cone (cone b), caracterizado pela totalidade de famílias limitadas de subconjuntos limitados. Resultados importantes estabelecem a equivalência entre a normalidade de $K$ e o fato de $K'$ ser um b-cone, sob condições de reflexividade e densidade de $K - K$ em $E$.

No contexto de álgebras complexas, em particular -álgebras, a ordem é geralmente considerada apenas sobre os elementos hermitianos, ou seja, aqueles $a \in A$ tais que $a = a^*$. O cone positivo é então construído a partir de elementos do tipo $a^* a$. Esse conjunto define o chamado algebraic positive wedge, denotado por $P(A)$. Se $P(A)$ é um cone e $A$ possui unidade, então $P(A)$ é gerador: qualquer elemento hermitiano $a$ pode ser expresso como diferença de dois elementos positivos. Essa decomposição é ex

Como são implementadas as transformações espaciais, momentunais e de calibre na teoria algébrica de sistemas quânticos?

Entretanto, no espaço W onde estas transformações atuam, não existem funcionais invariantes sob as traduções espaciais que sejam estados ergódicos. Isso decorre do fato de que estados ergódicos, sendo puros, deveriam ser formados a partir de autovetores da representação unitária dessas transformações, os quais simplesmente não existem no espaço considerado. Além disso, quaisquer estados invariantes podem ser decompostos em estados ergódicos, o que implica que a inexistência destes últimos implica também a inexistência dos primeiros sob tais condições.

As funções generalizadas que atuam como autovetores generalizados dessa representação são exponenciais oscilatórias que, por não serem integráveis ao quadrado, definem estados generalizados, não estados propriamente ditos.

O operador transformada de Fourier, entendido como um mapa contínuo que se estende a uma aplicação unitária sobre L², permite a implementação das automorfismos correspondentes às translações de momento. Tal grupo de automorfismos é conjugado ao grupo das translações espaciais pela transformada de Fourier, o que garante que os funcionais invariantes sob o grupo de momento também não existem, espelhando a situação das translações espaciais.

Além dessas simetrias, o grupo de calibre é introduzido via operadores número associados a coordenadas específicas, gerando uma ação do toro T¹ sobre o espaço W. Esse grupo implementa transformações de calibre da primeira espécie, e, diferentemente dos casos anteriores, existem estados puros, determinados pelas funções de Hermite, que permanecem invariantes sob a ação deste grupo.

No que tange a simetrias como a reflexão espacial, que envolve a inversão das coordenadas espaciais, mas preserva o spin, a invariância do potencial frente a essa operação assegura que a reflexão comuta com o Hamiltoniano, estabelecendo-se assim como uma simetria dinâmica.

A questão da implementabilidade unitária das automorfismos na representação de GNS associada a um estado invariante é delicada. Embora a condição necessária e suficiente geral seja desconhecida, quando o estado é invariante sob o grupo de automorfismos, é possível construir uma representação unitária fortemente contínua do grupo sobre o espaço de GNS. Essa representação satisfaz condições de covariância, preservando o vetor cíclico que representa o estado. A continuidade forte do grupo unitário é garantida por argumentos funcionais detalhados envolvendo a estrutura topológica local convexa dos espaços considerados.

Essa construção permite interpretar o grupo de automorfismos como uma simetria implementada unitariamente na representação física do sistema, o que é essencial para a interpretação física e para a construção de teorias quânticas consistentes. Por outro lado, a ausência de estados invariantes sob determinados grupos ressalta limitações importantes na simetria do sistema e na estrutura dos estados possíveis.

É crucial compreender que as simetrias dinâmicas têm um papel central na física quântica, pois são aquelas que permanecem válidas durante toda a evolução temporal, e que, por sua vez, impõem fortes restrições na estrutura espectral do Hamiltoniano e nas representações das álgebras envolvidas. Além disso, a distinção entre simetrias internas e externas, e a questão de sua implementabilidade unitária, refletem aspectos fundamentais da relação entre matemática abstrata e fenomenologia física.