Como Determinar o Torque Líquido e o Esforço Cortante em Seções Transversais de Barras com Torsão

A equação básica para o cálculo do torque líquido gerado por uma barra sob torsão pode ser expressa como:

\oint \mathbf{T} = \mathbf{e}_1 \cdot (\mathbf{r} \times q_m) \, ds

onde o símbolo de integral com círculo denota uma integral ao longo de toda a linha do contorno da linha média da seção transversal. O fluxo cortante $q$ é constante e pode ser retirado da integral. A propriedade cíclica do produto escalar triplo permite que a expressão seja reescrita como:

\mathbf{e}_1 \cdot (\mathbf{r} \times m) = \mathbf{r} \cdot (m \times \mathbf{e}_1)

Além disso, sabendo que $m \times \mathbf{e}_1 = \mathbf{n}$ , podemos substituir e simplificar a expressão para o torque líquido:

\oint \mathbf{T} = q \mathbf{r} \cdot \mathbf{n} \, ds

Essa formulação pode ser aplicada ao teorema da divergência, que nos ajuda a calcular a integral sobre a região encerrada pela linha média. Para tal, definimos $\mathbf{x}$ como um vetor para qualquer ponto dentro da região e notamos que, para pontos na fronteira, $\mathbf{x} = \mathbf{r}$ . A divergência de $\mathbf{x}$ é igual a 2, o que leva à seguinte integral:

\oint \int \mathbf{r} \cdot \mathbf{n} \, ds = \text{div}(\mathbf{x}) \, dA = 2 \Delta

onde $\Delta$ é a área encerrada pela linha média do contorno da seção transversal. Importante ressaltar que a área $\Delta$ não é a mesma que a área da seção transversal $A$ , que é dada por:

A = t(s) \, ds

A expressão final para o torque líquido é então:

\mathbf{T} = 2 \Delta q

Essa fórmula, frequentemente chamada de fórmula de Bredt, pode ser usada para determinar o fluxo cortante a partir do torque líquido, o que por sua vez fornece uma equação para o esforço cortante $\sigma_{xs}$ :

\sigma_{xs} = \frac{\mathbf{T}}{2 \Delta t}

É evidente que o máximo esforço cortante em uma seção fechada e fina ocorre no ponto com a menor espessura $t$ .

Como exemplo, considere o cálculo do esforço cortante devido ao torque $T$ em uma seção transversal circular, com espessura $t$ e raio $R$ em relação à linha média. A área encerrada pela linha média da seção circular é $\Delta = \pi R^2$ . Usando a fórmula de $\sigma_{xs}$ , obtemos:

\sigma_{xs} = \frac{T}{2 \pi R^2 t}

Comparando com a solução exata para o esforço cortante, temos:

\tau = \frac{T}{R} = \frac{T}{R J} \frac{1}{2\pi(R_o^4 - R_i^4)}

onde $R_o = R + t/2$ e $R_i = R - t/2$ , e $R_o^4 - R_i^4$ é aproximadamente $4 R^3 t$ . Substituindo isso na fórmula de $\tau$ , obtemos:

\tau = \frac{T}{R} \cdot \frac{1}{2 \pi 4 R^3 t} \cdot \frac{R}{t} = \frac{T}{2 \pi R^3 t}

Isso confirma que a equação para uma seção fina e fechada corresponde à solução exata para a seção circular.

Ao considerarmos a relação entre o torque e a taxa de rotação, reconhecemos que a seção transversal gira em torno do ponto $undefined$ fora do plano da seção transversal. A componente de deslocamento em uma localização $r$ na direção $m$ devido à rotação é dada pelo produto vetorial entre o vetor de rotação $\varphi(x) \mathbf{e}_1$ e o vetor radial $\mathbf{r}$ somado ao vetor $m$ :

\mathbf{v}(x, s) = \varphi(x) \mathbf{r}(s) \cdot \mathbf{n}(s)

Onde $\mathbf{r} \cdot \mathbf{n}$ é a componente da distância de $O$ até a partícula típica que é perpendicular ao vetor $m$ . O deslocamento de deformação é dado por $u(x, s)$ , que é a componente de deslocamento na direção $\mathbf{e}_1$ . O esforço cortante $\epsilon_{xs}$ pode ser computado a partir de $u(x, s)$ pela equação de deformação angular. O processo de integração dessa equação nos leva à expressão para o torque:

\oint T \, ds = 2 \Delta \varphi'(x)

Com isso, chegamos à relação final para o torque:

T = G J^\hat{} \varphi'(x)

onde $J^\hat{}$ é a constante de torsão dada por:

J^\hat{} = 4 \Delta^2 / S

onde $S$ é a integral ao longo do contorno da seção transversal, e $t(s)$ é a espessura da seção transversal. A integral ao longo do contorno é uma integral de linha.

No caso de uma seção transversal retangular, como um tubo fino de altura $h$ , largura $w = h/2$ , e espessura $t$ , a área encerrada pela linha média é $\Delta = w h = 0.5 h^2$ . Usando esse valor, podemos calcular a constante de torsão $G J^\hat{}$ e compará-la com o momento polar de inércia da seção transversal.

Finalmente, é importante compreender que as seções transversais fechadas e finas, como os tubos, apresentam um efeito de distorção (warping) que altera a resistência à torsão, tornando-as mais eficientes na transmissão de torque. Em contrapartida, se a aplicação envolver uma estrutura com seções abertas, como vigas tipo I, é fundamental minimizar a torsão para evitar falhas estruturais.

Como Integrar Numericamente Equações Diferenciais para Vigas com Cargas Distribuídas e Condições de Contorno Variadas

A resolução numérica de problemas de vigas com condições de contorno diversas e cargas distribuídas é fundamental para o projeto estrutural, especialmente quando o comportamento da viga não pode ser descrito de forma simples com soluções analíticas. Para isso, métodos numéricos são amplamente utilizados, e um dos mais eficazes é a regra trapezoidal generalizada (GTR). Esse método permite a aproximação de integrais definidas, oferecendo uma forma eficiente de calcular variáveis como o esforço cortante, momento fletor, rotação e deslocamento transversal de uma viga sob carga.

Quando se trabalha com condições de contorno variadas, como extremidades fixas, livres ou simples, e aplicando diferentes tipos de carga distribuída, o primeiro passo é determinar os estados conhecidos e desconhecidos das variáveis de fronteira. Por exemplo, ao especificar que uma extremidade de uma viga é fixa, a deflexão e a rotação nessa extremidade são conhecidas (geralmente iguais a zero). Por outro lado, se a extremidade for livre, essas variáveis podem ser desconhecidas, ou seja, podem ser representadas por variáveis de estado, que serão resolvidas numericamente.

Um exemplo simples de implementação dessa abordagem seria o uso do MATLAB, em que é possível definir as condições de contorno e calcular a solução numérica por meio de um código compacto. Ao determinar as variáveis desconhecidas das condições de contorno e integrar numericamente as equações diferenciais, podemos obter os diagramas de esforço cortante, momento fletor, rotação e deslocamento ao longo do comprimento da viga.

Na prática, começa-se com a definição dos parâmetros físicos da viga: comprimento $L$ , rigidez à flexão $EI$ e magnitude da carga distribuída $q_0$ . Essas variáveis são essenciais para o cálculo da deformação da viga. Além disso, a função de carga distribuída pode ser definida de acordo com o tipo de carga, seja ela constante ou variável ao longo da viga.

A partir das condições de contorno, como extremidades fixas ou simples, e a carga aplicada, constrói-se um vetor que armazena quais variáveis são conhecidas e quais são desconhecidas. Esse vetor é usado para filtrar as colunas da matriz de coeficientes $B$ , removendo aquelas correspondentes às variáveis que são conhecidas (por exemplo, quando a variável é zero). Em seguida, a matriz $C$ é formada, que contém apenas as colunas das variáveis desconhecidas. A resolução das equações diferenciais é realizada com base nas integrais que envolvem as variáveis de carga e as condições de contorno, aplicando-se a regra trapezoidal generalizada.

Para a integração numérica, a escolha do número de pontos de integração é crucial. A técnica da regra trapezoidal, ajustada com um parâmetro $\beta$ , permite aproximar a integral de forma eficaz, dividindo o intervalo de integração em pequenos segmentos. Cada segmento é então tratado com base nas contribuições das variáveis no ponto atual e no próximo. Essa abordagem cria uma sequência de valores aproximados para as variáveis de estado ao longo do comprimento da viga.

Por exemplo, o cálculo do esforço cortante em cada ponto é dado pela diferença entre o valor do esforço cortante anterior e a carga distribuída no intervalo de integração, ajustada pela regra trapezoidal. Similarmente, o momento fletor, rotação e deslocamento transversal são calculados iterativamente a partir dos valores anteriores, utilizando a mesma metodologia de integração numérica.

É importante destacar que, ao final do processo de integração, é possível comparar os resultados numéricos obtidos com os valores conhecidos nas extremidades da viga. Isso fornece um meio de verificar a precisão do método, garantindo que a solução numérica esteja em conformidade com as condições de contorno impostas.

Além disso, a precisão dos resultados numéricos depende diretamente da escolha de parâmetros como o número de pontos de integração e o valor do parâmetro $\beta$ . Em problemas práticos, ajustes finos nesses parâmetros podem ser necessários para obter soluções precisas, especialmente quando as condições de carga ou as propriedades do material variam ao longo da viga.

Este processo pode ser implementado de forma eficiente no MATLAB, utilizando um código que, além de calcular as variáveis de estado ao longo da viga, gera gráficos ilustrativos dos diagramas de esforço cortante, momento fletor, rotação e deslocamento. Esses gráficos são essenciais para a visualização do comportamento da viga sob as condições impostas e ajudam os engenheiros a avaliar o desempenho estrutural da viga em diferentes situações.

A implementação do código, descrita de forma detalhada, segue a construção das matrizes de coeficientes e a aplicação da regra trapezoidal para resolver as equações diferenciais. Os resultados podem ser analisados e comparados com os valores de referência, validando a exatidão da solução numérica. O uso do MATLAB facilita a visualização e a análise dos resultados, tornando o processo de design mais eficiente e confiável.

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