Qual é a estrutura topológica ideal para representar os operadores de criação e aniquilação?

A formulação matemática das representações dos operadores de criação e aniquilação, associados às relações de comutação canônica (ccr), exige uma análise precisa das topologias envolvidas. Uma abordagem relevante é dada pela topologia localmente convexa A, definida sobre o espaço $\Phi$ , construído como soma direta algébrica $\Phi = \bigoplus C_n$ , onde cada $C_n$ é uma cópia de $\mathbb{C}$ , munida de seminormas da forma $p_\alpha(c) = \sum \alpha_n |c_n|$ , com $\alpha$ variando sobre todas as sequências de números reais positivos. Essa topologia é suficientemente fina para garantir a continuidade das aplicações de inclusão $C_n \hookrightarrow \Phi$ , sendo, portanto, adequada para o estudo dos operadores de criação e aniquilação.

O espaço $\Phi[A]$ , com essa topologia, admite uma representação de classe-s das ccr, na qual a continuidade dos operadores de subida e descida é assegurada. A ação desses operadores sobre os elementos da base de Hermite preserva a positividade e define, assim, uma representação contínua. Cada subespaço $C_n$ é gerado por um vetor de Hermite, o que confere à soma direta uma estrutura pré-Hilbertiana. A correspondência entre polinômios formais e tensores simétricos reforça a viabilidade de uma formulação puramente funcional da teoria, ainda que não seja explorada diretamente.

Para qualquer representação de classe-s das ccr no espaço $E[t]$ , existem representações mínimas e máximas $E_m[A]$ e $E_M[v]$ , relacionadas por inclusões densas e contínuas. Essas inclusões preservam a estrutura algébrica dos operadores e identificam os vetores de Fock. A representação máxima pode ser descrita como um espaço de Fréchet nuclear, Hilbertiano e contavelmente somável: $E_M[v] = \bigcap E_m^{(r)}$ , onde cada $E_m^{(r)}$ é uma completude de $E_m$ na norma $||u||_{2r} = ||M^r u||_0$ . Essa estrutura tripla — $E_M[v] \subset D[||\cdot||_0] \subset E_m[M]$ — constitui um espaço rigidamente construído, essencial para a análise espectral e para a extensão contínua dos operadores polinomiais.

A unicidade das representações é garantida no sentido de que qualquer representação de classe-s contém uma cópia da representação em $\Phi[A]$ e está contida em uma cópia de $E_M[v]$ , até equivalência. Este último espaço é, portanto, considerado máximo, no sentido de que representa o encerramento de qualquer sub-representação admissível.

Quando se relaxa a condição de Fock — isto é, permitindo múltiplos vetores normalizados anulados pelos operadores de descida —, surgem as representações redutíveis. Ainda assim, para essas representações, existem versões mínima e máxima que satisfazem relações análogas de inclusão topológica, com as mesmas construções normativas. A diferença fundamental está na decomposição direta que ocorre nos espaços associados, refletindo a multiplicidade dos estados fundamentais.

Além disso, a escala natural do mundo físico exige a introdução da constante de Planck, $h$ , nos operadores. Isso se realiza via uma transformação de escala: $b^f \mapsto \sqrt{h} b^f$ , sendo $b^f$ qualquer dos operadores de criação ou aniquilação. Essa reescala é presumida ao longo da formulação quando necessário, pois alinha a descrição matemática com os dados empíricos da mecânica quântica.

É importante compreender que a escolha da topologia não é um detalhe técnico arbitrário, mas sim um elemento estrutural crucial. A topologia determina quais operadores são contínuos e, portanto, bem definidos dentro da representação escolhida. A topologia mais fina para a qual os operadores relevantes são contínuos define o domínio natural de aplicação desses operadores, e, por consequência, o próprio espaço dos estados físicos admissíveis. A teoria mostra que é possível construir uma hierarquia de espaços — mínima, intermediária, máxima — com diferentes graus de regularidade e completude, cada um compatível com a estrutura algebraica das ccr.

A formulação rigorosa dessas representações fornece uma base sólida para teorias quânticas que exigem não apenas consistência algebraica, mas também controle analítico sobre a continuidade dos operadores. Além disso, o conceito de tripla rigidificada (rigged Hilbert space) revela-se indispensável para a construção de soluções generalizadas (por exemplo, distribuições), que transcendem o domínio dos v

Como se estrutura a teoria espectral para operadores simétricos em espaços de Hilbert?

A teoria espectral em espaços de Hilbert infinitodimensionais destaca-se pela presença do espectro contínuo, fenômeno primeiramente identificado por Hilbert em 1906, no contexto de sua teoria das equações integrais. Na formulação inicial da teoria espectral para operadores auto-adjuntos, desenvolvida independentemente por Lorch, Stone e von Neumann, o conceito fundamental é o de medida espectral projetiva. Esta abordagem foi ampliada para operadores simétricos por Naimark, que introduziu a substituição das medidas espectrais projetivas por medidas espectrais operadoras positivas.

Na mecânica quântica, a teoria espectral é essencial para a descrição das medições. Tradicionalmente, o foco recai sobre os autovetores e a hipótese de existência de uma base ortonormal formada por esses autovetores. Todavia, para a maioria dos observáveis, essa suposição é insustentável. Por exemplo, operadores de posição e momento não possuem autovetores no espaço de Hilbert considerado, o que não indica uma falha da teoria, mas sim uma distinção física fundamental. Autovetores correspondem a estados ligados, enquanto o espectro contínuo representa regimes de espalhamento, nos quais o sistema pode exibir comportamentos complexos como a separação e recombinação temporária de partes.

Essa realidade exige uma adaptação na forma de descrever medições, levando em conta o espectro contínuo. Para modelos com operadores limitados, trabalhos de Davies e Lewis ilustram essa adaptação, e para operadores não limitados apresentaremos posteriormente uma variante necessária, que utiliza a teoria espectral correspondente.

Essa teoria espectral pode ser formulada tanto no quadro dos operadores quanto no quadro das distribuições. A forma distribuicional é particularmente elucidativa para entender a estrutura dos espaços de Hilbert com rigidez adicional (rigged Hilbert spaces), e fundamental para formalismos usados na física, como a notação bra-ket de Dirac. Ainda que não empreguemos essa notação extensivamente, sua relevância para a comunidade física justifica sua inclusão.

Pressupomos familiaridade com a teoria espectral de operadores auto-adjuntos não limitados, apresentada em duas formas equivalentes: pela medida espectral projetiva, conforme Lorch e von Neumann, e pela transformada de Fourier. Contudo, para operadores simétricos que não são necessariamente auto-adjuntos, a teoria de Naimark requer estender os operadores a espaços de Hilbert maiores, onde esses extensões possuem índices de deficiência iguais, garantindo extensões auto-adjuntas.

Por meio da projeção das decomposições espectrais dessas extensões, o operador original pode ser representado como uma integral sobre uma família espectral de operadores positivos limitados. Diferentemente do caso auto-adjunto, esses operadores não são projeções, mas são aditivos em σ e denominados medidas operadoras positivas (POVM), ao contrário das medidas projetivas (PVM). Ademais, um operador simétrico pode ter múltiplas representações dessa forma, ao passo que operadores auto-adjuntos possuem decomposições únicas, salvo isomorfismos unitários.

A teoria espectral estendida mantém as duas formas fundamentais, POVM e transformada de Fourier. O teorema completo de Naimark abarca extensões de *-semigrupos de operadores e demonstra a existência de uma extensão mínima, ainda que esses aspectos ultrapassem o escopo aqui tratado. Para nossos propósitos, focaremos numa forma particular dessa teoria.

Ao aplicarmos essa estrutura ao álgebra dos observáveis, é necessário revisitar a teoria espectral dentro do contexto dos espaços de Hilbert rigged. Trabalhos de Gel’fand, Maurin e outros consolidaram uma teoria satisfatória nesse cenário. Referências clássicas incluem Gel’fand e Vilenkin, Kato, Maurin, Reed e Simon, Riesz e Sz.-Nagy, e Yosida.

Formalmente, uma família espectral, ou resolução da identidade, é uma família uniparamétrica de operadores projetivos que satisfazem condições naturais de limite, monotonicidade e ortogonalidade. A generalização a famílias espectrais positivas envolve operadores de contração positiva que mantêm propriedades análogas de convergência e monotonia.

Para o leitor é crucial entender que a existência do espectro contínuo implica uma complexidade intrínseca nas representações dos observáveis físicos, onde não há uma decomposição simples em autovetores. A teoria espectral estendida com medidas operadoras positivas oferece um quadro matemático robusto para lidar com essas situações, ampliando a aplicabilidade da mecânica quântica para sistemas reais.

Além disso, a compreensão da rigidez dos espaços de Hilbert, e a função das distribuições no contexto espectral, é essencial para apreender os fundamentos do formalismo bra-ket e a manipulação de estados generalizados, que transcendem os estados vetoriais tradicionais.

Essa perspectiva oferece um panorama que alia rigor matemático e relevância física, revelando as nuances da descrição dos sistemas quânticos quando ultrapassamos as simplificações usuais das bases ortonormais e dos espectros discretos.

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