Como a Transformação de Coordenadas Pode Proporcionar Linearização Exata de Sistemas Não Lineares com Realimentação

A transformação de coordenadas desempenha um papel fundamental na linearização exata de sistemas não lineares, especialmente em contextos onde a dinâmica do sistema pode ser manipulada por meio de feedback. Em sistemas multivariáveis, a abordagem de feedback regular é muitas vezes utilizada para simplificar a estrutura do sistema, permitindo que ele se torne linear ou que tenha uma estrutura próxima de linear. Um ponto chave dessa técnica é a preservação da invariância de certos parâmetros, como o grau relativo do vetor, durante o processo de transformação de coordenadas e feedback.

Consideremos um sistema dinâmico no qual a transformação de coordenadas $z = \varphi(x)$ está definida sobre um conjunto $U$, com as matrizes $A \in \mathbb{R}^{n \times n}$ e $B \in \mathbb{R}^{n \times m}$. Como resultado de um processo de linearização exata via feedback, essa transformação leva o sistema a uma forma em que a dinâmica do sistema pode ser descrita de maneira mais simples. O teorema que garante essa transformação é baseado no fato de que, sob certas condições, o grau relativo do vetor não é alterado por mudanças regulares de coordenadas, nem pelo feedback aplicado.

A chave para o sucesso da linearização exata é garantir que a matriz $g(x°)$ tenha posto igual a $m$. A partir dessa premissa, podemos deduzir que qualquer matriz $B$ que satisfaça as equações da relação terá também posto $m$. Isso nos permite assumir sem perda de generalidade que as matrizes $A$ e $B$ possuem a forma canônica de Brunowsky, onde a matriz $A$ é diagonal, composta por blocos $A_i$ que representam matrizes de ordem $K_i \times K_i$, e a matriz $B$ também é diagonal, contendo vetores $b_i$, cada um de dimensão $1 \times K_i$.

A partir dessa configuração, podemos decompor o vetor $z = \varphi(x)$ como um vetor coluna $\left[ z_1, \dots, z_m \right]$, e estabelecer uma relação simples entre essas variáveis para estudar a dinâmica do sistema. Com isso, a linearização exata é obtida ao resolver o sistema de equações diferenciais da forma $z = A z + B v$, onde $v$ é o vetor de entrada e as funções de saída são definidas de acordo com a relação de transformação $(5.19)$. O grau relativo do vetor, expresso como $\{ \nu_1, \dots, \nu_m \}$, é invariável sob essas transformações.

Entretanto, para que esse processo de linearização seja bem-sucedido, é imprescindível que a matriz $g(x)$ tenha posto igual a $m$, como já foi discutido no contexto do problema anterior. Se, por algum motivo, a matriz $g(x)$ tiver posto menor que $m$, mas esse posto for constante em uma vizinhança de $x°$, a linearização exata será possível, mas com um número reduzido de funções de saída, correspondentes ao posto $p$ da matriz. Nesse caso, o sistema exigirá uma transformação preliminar que pode ser obtida através de uma matriz $\varphi(x)$ não singular, que permita a simplificação da matriz $g(x)$ para uma forma mais conveniente.

Uma vez que a matriz $g(x)$ tenha sido ajustada por meio dessa transformação, o sistema transformado estará em condições de satisfazer as hipóteses do lema de linearização exata. A partir desse ponto, podemos avançar na definição de funções específicas que assegurem que o sistema permaneça linearizado, respeitando as propriedades dos campos vetoriais envolvidos na dinâmica.

É importante ressaltar que a linearização exata via feedback não é um processo trivial e depende de um conjunto de condições sobre os campos vetoriais $f(x)$, $g_i(x)$, e seus sucessivos comutadores. Além disso, é fundamental que o sistema inicial, antes da transformação de coordenadas, tenha uma estrutura que permita essa manipulação sem perder a integridade da solução original. A preservação da estrutura do sistema durante a transformação e o feedback é o que garante a eficácia desse processo.

O estudo dessa técnica é particularmente relevante quando se trabalha com sistemas de múltiplas entradas e múltiplas saídas (MIMO), onde a complexidade das interações não lineares pode ser desafiadora. A linearização exata permite simplificar o controle desses sistemas, facilitando o design de controladores e a análise do comportamento dinâmico.

Adicionalmente, a importância de entender a relação entre o posto da matriz $g(x)$ e a possibilidade de encontrar funções de saída adequadas não pode ser subestimada. Quando o posto da matriz não é suficientemente alto, a linearização não será exata no sentido pleno, mas poderá ser aproximada, o que ainda pode ser valioso dependendo do contexto de aplicação.

Como Garantir Estabilidade no Problema de Controle Não Interativo com Realimentação Estática

A teoria de controle não linear envolve a busca de soluções para sistemas em que a interação entre as variáveis do sistema é minimizada ou eliminada. Em um contexto de sistemas com grau relativo $\{r_1, ..., r_m\}$ em $x = 0$, o problema de controle não interativo com estabilidade via realimentação estática busca a solução para a não-interação enquanto mantém a estabilidade assintótica. O estudo detalhado da invariância local de submanifolds integráveis, bem como a estabilidade das dinâmicas do sistema, é central para essa abordagem.

O problema de controle não interativo com estabilidade via realimentação estática é resolvível apenas quando certas condições geométricas são satisfeitas. Para um sistema descrito pela equação $x = f(x)$, a estabilidade assintótica no ponto de equilíbrio $x = 0$ depende de uma condição crucial relacionada à invariância de um submanifold $S^*$, que é a subvariedade integral da distribuição $P^*$ contendo $x = 0$. Este submanifold $S^*$, por sua vez, deve ser invariável sob o campo vetorial $f(x)$, ou seja, a dinâmica do sistema restringida a $S^*$ deve ser independente da escolha de feedback estático.

A conclusão imediata a partir dessa propriedade é a exigência de que a restrição do campo vetorial $f(x)$ à subvariedade $S^*$ seja estável assintoticamente, no sentido da primeira aproximação. Em outras palavras, para que o problema de controle não interativo com estabilidade seja resolúvel, a dinâmica restrita ao submanifold $S^*$ deve apresentar estabilidade assintótica em torno do ponto $x = 0$. Essa condição é necessária para garantir que a solução do problema preserve a estabilidade do sistema.

A prova da afirmação sobre a invariância de $S^*$ sob o fluxo de $f(x)$ é direta. Como $P^*$ é uma distribuição involutiva, e $S^*$ é um submanifold integral de $P^*$, a dinâmica do sistema, representada pelo fluxo de $f(x)$, preserva a estrutura do submanifold $S^*$. Isso implica que o sistema, quando representado no espaço de $S^*$, não sofrerá nenhuma perturbação dependendo da escolha da lei de feedback. Em termos práticos, isso significa que a estabilidade do sistema é garantida, desde que a dinâmica reduzida a $S^*$ seja estável.

Além disso, é importante entender que a solução para o problema de controle não interativo com estabilidade via realimentação estática também está relacionada à noção de "dinâmica zero" do sistema. O campo vetorial $f(x)$ pode ser decomposto em uma parte que afeta a dinâmica do sistema e outra que pode ser eliminada por uma escolha de feedback adequado. Essa dinâmica zero é governada por uma submanifold $Z^*$, que é invariável sob o fluxo de $f(x)$. Quando a dinâmica zero é estável assintoticamente, a estabilidade do sistema completo também será garantida, refletindo a importância dessa decomposição para a estabilidade global.

Portanto, o estudo da integrabilidade das distribuições envolvidas e da estabilidade das dinâmicas associadas a essas distribuições é fundamental para a resolução do problema. O uso de coordenadas locais adequadas pode simplificar a análise, transformando o problema em um formato mais gerenciável. As funções que geram essas distribuições podem ser escolhidas de forma a garantir que as diferentes variáveis do sistema não se interfiram mutuamente, facilitando o controle não interativo.

No contexto da teoria geométrica de sistemas não lineares, é crucial que se compreenda a relação entre a dinâmica do sistema e suas distribuições invariantes. Para sistemas com grau relativo em $x = 0$, a possibilidade de realizar transformações de coordenadas locais adequadas permite uma análise mais clara das interações entre as variáveis e, consequentemente, a solução para o problema de controle não interativo. Essas transformações possibilitam representar o sistema de forma a distinguir claramente entre as dinâmicas ativas e as dinâmicas que podem ser ignoradas, assegurando que o controle seja eficaz.

Finalmente, a introdução de coordenadas locais que correspondem às distribuições involutivas pode ser vista como uma ferramenta poderosa para a análise do comportamento do sistema. A integrabilidade das distribuições $P^*, P_i$ e $P$ em torno do ponto $x = 0$, e a capacidade de representar essas distribuições de maneira coordenada, são essenciais para garantir que as condições de estabilidade e não-interação sejam atendidas de forma eficiente. A mudança para um sistema de coordenadas mais simples pode ser vista como uma forma de explorar a estrutura geométrica do sistema, facilitando a implementação de controle robusto e estável.