Como o bracket de Lie determina a invariância e a decomposição local em sistemas de controle

Em sistemas de controle, a estrutura das distribuições geradas pelos campos vetoriais desempenha um papel crucial na análise da acessibilidade local. Quando consideramos uma coleção de campos vetoriais, como $\{0_i\}$ para $1 \leq i \leq d$, que são gerados a partir de múltiplos brackets de Lie de vetores originais, o comportamento da distribuição tangente a essas direções revela propriedades essenciais do sistema.

Além disso, a observação de que todos os campos vetoriais gerados pertencem ao espaço linear $P + \mathrm{span}\{f\}$ onde $P$ é o espaço gerado por campos específicos $\{d\varphi_r, ..., d\varphi_n\}$, mostra a organização intrínseca do sistema de controle. Ao mudar para coordenadas adaptadas, o sistema pode ser descrito por equações em que as últimas componentes do campo $f$ são nulas, o que indica uma decomposição parcial que separa as dinâmicas principais das triviais. Essa forma revela uma camada oculta da estrutura do sistema, facilitando análises mais profundas sobre acessibilidade e controlabilidade.

A decomposição apresentada, especialmente na forma (1.40), permite aprimorar o entendimento sobre como diferentes partes do sistema se comportam localmente e como as componentes do campo vetorial podem ser separadas para análises mais refinadas. Isso é fundamental para a teoria de sistemas de controle, pois revela a essência do comportamento dinâmico local e como a interação entre campos vetoriais através dos brackets de Lie molda a possibilidade de mover o sistema dentro de sua variedade de estados.

Além disso, a aplicação prática desse conhecimento envolve a habilidade de decompor sistemas complexos em subsistemas mais simples, cujas propriedades podem ser estudadas isoladamente e depois recompostas para uma análise global. Esse método facilita não apenas a análise teórica, mas também a síntese de controladores eficientes e robustos para sistemas reais.

Endereçar essas questões, portanto, exige não apenas o domínio das definições e propriedades algébricas dos brackets de Lie, mas também uma compreensão geométrica e dinâmica da estrutura do sistema. O leitor deve se conscientizar de que a invariância de distribuições e a decomposição local não são resultados triviais, mas sim alicerces para o desenvolvimento de uma teoria coerente e poderosa da acessibilidade e controlabilidade em sistemas de controle.

O que é a unicidade das realizações mínimas e como ela se relaciona com sistemas não lineares de entrada única e saída única?

Quando lidamos com sistemas dinâmicos não lineares, a noção de unicidade das realizações mínimas emerge como uma característica fundamental para compreender e manipular tais sistemas. A unicidade das realizações mínimas assegura que, sob certas condições, existe uma correspondência biunívoca entre representações do sistema que preservam sua estrutura dinâmica essencial. Essa correspondência é formalizada por meio de difeomorfismos que ligam diferentes realizações do mesmo sistema.

A definição do difeomorfismo $F: V_a \to V_b$, construído a partir dessas transformações, permite estabelecer uma relação explícita entre os estados das duas realizações, o que é crucial para provar a unicidade das representações minimais. A inversa $F^{ -1}$ é expressa analogamente, assegurando que essa transformação seja um isomorfismo local entre os espaços de estados das duas representações.

Partindo dessa base, a análise se volta para sistemas não lineares Single-Input Single-Output (SISO), que, apesar de sua simplicidade estrutural, oferecem um terreno fértil para explorar conceitos fundamentais. A noção de grau relativo do sistema é central nessa análise. O grau relativo indica quantas vezes é necessário derivar a saída do sistema até que o controle de entrada afete explicitamente essa saída. Formalmente, é definido por condições envolvendo as derivadas de Lie da função de saída em relação aos campos vetoriais que representam a dinâmica e a entrada do sistema.

A existência de um grau relativo bem definido em um ponto $x^0$ significa que, em uma vizinhança desse ponto, o sistema pode ser transformado localmente para uma forma normal via mudança adequada de coordenadas. Esta forma normal é particularmente útil porque torna explícita a relação entre a entrada e a saída, permitindo a síntese de leis de controle por realimentação.

O exemplo do oscilador de Van der Pol controlado ilustra como a escolha da função de saída influencia diretamente o grau relativo do sistema. Enquanto uma escolha pode resultar em um grau relativo fixo (por exemplo, 2), outra pode fazer com que o grau relativo varie conforme o estado, ou até mesmo deixe de estar definido em alguns pontos, revelando a sensibilidade do conceito ao mapeamento de saída escolhido.

Mais profundamente, a independência linear dos vetores diferenciais da saída e de suas derivadas de Lie até o grau relativo assegura que uma transformação de coordenadas localmente invertível pode ser construída a partir dessas funções, o que fundamenta a existência da forma normal local para sistemas SISO.

É essencial compreender que a forma normal local e o grau relativo não apenas facilitam o entendimento da dinâmica do sistema, mas também são ferramentas cruciais para o projeto e a análise de controladores não lineares. A capacidade de transformar o sistema para uma forma onde a relação entre entrada e saída é clara e bem comportada permite a aplicação de técnicas de realimentação que seriam impraticáveis em coordenadas arbitrárias.

Entender esses conceitos é vital para qualquer pessoa que queira trabalhar com controle não linear, pois eles revelam as limitações e possibilidades inerentes à modelagem e ao controle desses sistemas complexos. A unicidade das realizações minimais e a estrutura local das transformações coordenadas fornecem um fundamento sólido para avançar para técnicas mais sofisticadas, como o controle por realimentação baseado em formas normais, linearização por feedback e design de controladores robustos.

Como estabilizar localmente sistemas com modos incontroláveis usando controle não linear

O sistema descrito apresenta um controle estabilizador que, quando expresso nas coordenadas originais, assume a forma $u = (-Lrjh(x) - coh(x) - ciLfh(x) - \cdots Cr-iLrf 1h(x)) / LgLrj-lh(x)$, o que é particularmente interessante, pois essas quantidades podem ser imediatamente calculadas a partir dos dados originais. Esse método permite estabilizar assintoticamente sistemas cujas aproximações lineares possuem modos incontroláveis, correspondentes a autovalores no eixo imaginário. Em outras palavras, é possível resolver problemas críticos de estabilização local assintótica, desde que se saiba que, para alguma escolha de uma "saída", o sistema possui uma dinâmica zero assintoticamente estável.

Caso não seja definida uma função de saída, as dinâmicas zero não estão bem definidas. Contudo, pode ocorrer de se conseguir projetar uma saída auxiliar cuja dinâmica zero associada tenha um equilíbrio assintoticamente estável. Nesse caso, uma lei de controle do tipo discutido antes garantirá a estabilidade assintótica. Este procedimento é ilustrado em um exemplo simples: considere o sistema $X1 = X2, X2 = X2 + u$, cuja aproximação linear em $x = 0$ possui um modo incontrolável com autovalor $\lambda = 0$. Suponha que seja possível encontrar uma função $y(x1)$ tal que suas dinâmicas zero sejam assintoticamente estáveis em $x1 = 0$. Então, ao definir $y = h(x) = y(x1) = x2$, obtém-se um sistema com dinâmicas zero assintoticamente estáveis, que pode ser estabilizado localmente com a lei de controle adequada.

A partir da estrutura das dinâmicas zero, é possível observar que os autovalores associados aos modos incontroláveis da aproximação linear de um sistema correspondem, necessariamente, aos autovalores da matriz jacobiana $Q$, isto é, da aproximação linear das dinâmicas zero. Caso a aproximação linear tenha modos incontroláveis, isso implica que para um número complexo $\lambda$, a matriz associada possui posto menor que $n$, sendo que os valores de $\lambda$ que tornam essa matriz de posto menor são exatamente os autovalores associados aos modos incontroláveis.

Outro ponto importante a ser destacado é a possibilidade de impor um controle adicional, no formato $u = (-Lgh(x) - C*Lfh(x) - \cdots - Cr-iLrf 1h(x) + v)$, onde $v$ é uma entrada de referência adicional. Isso resulta em um sistema de malha fechada da forma $C = A x + B v$, com $B = col(0, \dots, 0, 1)$. Para $v = 0$, o sistema reduz-se à forma anterior, mas com $v$ suficientemente pequeno, as trajetórias do sistema podem ser limitadas. De fato, é possível concluir que para qualquer $\epsilon > 0$, existem $\delta > 0$ e $K > 0$ tal que, se $|| x(0) || < \delta$ e $|v(t)| < K$ para todo $t > 0$, então $|| x(t) || < \epsilon$ para todo $t > 0$, com decaimento exponencial arbitrariamente rápido. Essa análise assintótica do comportamento interno do sistema é uma consideração constante na concepção de leis de controle, especialmente em relação ao comportamento das variáveis internas do sistema.

Como a Lei de Controle Afeta o Rastreamento Assintótico em Sistemas Não Lineares de Entrada Única e Saída Única

A equação (4.38), à luz das observações feitas no final da seção 4.3, pode ser vista como uma equação que descreve a "resposta" do sistema inverso "impulsionado" pela função $y_n(t) + e(t)$. Condições suficientes para a limitabilidade das variáveis $Z_i(t)$ e $y_r(t)$ são expressas na seguinte proposição:

A solução do sistema de malha fechada, (4.1)-(4.36), pode ser reescrita na forma $\dot{x} = Kx$ e $y(t) = q(y_R(t) + X, T_1)$, onde $K$ é uma matriz em forma de companheiro, cujas equações características coincidem com as de (4.37). Definindo $w = q - q_R(t)$, o sistema $w = F(w,x,t)$ e $x = Kx$ assume a forma (B.13), sendo $(w,x) = (0,0)$ um ponto de equilíbrio. Como $q(y,q)$ é suave e $y_R(t), q_R(t)$ são limitados, $F(w,x,t)$ é localmente Lipschitziano em $(w,x)$, uniformemente com respeito a $t$. A solução $w = 0$ é uniformemente assintoticamente estável, e os autovalores de $K$ têm parte real negativa, o que nos leva à estabilidade do sistema.

Observação 4-5.2: É importante notar que a abordagem apresentada até aqui não é a única possível, e a suposição de que $q_R(t)$ seja uma solução uniformemente assintoticamente estável de (4.39) não é uma condição necessária para se obter uma resposta limitada nas variáveis de estado ao abordar um problema de rastreamento. De fato, pode-se ter a impressão de que essa suposição seja algo necessário, pois ela surge naturalmente quando se impõe a lei de controle (4.35), que, por sua vez, foi naturalmente sugerida como uma adaptação — ao caso de estados iniciais desalinhados — da lei de controle (4.31), que foi provada como necessária para a reprodução exata de $y_R(t)$.

Rastreamento Assintótico do Modelo de Referência

Para resolver esse problema, poderia-se, em princípio, usar a mesma entrada (4.36), substituindo $y_n(t)$ e suas primeiras $r$ derivadas pelas calculadas a partir do modelo de referência. No entanto, o controle resultante dependeria das primeiras $r-1$ derivadas da entrada $w(t)$ ao modelo de referência, o que não seria desejável caso a lei de controle precisasse ser implementada por um dispositivo que recebe $w(t)$ como entrada e produz $u(t)$ como saída. Isso ocorre porque a diferenciação de $w(t)$ amplificaria o efeito do ruído inevitável. Se supusermos que $CB = CAB = \dots = CA^{r-2}B = 0$, ou seja, que o modelo tem um grau relativo igual ou possivelmente maior do que o grau relativo $r$ do sistema, temos que $y^{(i)}_R(t) = CA^i Q(t)$ para todo $0 \leq i \leq r-1$.

Como as Distribuições de Controlabilidade Definem o Comportamento Local em Sistemas Dinâmicos

Uma das questões centrais, no entanto, é compreender o comportamento local de uma distribuição $Lx^o$. A premissa fundamental é que, dada uma função $\alpha(x)$ que resolve uma das equações da forma $(6.41)$ para $k = k^*$, e sabendo que $f(x^o) = 0$, pode-se assumir sem perda de generalidade que $\alpha(x^o) = 0$, o que implica que o ponto $x^o$ é um ponto de equilíbrio do campo vetorial $f(x) = f(x) + g(x) \alpha(x)$.

A distinção entre uma subvariedade controlável invariável e uma distribuição controlável invariável também é esclarecida por esse processo. A compreensão dessas noções é essencial para avaliar a capacidade de controle local em sistemas dinâmicos, onde a transformação de uma distribuição por um fluxo pode resultar em uma variação no comportamento do sistema, mas sempre mantendo propriedades fundamentais que garantem o controle e a invariância das trajetórias ao longo do tempo.

Uma distribuição $zA$ é considerada controlável se for involutiva e se existir um par de feedbacks, como mencionado anteriormente. O processo algorítmico para determinar essa controlabilidade passa pela definição de uma sequência $S(A)$, composta por $S_0 + S_1 + \dots + S_k + \dots$. A computabilidade finita de $S(A)$ implica a existência de um valor $k^*$ tal que $S^*_{k} = S^{* + k_1}$, o que implica a convergência da sequência a um valor limite, com a distribuição de controle localmente computada.

Outro ponto importante na definição de uma distribuição controlável é a definição da sequência de distribuições geradas por um algoritmo, que gera uma distribuição invariável. A sequência de distribuições tem como objetivo identificar, de forma precisa, a maior distribuição dentro de uma sequência que é invariável sob os vetores $f, g_1, ..., g_m$. A maior distribuição é exatamente a distribuição de controlabilidade local desejada, e sua existência é garantida pelo fato de que $S(A)$ é finitamente computável e as condições de invariância e controlabilidade são atendidas.

Assim, o conceito de controlabilidade é intrinsecamente ligado à capacidade de manipulação das distribuições dentro de um sistema dinâmico, permitindo que um controlador localmente influencie o comportamento do sistema por meio de um feedback eficiente. Este controle é fundamental na teoria de sistemas não-lineares e tem aplicações diretas em áreas como a robótica, navegação de veículos autônomos e sistemas de controle em tempo real, onde as variáveis dinâmicas e o ambiente de operação exigem uma adaptação constante dos métodos de controle.