Como garantir a existência de difeomorfismos solucionando equações diferenciais e a linearização do observador em sistemas não lineares

Considere uma equação diferencial na forma $gSt = (4.79)$, onde $x$ é um mapeamento de um conjunto aberto de $\mathbb{R}^n$ para outro conjunto aberto de $\mathbb{R}^n$. Seja $(z^0, x^0)$ um ponto em $\mathbb{R}^n \times \mathbb{R}^n$ e considere vetores $(r_1^0, ..., r_n^0)$ linearmente independentes. Existe então um difeomorfismo local $x: V^0 \to U^0$ que resolve a equação (4.79) e satisfaz $x(z^0) = x^0$ se, e somente se, a condição de comutatividade $[T_i, T_j] = 0$ para todo $1 \leq i,j \leq n$ for verificada. Essa condição é crucial, pois assegura que a distribuição gerada pelos campos vetoriais $T_i$ é involutiva, ou seja, fechada sob o colchete de Lie, o que permite aplicar o Teorema de Frobenius.

Esse teorema garante que, na vizinhança de $x^0$, a distribuição involutiva de dimensão constante possui uma família local de funções cujos diferenciais geram a distribuição ortogonal. Mais formalmente, existem funções $f_i$ cujos diferenciais $df_i$ satisfazem $(df_i, T_j) = 0$ para todos $j \neq i$, e esses diferenciais são linearmente independentes. A linearidade desses diferenciais é fundamental para garantir a existência do mapeamento $\mathcal{L} = (f_1, ..., f_n)$, que é um difeomorfismo local.

Ao construir $\mathcal{L}$, observa-se que as derivadas direcionais são diagonais, o que simplifica a análise e permite resolver a equação diferencial parcial associada (4.79) através de uma transformação apropriada $x = \mathcal{T}^{ -1}(z)$. Assim, o problema de encontrar soluções para a equação diferencial é convertido em um problema de encontrar um difeomorfismo local que lineariza a dinâmica.

No contexto da linearização do observador, o problema se resolve se duas condições forem satisfeitas: (i) a dimensão do espaço gerado pelos diferenciais iterados da função de saída $h$, $\{dh(z^0), dL_f h(z^0), ..., dL_f^{n-1}h(z^0)\}$, for igual a $n$, garantindo a observabilidade local; (ii) o vetor campo $r$, solução de uma equação associada, satisfizer a condição de comutatividade $[ad_f^i r, ad_f^j r] = 0$ para todos $0 < i < j < n-1$. Essa condição assegura a involutividade da distribuição gerada pelos campos adjacentes e a aplicabilidade do teorema de Frobenius no contexto da linearização do observador.

A repetição da identidade de Jacobi permite simplificar a condição comutativa para $[r, ad_f^k r] = 0$ para $k = 1, 3, ..., 2n - 1$, o que é uma formulação mais compacta e igualmente rigorosa para assegurar a linearização.

O procedimento para construir o observador com dinâmica linear e atribuível espectralmente envolve inicialmente verificar a observabilidade local pela dimensão da distribuição gerada pelos diferenciais, encontrar o vetor campo $r$ que satisfaz a equação correspondente e, posteriormente, resolver a equação diferencial parcial para encontrar a função $F$, tal que sua inversa define o mapeamento desejado. Finalmente, o ganho do observador é obtido a partir da estrutura do sistema, culminando na construção do observador na forma $\dot{\hat{x}} = (A + GC)\hat{x} - Gy + f_c(u)$, onde $A$ e $C$ estão configurados segundo a estrutura obtida.

A aplicação dessa teoria é exemplificada no caso prático de um motor de corrente contínua com tensão do rotor constante e tensão do estator como variável de controle. O sistema é modelado por três equações diferenciais de primeira ordem que descrevem o equilíbrio elétrico do enrolamento do estator e do rotor, além do equilíbrio mecânico da carga com atrito viscoso. As interações entre as variáveis elétricas e mecânicas são expressas por relações envolvendo força eletromotriz reversa e torque, associadas aos fluxos magnéticos e constantes do motor.

Reescrevendo o sistema nas variáveis de estado apropriadas, a modelagem adquire a forma canônica $\dot{x} = f(x) + g(x)u$, onde o controle é a tensão do estator, permitindo aplicar os conceitos de linearização e projeto de observadores discutidos.

É fundamental para o leitor compreender que a condição de involutividade não é apenas uma formalidade matemática, mas a base para a existência de coordenadas locais que simplificam o sistema não linear a uma forma linear, permitindo a aplicação de técnicas clássicas de controle e observação. A linearização do observador, portanto, não é um processo arbitrário, mas uma consequência profunda da estrutura geométrica do sistema.

Além disso, a observabilidade local garantida pela independência linear dos diferenciais das funções de saída e suas derivadas sucessivas é o requisito essencial para que a estimativa do estado seja possível e confiável. Sem essa condição, o observador projetado pode falhar em convergir ou sequer existir.

A implementação prática, como no exemplo do motor de corrente contínua, reforça a importância da modelagem precisa e da interpretação física dos parâmetros e variáveis, pois a aplicação dos resultados teóricos depende da adequação do modelo e das hipóteses, como a eficiência ideal e o atrito viscoso, às condições reais do sistema.

Como transformar sistemas não lineares multivariáveis em formas normais e lineares através de realimentação e coordenadas

Em sistemas dinâmicos não lineares com múltiplas entradas e saídas, a transformação para uma forma normal é um passo fundamental para análise e controle. Suponha que temos m entradas e m saídas, e que o sistema apresenta um grau relativo vetorial $\{r_1, \ldots, r_m\}$ no ponto de operação $x^0$. Em torno desse ponto, pode-se escolher coordenadas locais $(\xi, \eta)$, onde $\xi = (\xi_1, \ldots, \xi_r)$ com $r = \sum r_i$, correspondendo às variáveis de saída e suas derivadas até a ordem $r_i - 1$, e $\eta = (\eta_1, \ldots, \eta_{n-r})$, as coordenadas restantes, cujas equações não têm uma forma especial garantida, a menos que a distribuição gerada pelos campos vetoriais associados seja involutiva. Essa involutividade, que nem sempre é satisfeita, permitiria uma simplificação adicional das coordenadas remanescentes.

No caso geral, a dinâmica do sistema pode ser expressa localmente nas coordenadas $(\xi, \eta)$ com equações onde as entradas afetam diretamente as derivadas de ordem $r_i$ das saídas, enquanto a dinâmica interna — relacionada a $\eta$ — é regida por equações geralmente mais complexas. É nesta estrutura que surge a noção de dinâmica zero, que é essencial para compreender o comportamento interno do sistema quando a saída é mantida nula.

Para garantir que a saída permaneça identicamente zero, ou seja, $y(t) \equiv 0$, é necessário que as variáveis $\xi(t)$ permaneçam em zero e que as entradas sejam escolhidas de modo que anulem a influência sobre essas variáveis. Formalmente, impõe-se que as derivadas de ordem $r_i$ das saídas sejam zero, o que gera uma relação algébrica entre as entradas e os estados internos $\eta$. Isso leva a uma equação da forma

onde $A(\xi, \eta)$ é uma matriz invertível nas proximidades do ponto de equilíbrio, e $b(\xi, \eta)$ é um vetor determinado pela dinâmica do sistema. A solução única para $u$ nesta equação define o controle que mantém $y(t) = 0$. A evolução interna do sistema, limitada ao subconjunto $Z^* = \{x \in \mathbb{R}^n : L_f^k h_i(x) = 0, 0 \leq k < r_i, 1 \leq i \leq m\}$, é descrita pela dinâmica zero, que representa as trajetórias do sistema com saída nula e entrada compatível.

Essa análise pode ser generalizada para o problema do acompanhamento exato de uma saída de referência $y^R(t)$. Nesse caso, as condições iniciais e as entradas são ajustadas para que a saída do sistema siga perfeitamente $y^R(t)$. O controle resultante garante que a saída do sistema coincida com a referência para todo tempo, e a dinâmica interna forçada corresponde a um sistema inverso que reproduz exatamente a saída desejada.

A etapa seguinte consiste na linearização exata do sistema por meio de realimentação estática de estado e transformação coordenada. Introduz-se um novo vetor de entradas $v$, de mesma dimensão que o vetor original $u$, de forma que

onde $\alpha(x)$ é um vetor de funções suaves e $\beta(x)$ uma matriz invertível para todo $x$. Essa realimentação transforma o sistema original em um sistema em malha fechada, cuja dinâmica pode ser escrita na forma

O objetivo é escolher $\alpha$, $\beta$ e a transformação de coordenadas adequadas para que o sistema resultante seja linear, controlável e de fácil análise. A não linearidade original é, assim, anulada pela realimentação, e o sistema pode ser tratado com as técnicas clássicas de controle linear. A construção dessa transformação depende da estrutura do sistema, da distribuição dos campos vetoriais e da não singularidade das matrizes envolvidas.

É fundamental destacar que a existência da linearização exata requer condições estruturais rigorosas, como o grau relativo bem definido e o não singularidade da matriz $\beta(x)$. Além disso, a dinâmica zero desempenha um papel crucial na estabilidade interna do sistema linearizado, pois o comportamento interno não influenciado pela saída pode comprometer a estabilidade do sistema em malha fechada.

Portanto, para a compreensão completa do controle e da análise de sistemas não lineares multivariáveis, é imprescindível o domínio da transformação para formas normais, do conceito de dinâmica zero e da realimentação estática para linearização exata. Esses conceitos fornecem a base para o projeto de controladores que asseguram desempenho e robustez, mesmo diante da complexidade inerente aos sistemas não lineares com múltiplas entradas e saídas.

Além do que foi exposto, é importante que o leitor entenda que a implementação prática dessas transformações pode exigir a solução de equações diferenciais parciais complexas para definir as coordenadas restantes, assim como a análise da estabilidade da dinâmica zero que não é trivial e pode envolver técnicas avançadas de teoria de sistemas. Ademais, a aplicabilidade do método depende fortemente da estrutura do sistema e do conhecimento preciso do modelo, o que nem sempre é garantido em sistemas reais, ressaltando a importância da validação experimental e da robustez do controle projetado.

Quando uma distribuição é completamente integrável?

Suponha que, ao invés de aceitar qualquer solução de um sistema diferencial linear homogêneo, estejamos interessados apenas nas soluções que podem ser expressas na forma de combinações lineares com coeficientes suaves e reais de funções Ai, ..., A_{n-d}. Isso conduz à busca de soluções independentes da equação diferencial dada, onde a independência refere-se à independência linear dos diferenciais das funções Ai no espaço dos covetores. A questão central aqui é quando uma distribuição não singular A possui um anulador A⊥ que é gerado por diferenciais exatos. Essa condição caracteriza a completude da integrabilidade da distribuição.

Uma distribuição d-dimensional não singular A, definida em um aberto U de R^n, é dita completamente integrável se, para cada ponto x° em U, existe um entorno U° e funções suaves reais Ai, ..., A_{n-d} definidas em U° tais que o espaço gerado pelos diferenciais dAi coincide exatamente com o anulador A⊥ da distribuição. Assim, a completa integrabilidade da distribuição, que pode ser representada pelas colunas de uma matriz F(x), é essencialmente equivalente à existência de n-d soluções independentes da equação diferencial associada.

O teorema fundamental que descreve as condições para essa completude é o Teorema de Frobenius. Ele estabelece que uma distribuição não singular é completamente integrável se e somente se ela é involutiva. A involutividade aqui significa que a distribuição é fechada sob o colchete de Lie, ou seja, o colchete de quaisquer dois campos vetoriais pertencentes à distribuição também pertence à distribuição.

A demonstração de que a involutividade é necessária parte da existência das funções Ai que satisfazem a condição de que seus diferenciais anulam a distribuição. Ao examinar o colchete de Lie dos campos vetoriais da distribuição, observa-se que a operação de derivação ao longo desses campos aplicada aos Ai respeita certas condições de comutatividade, o que implica que a distribuição deve ser fechada sob o colchete para garantir a existência dessas funções integradoras.

Para a suficiência, utiliza-se a construção de soluções da equação diferencial por meio da composição dos fluxos dos campos vetoriais que geram a distribuição. Definindo uma aplicação local a partir da composição desses fluxos, mostra-se que essa aplicação é um difeomorfismo local cuja inversa fornece as funções Ai que satisfazem a condição desejada, comprovando a completa integrabilidade.

Importante é o reconhecimento de que o fluxo de um campo vetorial é uma transformação suave que preserva a estrutura local da variedade, e que a independência linear dos campos vetoriais em cada ponto garante a não degeneração da aplicação construída. A técnica consiste em parametrizar o espaço localmente através desses fluxos e, assim, expressar as soluções da equação diferencial por meio das funções coordenadas desse parâmetro.

Além disso, é essencial compreender que a completa integrabilidade não é apenas uma condição abstrata; ela assegura a existência de subvariedades imersas que são invariantes sob a distribuição. Essas subvariedades, chamadas folhas da foliação associada, fornecem uma estrutura geométrica que permite a análise qualitativa e quantitativa do sistema dinâmico ou controle em estudo.

A importância do Teorema de Frobenius transcende o mero formalismo algébrico: ele fornece o alicerce para a compreensão da geometria dos sistemas diferenciais e suas soluções. A involutividade e a existência dos diferenciais exatos estão intimamente ligadas à possibilidade de separar variáveis, integrar sistemas e entender as restrições inerentes à dinâmica.

É crucial que o leitor perceba que a integrabilidade completa está vinculada à propriedade local; mesmo que a distribuição seja involutiva em um ponto, a construção das funções integradoras depende da existência de vizinhanças adequadas onde a análise se mantém válida. Esse aspecto local é fundamental para a aplicação prática do teorema.

Ainda, o conceito de fluxo de um campo vetorial, que pode ser interpretado como a trajetória gerada por esse campo, é um instrumento poderoso não só para resolver equações diferenciais, mas também para revelar a estrutura global das soluções, suas simetrias e invariantes. A combinação desses fluxos e sua capacidade de gerar um difeomorfismo local é o cerne do método construtivo que assegura a existência das soluções desejadas.

Por fim, a distinção entre diferenciais exatos e diferenciais fechados, embora sutil, é decisiva: diferenciais exatos garantem a existência global das funções Ai, enquanto diferenciais fechados apenas asseguram a existência local. Essa nuance deve ser cuidadosamente internalizada para a compreensão plena da teoria de distribuições e sua integrabilidade.