Como a Averaging Estocástica Descreve Sistemas Não Lineares Sob Excitações Aleatórias de Banda Larga

No estudo de sistemas dinâmicos com um grau de liberdade sujeitos a excitações aleatórias, a modelagem precisa da evolução da energia do sistema é fundamental para compreender seu comportamento a longo prazo. A partir das equações estocásticas para o processo de energia Λ(t) e para a fase Θ(t), observa-se que a energia varia lentamente no tempo, enquanto a fase oscila rapidamente. Isso motiva o uso da técnica de averaging temporal, que simplifica a dinâmica ao considerar a média sobre as oscilações rápidas, permitindo a aproximação do processo de energia por um processo de difusão markoviano.

As expressões para a derivada de Λ e Θ envolvem funções h(Λ, Θ), u(Λ, Θ) e gl(Λ, Θ), que resultam da transformação das variáveis de estado do sistema original para variáveis energia e fase. Um aspecto crucial é que, enquanto a dissipação de energia causada pelo amortecimento pode ser calculada diretamente, os termos que envolvem correlações temporais do ruído multiplicativo exigem técnicas sofisticadas, como a expansão em séries de Fourier das funções envolvidas, que têm frequência fundamental ωΛ associada à frequência média do movimento livre não amortecido para uma dada energia.

A aproximação via série de Fourier permite eliminar os termos que variam rapidamente no tempo, baseando-se na propriedade de que as funções gl(t) são periódicas e podem ser decompostas em senos e cossenos de múltiplos da frequência fundamental. A justificativa para desconsiderar termos com senos em integrais envolvendo a função de correlação Rls(τ) está no curto tempo de correlação das excitações de banda larga. Essa abordagem é aplicada em exemplos práticos, onde sistemas não lineares submetidos a ruídos filtrados apresentam comportamento que pode ser descrito com precisão pelas distribuições estacionárias de probabilidade da energia.

A comparação entre o método de ruído branco dependente da energia e o esquema baseado na expansão em Fourier revela que ambos produzem resultados similares quando o espectro de excitação é largo, enquanto para espectros mais estreitos as diferenças aumentam, exigindo cuidados na aplicação da técnica. A rápida decaída dos coeficientes da série de Fourier com o aumento do índice sugere que apenas alguns termos são suficientes, mesmo para forças restauradoras fortemente não lineares, o que facilita a implementação computacional.

Para uma compreensão profunda do comportamento dos sistemas sob excitações aleatórias de banda larga, é crucial reconhecer que o processo de energia não é apenas uma variável determinística suavizada, mas um processo estocástico cuja evolução incorpora efeitos de amortecimento, não linearidade e correlações temporais do ruído. A precisão dos métodos depende da correta modelagem das características espectrais do ruído e da fidelidade da transformação para variáveis energia e fase.

Além disso, deve-se considerar que o movimento livre não amortecido que fundamenta a aproximação via averaging é tipicamente periódico, não harmônico, o que implica frequências médias dependentes da energia, fator que deve ser incorporado na modelagem para evitar erros significativos. A abordagem estocástica média revela que, embora a fase oscile rapidamente, suas variações médias e residuais podem ser descritas por processos de evolução lenta, permitindo uma análise detalhada da dinâmica do sistema.

A aplicação prática desses conceitos requer ainda a compreensão das limitações inerentes às aproximações, especialmente no que tange a excitações com espectros estreitos ou ruídos com fortes correlações temporais, onde a independência de curto prazo assumida na aproximação pode não ser válida. Assim, o uso combinado de métodos analíticos com simulações de Monte Carlo é recomendado para validar os resultados e garantir a robustez das previsões.

Como determinar a solução estacionária em sistemas quasi-hamiltonianos sob excitação estocástica?

A solução estacionária da equação de Fokker-Planck-Kolmogorov (FPK) reduzida para sistemas quasi-hamiltonianos pode ser expressa na forma $p(I_1, I_2, h_3) = C \exp[-\lambda(I_1, I_2, h_3)]$, onde a função $\lambda$ deve satisfazer um conjunto específico de equações diferenciais parciais. Essas equações garantem que a derivada temporal da distribuição de probabilidade seja nula, ou seja, que a distribuição seja estacionária. As condições de compatibilidade entre os coeficientes de amortecimento e a intensidade da excitação aleatória são essenciais para que essa solução exata exista. Quando essas condições são satisfeitas, a solução estacionária exata pode ser explicitada, envolvendo termos lineares e quadráticos dos integrais de movimento e outras variáveis do sistema, com coeficientes relacionados aos parâmetros físicos e à estrutura da excitação estocástica.

A aplicação do método de média estocástica, tanto no caso ressonante quanto no não ressonante, permite obter aproximações para a função densidade de probabilidade (PDF) estacionária dos deslocamentos e momentos do sistema original. Esses resultados são validados por comparações com simulações de Monte Carlo, demonstrando a eficácia do método para sistemas quasi-hamiltonianos sob excitação ruidosa.

A existência de solução estacionária exata para a equação de FPK depende de condições específicas entre os coeficientes de amortecimento e as intensidades do ruído. Quando satisfeitas, a função densidade conjunta dos estados do sistema apresenta forma exponencial dependente do Hamiltoniano, indicando uma distribuição semelhante a uma distribuição de Gibbs com parâmetro $\beta$ ligado aos parâmetros do sistema e da excitação.