A regulação de sistemas dinâmicos refere-se à capacidade de um controlador em ajustar a trajetória de saída de um sistema para que ela siga uma trajetória de referência desejada, independentemente de seu ponto inicial. O controle é considerado eficaz quando, com o tempo, a diferença entre a saída do sistema y(t)y(t) e a trajetória de referência q(t)q(t) converge para zero:

lim⁡t→∞[y(t)−q(t)]=0.\lim_{t \to \infty} [y(t) - q(t)] = 0.

Esta definição implica que o controlador deve ser capaz de ajustar o comportamento do sistema para que, após um período de transientes, a trajetória de saída se alinhe com a referência. Não são exigidos requisitos específicos sobre o estado do sistema além da saída y(t)y(t), mas em muitos casos, impõe-se que o estado do sistema se mantenha limitado, especialmente quando a trajetória de referência é limitada.

Existem diferentes abordagens para garantir essa regulação. Uma das mais comuns é o uso de métodos de feedforward e de modelo interno. Ambas as técnicas garantem propriedades de estabilidade para o sistema em malha fechada, enquanto asseguram que os estados do sistema permanecem limitados. O método feedforward é simples, mas altamente eficaz, especialmente para sistemas não lineares e quando as incertezas são mínimas. A aplicação de feedforward simplifica o problema de regulação ao transformá-lo em um problema de estabilização do erro. Para isso, introduz-se uma transformação coordenada com a seguinte forma para a trajetória de referência q(t)q(t), assumindo que ela seja suficientemente suave:

zk=xk−q(k−1),k=1,…,r.z_k = x_k - q^{(k-1)}, \quad k = 1, \dots, r.

Aqui, q(k)q^{(k)} denota a k-ésima derivada de q(t)q(t) com relação ao tempo. A entrada do sistema é então dividida em dois componentes: u=uff+ustbu = u_{ff} + u_{stb}, onde uffu_{ff} representa a componente feedforward e ustbu_{stb} é a componente de estabilização por feedback. A fórmula para uffu_{ff} é dada por:

uff=−fr(x0,q,…,q(r−1))+q(r).u_{ff} = - f_r(x_0, q, \dots, q^{(r-1)}) + q^{(r)}.

A construção do controlador feedforward exige o conhecimento das derivadas da referência até a ordem rr, além de um entendimento preciso da função do sistema frf_r. Ao transformar a dinâmica do sistema de acordo com essas coordenadas, o problema de regulação é reduzido ao de estabilização do erro do sistema, centrado em torno de um ponto de equilíbrio na origem. Para a equação diferencial associada à dinâmica de zkz_k, a equação de evolução para zkz_k pode ser escrita como:

zk˙=zk+1,k=1,…,r−1,\dot{z_k} = z_{k+1}, \quad k = 1, \dots, r-1,
zr˙=fˉr(z1,…,zr,d)+ustb.\dot{z_r} = \bar{f}_r(z_1, \dots, z_r, d) + u_{stb}.

Aqui, fˉr\bar{f}_r é uma função que depende do estado perturbado e da entrada de feedback. A solução para este sistema transforma o problema de regulação do sistema original em um problema de estabilização, que pode ser tratado com técnicas de controle baseadas em feedback de estado.

Embora o método feedforward seja eficaz, um dos desafios surge quando se trabalha com feedback de saída, onde apenas y(t)=z1y(t) = z_1 é mensurável. Para casos com retroalimentação de saída, técnicas de estabilização semiglobal podem ser aplicadas, como o uso de um observador de alto ganho. A estabilização semiglobal é particularmente útil quando não é possível acessar todas as variáveis de estado diretamente, mas apenas algumas saídas do sistema.

Quando a trajetória de referência q(t)q(t) é gerada por uma dinâmica autônoma, como um sistema linear simples descrito por:

s˙=As,q=Cs,\dot{s} = A s, \quad q = C s,

o problema de regulação é denominado problema de regulação de saída ou problema de servomecanismo. O conceito de "exossistema" é utilizado aqui, onde a dinâmica externa s(t)s(t) é uma referência que o sistema deve seguir. Se houver incertezas no sistema, o problema de regulação de saída pode ser abordado como um problema robusto de regulação de saída, o que exige técnicas adicionais para lidar com essas incertezas, como o uso do método do modelo interno.

O método de modelo interno é uma abordagem importante para lidar com problemas robustos de regulação de saída. Este método envolve a resolução de um conjunto de equações diferenciais parciais denominadas equações reguladoras, que são definidas para todos os sinais externos s(t)s(t) e w(t)w(t), que representam as incertezas no sistema. Essas equações permitem modelar o comportamento do sistema de forma a controlar a saída e a garantir que ela siga a trajetória de referência, mesmo na presença de incertezas. A solução dessas equações define o estado estacionário e a entrada estacionária necessárias para o controle do sistema.

Uma vez estabelecida a dinâmica do sistema, é necessário estimar as variáveis que não podem ser diretamente medidas, como as perturbações e os estados internos. Para isso, uma técnica comum é construir um estimador baseado em um modelo interno, que simula as variáveis de estado do sistema em tempo real. Este estimador permite que o controlador ajuste as entradas do sistema de forma a atingir a regulação desejada, mesmo quando algumas informações sobre o sistema não são diretamente observáveis.

Além disso, é importante observar que, ao trabalhar com sistemas não lineares e redes interconectadas, a abordagem de regulação não se limita a garantir apenas o seguimento de uma trajetória de referência. O comportamento dinâmico do sistema, as incertezas externas e as propriedades do controlador precisam ser considerados de forma integrada. A robustez do controlador, sua capacidade de lidar com incertezas e o comportamento em regime permanente são fatores cruciais para o sucesso do controle em tais sistemas. Assim, ao projetar controladores para sistemas não lineares, o engenheiro deve garantir que todas essas variáveis sejam tratadas adequadamente para alcançar um desempenho robusto e eficaz.

Como Obter Consenso em Sistemas Linearmente Homogêneos com Comunicação de Estado e Saída

O problema de consenso em sistemas multiagentes (MAS) linearmente homogêneos tem sido amplamente abordado em diversas formas, sendo um desafio de controlar dinâmicas complexas e garantir que os agentes alcancem um acordo estável. Para isso, diversos modelos e abordagens têm sido propostos, incluindo controle baseado em estados e comunicação de saída. Um desses modelos é o controle em malha fechada, onde a escolha adequada dos parâmetros de controle é essencial para alcançar o consenso. O seguinte desenvolvimento explora os detalhes matemáticos necessários para garantir esse consenso, com base na dinâmica do sistema e nas propriedades do controlador.

Considerando o modelo de sistema com matriz AηA_{\eta} (ver equação 3.34) e os parâmetros κ1\kappa_1 e κ2\kappa_2, diferentes escolhas desses parâmetros podem garantir o comportamento desejado do sistema. Para uma escolha eficiente, é necessário que κ1=ζ\kappa_1 = \zeta e κ2=ζ2\kappa_2 = \zeta^2, com ζ>λPmax4+(λPmax4)2+1\zeta > \lambda_P \sqrt{\frac{max}{4}} + \sqrt{\left(\frac{\lambda_P max}{4}\right)^2 + 1}, onde λP\lambda_P representa o maior valor próprio da matriz de Laplace associada à rede. Outra possibilidade é κ1=ζ2\kappa_1 = \zeta^2 e κ2=ζ3\kappa_2 = \zeta^3, com a condição ζ>λPmax/2+1\zeta > \lambda_P max / 2 + 1, ou ainda κ1>0\kappa_1 > 0 e κ2=κ1λ∗+κ21\kappa_2 = \frac{\kappa_1}{\lambda^*} + \kappa_2^1, para um valor 0<λ∗≤min⁡i=2,...,NK{λi}0 < \lambda^* \leq \min_{i = 2,..., N} K\{\lambda_i\}.

O consenso é garantido caso a matriz AηA_{\eta} seja Hurwitz, ou seja, se todos os seus autovalores possuem partes reais negativas. Isso implica que a dinâmica do sistema está estável e que o sistema alcança um estado de consenso a longo prazo. A escolha dos parâmetros de controle κ1\kappa_1 e κ2\kappa_2 é, portanto, crítica para a estabilidade do sistema. Para determinar esses parâmetros, deve-se analisar as desigualdades obtidas através dos complementos de Schur, que nos permitem garantir a condição de estabilidade. Quando essas condições são atendidas, a matriz AηA_{\eta} é Hurwitz, e o consenso é alcançado.

A utilização de observadores também desempenha um papel importante em sistemas onde a comunicação de saída é limitada. Considerando que a variável de saída sis_i de cada agente não é diretamente acessível para a comunicação, pode-se construir um observador para estimar essa variável. O comportamento do observador é dado pela equação ξ˙i=Asξi−(Li⊗Bs)u−LCsξi−LCssi\dot{\xi}_i = A_s \xi_i - (L_i \otimes B_s)u - L C_s \xi_i - L C_s s_i, onde ξi\xi_i é o estado estimado de sis_i. Se a matriz As−LCsA_s - L C_s for Hurwitz, a estimativa ξi\xi_i converge para zero com o tempo, e o controlador baseado no observador pode ser utilizado para alcançar o consenso.

Uma vez que o observador esteja projetado, o controle pode ser realizado com ui=Kξiu_i = K \xi_i, o que garante que o sistema com controlador baseado em observador atinja o consenso. Exemplo 3.5 ilustra o uso dessa técnica em um sistema de integradores duplos, onde o observador baseado no controlador atinge um desempenho semelhante ao obtido com o controlador direto, demonstrando a eficácia do método.

Entretanto, em muitos cenários práticos, o observador ideal baseado na equação (3.47) não pode ser diretamente implementado, pois depende das entradas dos vizinhos, que nem sempre estão disponíveis. Nesse caso, uma modificação simples pode ser realizada substituindo o termo (Li⊗Bs)u(L_i \otimes B_s)u por BsuiB_s u_i, levando à formulação de um novo controlador dinâmico de retroalimentação de saída. O novo observador é expresso como ξ˙i=(As−LCs−BsK)ξi−LCssi\dot{\xi}_i = (A_s - L C_s - B_s K)\xi_i - L C_s s_i, e o controle dinâmico pode ser formulado como ui=Kξiu_i = K \xi_i.

Adicionalmente, uma transformação de coordenadas pode ser utilizada para simplificar a dinâmica do sistema, como mostrado pela equação σ˙i=Aσσi−BσCσ∑j∈N(σi−σj)\dot{\sigma}_i = A_{\sigma} \sigma_i - B_{\sigma} C_{\sigma} \sum_{j \in N} (\sigma_i - \sigma_j), onde as matrizes AσA_{\sigma} e BσB_{\sigma} são definidas em função dos parâmetros do sistema. O teorema 3.4 fornece uma condição suficiente para garantir o consenso em sistemas com comunicação de saída.

É importante lembrar que, embora a escolha cuidadosa dos parâmetros de controle seja fundamental para alcançar o consenso, a estrutura do sistema de comunicação entre os agentes também desempenha um papel crucial. O comportamento do sistema pode ser sensível às propriedades topológicas da rede de comunicação, como a conectividade e a distribuição das conexões. Redes de comunicação mal conectadas podem comprometer a capacidade de alcançar o consenso, enquanto uma rede bem conectada facilita a troca de informações e a convergência para o consenso de forma mais eficiente.

Além disso, a teoria de consenso aplicada a sistemas homogêneos não se limita apenas a condições estáticas, mas também pode ser estendida para sistemas com perturbações externas ou incertezas nos modelos dinâmicos. A robustez do sistema de consenso deve ser considerada para lidar com variações nos parâmetros e incertezas nos estados dos agentes.

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