Jak stosować metody uśredniania stochastycznego w układach quasi- Hamiltonowskich z pochodnymi frakcyjnymi

W procesach stochastycznych związanych z układami quasi-Hamiltonowskimi, uśrednianie czasowe jest kluczowym narzędziem analizy. Stosując odpowiednią metodę uśredniania, można uzyskać przybliżone rozwiązania równań różniczkowych, które w przeciwnym razie byłyby trudne do rozwiązania analitycznie. Zajmując się równaniami różniczkowymi Itô, zastosowanie uśredniania może uprościć ich postać, umożliwiając uzyskanie efektywnych równań stochastycznych, które mogą być użyteczne w badaniach układów dynamicznych poddanych wpływowi szumów.

Zaczynając od podstaw, dla układu o szerokopasmowym szumie ξk(t) oraz ξl(t), obliczenia przeprowadza się z wykorzystaniem odpowiednich funkcji widmowych, jak pokazano w równaniach (2.138) i (2.140), w których definiowane są rzeczywiste i urojone części widma mocy. Uśrednianie czasowe w takim przypadku można zastąpić uśrednianiem po zmiennych kątach (4i), co skutkuje rozważeniem całkowitej przestrzeni fazowej układu. Takie podejście pozwala na uproszczenie układu równań różniczkowych, stosując szereg Fouriera dla każdej zmiennej i obliczając odpowiednie integrale. Po przeprowadzeniu tego procesu można uzyskać ostateczne wyrażenia dla współczynników driftu i dyfuzji, które mają kluczowe znaczenie w dalszych obliczeniach.

W przypadku zastosowania do układów quasi-Hamiltonowskich z frakcyjnymi pochodnymi, jak w przykładzie Duffinga z tłumieniem frakcyjnym, kluczowe jest uwzględnienie charakterystyki frakcyjnych równań różniczkowych. W takich układach, jak w równaniu (2.157), pochodna frakcyjna $D^\alpha X(t)$ wyraża się przez całkę Riemanna-Liouville'a, co wprowadza dodatkową złożoność do analizy. W praktyce, równania te mogą zostać uproszczone za pomocą techniki ogólnej harmonizacji, która pozwala na dekompozycję tłumienia frakcyjnego na siłę tłumienia quasi-liniową oraz siłę przywracania.

Ważne jest, aby pamiętać, że dla układów tego typu, w szczególności w obecności szumów szerokopasmowych, stosowanie odpowiednich równań uśrednionych, takich jak uśrednione równania Itô, pozwala na efektywne śledzenie dynamiki układu, szczególnie gdy poszczególne subsystemy mają częstotliwości spełniające warunki rezonansu wewnętrznego (jak opisano w (2.146)). Takie rezonanse prowadzą do nowych zmiennych kątowych, które muszą być uwzględnione w dalszych obliczeniach, co może wymagać zastosowania bardziej zaawansowanych narzędzi matematycznych, takich jak teoria rozkładów prawdopodobieństwa (FPK), czy też obliczania stacjonarnych funkcji gęstości prawdopodobieństwa.

Ponadto, w kontekście rozwiązań numerycznych, konieczne jest uwzględnienie granic i warunków początkowych dla funkcji gęstości prawdopodobieństwa p(h,t|h0), jak określono w równaniu (2.144). W przypadku stacjonarnych rozkładów prawdopodobieństwa, które są kluczowe dla uzyskania długozasięgowych prognoz o zachowaniu układu, równania (2.156) stanowią ważny element analizy, wskazując na konieczność spełnienia odpowiednich warunków normalizacyjnych.

Układy quasi-Hamiltonowskie z pochodnymi frakcyjnymi są interesującym obiektem badań, zwłaszcza w kontekście inżynierii i fizyki, gdzie często spotykamy się z układami poddanymi szumom szerokopasmowym oraz siłom tłumienia o charakterystyce frakcyjnej. Zrozumienie metod uśredniania stochastycznego oraz odpowiednia aplikacja uśredniania w tych systemach daje możliwość uzyskania bardziej realistycznych modeli, które mogą być zastosowane w praktyce.

Jak uzyskać statyczne funkcje gęstości prawdopodobieństwa (PDF) dla układu drgającego pod wpływem szumów szerokopasmowych?

W analizie układów dynamicznych narażonych na szumy szerokopasmowe, jednym z kluczowych zagadnień jest uzyskanie statycznych funkcji gęstości prawdopodobieństwa (PDF) dla odpowiedzi układu. Dla układu opisanego równaniami (1.36) funkcje te można uzyskać przy pomocy metod stochastycznego uśredniania oraz symulacji Monte Carlo. W wyniku tych obliczeń uzyskujemy wyniki przedstawione na Rysunkach 1.2 i 1.3, które pokazują, że obie metody dają zbieżne wyniki, co świadczy o ich dużej dokładności.

Przykładowo, dla układu oscylatora Duffinga z tłumieniem liniowym, który jest ekscytowany przez stacjonarne szumy szerokopasmowe, wyprowadzenie uśrednionych równań Itô pozwala uzyskać równanie FPK, które opisuje rozkład prawdopodobieństwa odpowiedzi układu. W przypadku uśredniania stochastycznego, uzyskujemy wyrażenie w postaci równań (1.24) z odpowiednimi momentami pierwszymi i drugimi, które można uzyskać z równań (1.44). Przy założeniu, że współczynniki β1 i β2 są zerowe, a szum o widmie mocy S1(ω) = 0, możemy przejść do obliczeń numerycznych.

Rozważmy teraz przykład układu z jednym stopniem swobody (SDOF) poddanego szumowi racjonalnemu. Równania ruchu dla takiego układu są opisane jako:

\dot{Q} = P, \quad \dot{P} = -g(Q) - 2 \zeta \omega_0 P + \xi(t),

gdzie $g(Q)$ to funkcja nieliniowa opisująca interakcję między masą a ścianami, a $\xi(t)$ to szum racjonalny o określonym widmie mocy. Wprowadzenie funkcji potencjału $U(Q) = \int_0^Q g(u) du$ pozwala na obliczenie średnich momentów za pomocą odpowiednich równań stochastycznych, co daje nam uśrednione równania Itô oraz równania FPK.

W przypadku układu z dwoma ścianami, gdy odległość masy od lewej i prawej ściany zmienia się, układ staje się silnie nieliniowy. Zwiększając intensywność ekscytacji, zmniejszając odległość masy od ściany lub zwiększając sztywność ścian, uzyskujemy odpowiedź układu, która jest zależna od tych parametrów. Obliczenia oparte na metodzie uśredniania stochastycznego oraz symulacji Monte Carlo pokazują, że obie metody dają wyniki w dobrym porozumieniu, co potwierdzają rysunki przedstawiające funkcje gęstości prawdopodobieństwa $p(a)$ i $p(q, p)$ .

Gdy układ jest opisany przez więcej niż jeden stopień swobody (MDOF), równania ruchu stają się bardziej złożone, ale stosując odpowiednią transformację van der Pol, można je sprowadzić do formy, w której możemy uzyskać układ uśrednionych równań Itô. W takim przypadku rozwiązania tych równań opisują zachowanie układu w postaci wektora Markowa, co prowadzi do wyprowadzenia uśrednionych równań stochastycznych w formie:

dA_i = m_i(A) dt + \sigma_{ik}(A) dB_k(t),

gdzie $A_i$ są powoli zmieniającymi się procesami, a $\sigma_{ik}(A)$ to macierz współczynników dyfuzji. Rozkład prawdopodobieństwa w tym przypadku jest opisany równaniem FPK, które zależy od pochodnych driftu i dyfuzji.

Zastosowanie metody stochastycznego uśredniania umożliwia także uwzględnienie rezonansu wewnętrznego w układzie, co prowadzi do modyfikacji współczynników w uśrednionych równaniach stochastycznych. Dla przypadków bez rezonansu wewnętrznego, procesy $A_i(t)$ będą zmieniać się powoli, a w przypadku istnienia rezonansu, struktura równań zmienia się w zależności od stopnia wewnętrznego rezonansu.

Analiza statycznych PDF, zarówno za pomocą metody uśredniania, jak i symulacji Monte Carlo, pozwala na dokładne modelowanie odpowiedzi układu na szumy szerokopasmowe i daje głębokie wnioski dotyczące stabilności układów nieliniowych pod wpływem losowych ekscytacji.

Jest to tylko część pełnej analizy, ponieważ zależności między parametrami układu, jak sztywność, tłumienie i intensywność ekscytacji, mają znaczący wpływ na zachowanie systemu w długim okresie czasu. W praktyce inżynierskiej tego typu analizy są kluczowe dla przewidywania odpowiedzi systemów na szumy i zakłócenia, co ma ogromne znaczenie w projektowaniu układów o wysokiej niezawodności w warunkach dynamicznych.

Jakie są zastosowania metod stochastycznego uśredniania w naukach technicznych?

Metody stochastycznego uśredniania znajdują szerokie zastosowanie w różnych dziedzinach nauk inżynieryjnych, gdzie elementy konstrukcyjne są narażone na przypadkowe zakłócenia. Można je zaobserwować w przypadku mostów, które podlegają nieregularnym obciążeniom wiatrowym, wieżowców narażonych na zmienne siły wiatru, systemów energetycznych, które reagują na fluktuacje obciążenia oraz falowania morza, które wpływają na konstrukcje statków. W tym rozdziale omawiane są przykłady zastosowania metod stochastycznego uśredniania w trzech przypadkach inżynieryjnych, a także w stabilności i optymalnej kontroli układów nieliniowych i stochastycznych.

6.1 Wibracja wywołana wirami

Wibracja wywołana wirami jest zjawiskiem, które dotyczy smukłych struktur, takich jak linie przesyłowe, kable, kominy i instalacje morskie, które podlegają działaniu wiatru lub przepływu wody. Gdy przepływ płynów jest skierowany prostopadle do osi struktury, na jej tylnej stronie powstają wiry, które generują siły oscylacyjne, prowadzące do wymuszonego ruchu wibracyjnego. Zjawisko to nosi nazwę wibracji wywołanej wirami (Simiu i Scanlan, 1996). W określonych warunkach wibracja ta może przejść w rezonans wywołany wirami, co może prowadzić do uszkodzenia konstrukcji. W istocie jest to złożona nieliniowa wibracja wynikająca z interakcji między strukturą a płynem. Modele oscylatorów wirów, takie jak model Hartlena-Currie, były szeroko stosowane do badania wibracji wywołanych wirami (Facchinetti et al., 2004; Gabbai i Benaroya, 2005). Modele te składają się z dwóch oscylatorów: oscylatora strukturalnego opisującego wibracje konstrukcji oraz oscylatora wzbudzenia, który reprezentuje siły nośne generowane przez przepływ płynów. Oprócz jakościowego opisu efektu synchronizacji częstotliwości w rezonansie wywołanym wirami, modele te mogą także umożliwić dokładne przewidywanie odpowiedzi wibracyjnej. Ponieważ pole wiatru w atmosferze jest w istocie polem losowym, zmiana klasycznych modeli oscylatorów wirów na modele oscylatorów wirów z pobudzeniem stochastycznym oraz zastosowanie metod stochastycznego uśredniania do badania wibracji wywołanych wirami staje się naturalnym krokiem w tym kierunku (Deng et al., 2021).

6.1.1 Model oscylatora wiru Hartlena-Currie

Rysunek 6.1 przedstawia schematyczny diagram wibracji wywołanej wirami na cylindrze. Smukłe, sztywno zamocowane ciało cylindryczne jest osadzone na stałej podstawie. Gdy wiatr przepływa nad cylindrem, na jego tylnej stronie detasują się wiry, które generują siły, wywołujące wibracje cylindra. Aby ograniczyć badanie do wibracji prostopadłych do kierunku wiatru, cylinder jest ograniczony do przemieszczania się tylko w tym kierunku. Klasyczny model oscylatora wiru, znany jako model Hartlena-Currie, jest szeroko stosowany do opisu tego systemu wibracji prostopadłych. Równania sterujące tym modelem mają postać:

M (ÿ + 2ζω_n ẏ + ω_n^2 y) = \frac{1}{2} ρ_a V L D C_L,

gdzie $y$ reprezentuje przemieszczenie cylindra w kierunku prostopadłym do wiatru, a $C_L$ oznacza bezwymiarowy współczynnik nośności. Pierwsze równanie w układzie (6.1) opisuje wibrację strukturalną, znaną jako oscylator strukturalny, podczas gdy drugie równanie dotyczy dynamiki współczynnika nośności, nazywanego oscylatorem wzbudzenia. $ω_n$ jest częstotliwością własną oscylatora strukturalnego, $ζ$ to współczynnik tłumienia, $D$ to średnica cylindra, a $L$ jego długość. Ważnym jest zauważyć, że model oscylatora wiru ma charakter semi-empiryczny, a niektóre parametry w równaniach (6.1) nie mają jasnej fizycznej interpretacji, dlatego ich wartości muszą być weryfikowane za pomocą danych eksperymentalnych.

Dla wprowadzenia nowych parametrów takich jak $x_1 = \frac{y}{D}$ , $x_2 = C_L$ oraz $\mu = \frac{ρ_a L D^2}{8π^2 M S_t^2}$ , równania (6.1) można przekształcić do postaci:

\ddot{x_1} + 2ζω_n \dot{x_1} + ω_n^2 x_1 = μ ω_s^2 x_2,

\ddot{x_2} + (\dot{x_2} - \left(\frac{ω_s}{ω_n}\right)^3 ω L - \frac{ω_s G C_L}{L_0}) \dot{C_L} = ω_s F.

Wartość parametrów oscylatora wzbudzenia w równaniach (6.1) jest specjalnie zaprojektowana tak, by amplituda $C_L$ przy $y = \dot{y} = 0$ i $t \to \infty$ dokładnie wynosiła $C_L0$ , co jest szczególnie istotne w dalszych analizach.

Istotnym elementem jest fakt, że w tym przypadku oscylator wiru jest modelowany jako system stochastyczny, a jego wyniki mogą być użyteczne w różnych inżynieryjnych aplikacjach, w tym w konstrukcjach narażonych na dynamiczne oddziaływania z otoczeniem.

Metody średniowania stochastycznego w analizie układów nieliniowych i ich zastosowania
Jak rozumieć rzeczywistość: Prawda, Fakty i Ich Interpretacja
Jakie znaczenie mają reguły analizy statycznej w refaktoryzacji kodu i jak wykorzystać IntelliCode do poprawy jakości kodu?