Jak skutecznie rozwiązywać problemy nieliniowe w analizie strukturalnej z wykorzystaniem macierzy sztywności i metody rozwiązania

Analiza nieliniowych problemów strukturalnych z wykorzystaniem klasycznych metod numerycznych jest wyjątkowo skomplikowana, zwłaszcza gdy problem wymaga uwzględnienia dużych odkształceń lub punktów bifurkacyjnych. W niniejszym rozdziale przedstawiono konkretne przykłady obliczeniowe, które pokazują, jak przy odpowiednim doborze strategii rozwiązania, takich jak macierz sztywności, metoda odzyskiwania sił oraz wybrana metoda obliczeniowa, można skutecznie rozwiązać tego typu problemy.

Kolejnym problemem jest belka wspornikowa poddana ściskaniu osiowemu, jak pokazano na rysunku 3.9(a). Z uwagi na dużą rotację belki w pobliżu punktu bifurkacji, wprowadzono imperfekcję momentu na wolnym końcu wspornika, co pozwala na uniknięcie problemów numerycznych w tym krytycznym obszarze. Poza tym, czas obliczeń w porównaniu z podejściem Yang i Chiou (1987) wykazał podobną efektywność, choć zauważalne są różnice w liczbie kroków iteracyjnych.

Dobrze sprawdzającym się przykładem do testowania zdolności elementu do rozwiązywania problemów głównie typu ścinania, jest wspornik obciążony siłą ścinającą (rysunek 3.10(a)). Zastosowanie dwudziestu elementów do analizy tego problemu pozwoliło na uzyskanie wyników zgodnych z rozwiązaniem opracowanym przez Mattiassona w 1981 roku. Z kolei czasy obliczeń w tym przypadku również były porównywalne z metodą Yang i Chiou, a same wyniki wykazały wysoką dokładność w odniesieniu do wcześniejszych obliczeń.

W ramach analizy strukturalnych układów symetrycznych, takich jak ramy kwadratowe z podporami pinowymi i stałymi, wykonano obliczenia zarówno dla obciążeń ściskających, jak i rozciągających (rysunki 3.11, 3.12). Przykład ten ukazuje jak zaawansowana analiza numeryczna może dostarczyć wyników zgodnych z rozwiązaniami analitycznymi opracowanymi przez Mattiassona. Podobnie jak w poprzednich przypadkach, wyniki obliczeniowe i czas potrzebny na ich uzyskanie wykazują zbliżoną efektywność, w porównaniu z wcześniejszymi podejściami.

Na koniec, przykład analizy kwadratowej ramy sztywno zamocowanej, obciążonej siłami rozciągającymi i ściskającymi w punktach środkowych (rysunki 3.13, 3.14), ponownie potwierdza efektywność opisanych wcześniej metod. Pomimo różnic w liczbie iteracji przy poszczególnych krokach przyrostowych, uzyskane wyniki są w ścisłej zgodności z rozwiązaniami analitycznymi Mattiassona, a całkowity czas obliczeń jest zbliżony do metod bazujących na koncepcji naturalnej deformacji.

Obliczenia numeryczne przedstawione w tym rozdziale potwierdzają, że zaproponowane podejście, uwzględniające macierz sztywności i odpowiednie formuły dla odzyskiwania sił, jest niezawodne w rozwiązywaniu problemów nieliniowych związanych z punktami przejścia (snap-through) i bifurkacji, a także dużymi rotacjami. W przyszłych badaniach warto zwrócić uwagę na dalsze usprawnienia w metodach kontroli deformacji, takich jak zgeneralizowana metoda sterowania przemieszczeniami, która zostanie szczegółowo omówiona w rozdziale 7.

Jak wyznaczyć momenty i siły w belkach sztywnych na podstawie naprężeń Piola-Kirchhoffa?

Drugi moment naprężenia Piola-Kirchhoffa może być wyrażony w formie przyrostowej jako 2Si = 1τi + Si, gdzie subskrypt i oznacza odpowiednio xx, xy lub xz, 1τi to naprężenia Cauchy’ego istniejące w punkcie C1, a Si to zaktualizowane przyrosty naprężenia Kirchhoffa. Podstawiając równości (8.27) i (8.28) do równań (8.24)–(8.26), a także stosując definicje wynikowych naprężeń z równań (8.18) i (8.20), można wyprowadzić wyrażenia dla momentów w punkcie C2:

Wyrażenia te zostały wyprowadzone na podstawie założeń o płaskich przekrojach w równaniach (8.9)–(8.11) oraz definicji wynikowych naprężeń z równań (8.24)–(8.26). Moment 1Mx powinien być interpretowany jako moment semitangencjalny, co wskazują terminy 1Mxθz i 1Mxθy w równaniach (8.30) oraz (8.31), a momenty zginające 1Mz oraz 1My jako momenty quasitangencjalne, jak wskazują terminy −1Mzθx oraz 1Myθx w tych samych równaniach.

Te wyrażenia stanowią tylko część ogólnej analizy i są oparte na hipotezie o płaskich przekrojach. W praktyce, dla przekrojów o symetrii dwuskrętnej, torsyjny parametr α w równaniu (5.92) ma wartość 1/2, co prowadzi do wyrażenia:

Podstawowe wyrażenia w tych równaniach zostały wyprowadzone przy użyciu zasad mechaniki ciał sztywnych i teorii naprężeń, co jest istotnym elementem w analizie belkowej i momentów sił wewnętrznych.

Kolejnym krokiem w analizie elementów belkowych jest rozważenie składników energii przyrostowego pracy wirtualnej. W przypadku elementów sztywnych, energia odkształceń jest wyrażona za pomocą funkcji przemieszczeń, jak pokazano w równaniu (8.33). To wyrażenie uwzględnia wszystkie ważne elementy, takie jak momenty bezwładności i stałe geometryczne, które mają wpływ na wytrzymałość i elastyczność elementu belki. Zatem, po uwzględnieniu przyrostów naprężeń i sił, energia potencjalna wynikająca z początkowych naprężeń jest obliczana jako funkcja energii wykorzystywanej do deformacji, co jest kluczowe w kontekście analizy belkowej w ramach metod numerycznych.

Równanie na energię potencjalną przy początkowych naprężeniach w formie wariacyjnej:

może zostać rozwinięte na dalsze składniki, takie jak momenty sił i obroty, które muszą być uwzględnione w analizach strukturalnych. Przede wszystkim wrażliwość wyników na początkowe naprężenia oraz błędy numeryczne jest istotnym aspektem, który należy uwzględnić, aby poprawnie oszacować wpływ początkowych warunków na stateczność i obciążenie struktury.

Kolejnym istotnym elementem jest obliczenie sztywności geometrycznej, która jest kluczowa w dalszej analizie. Sztywność geometryczna dla elementów sztywnych może być wyznaczona na podstawie funkcji interpolacyjnych, które umożliwiają określenie charakterystyki deformacji wzdłuż belki. Funkcje interpolacyjne w metodach elementów skończonych są kluczowe, aby zapewnić dokładność obliczeń przy minimalnej liczbie punktów próbkowania.

Co ważne, dla obliczeń związanych z sztywnością geometryczną, należy uwzględnić testy sztywności ciał sztywnych, które gwarantują poprawność modelowania elementu, szczególnie w przypadku nieliniowych analiz numerycznych. Tylko odpowiednia kalibracja tej sztywności w kontekście obciążeń początkowych oraz deformacji strukturalnych pozwala na precyzyjne modelowanie w kontekście rzeczywistych warunków.

Jak asymetria macierzy sztywności wpływa na równowagę i analizę nieliniową w strukturach?

Macierze sztywności geometrycznej w elementach sztywnych i TPE (Rigid Triangular Plate Element) są kluczowe w analizie struktur nieliniowych, szczególnie w kontekście deformacji i obciążeń. Zarówno dla elementu sztywnego (r.b.), jak i dla TPE, macierze te wykazują asymetrię, która jest wynikiem obecności podmacierzy związanych z momentami węzłowymi, podlegającymi rotacjom w przestrzeni trójwymiarowej. Ta asymetria ma szczególne znaczenie na poziomie elementu, ale na poziomie całej struktury nie powoduje dodatkowych trudności w analizie nieliniowej.

Po wprowadzeniu macierzy transformacji z lokalnych współrzędnych do globalnych, można przeprowadzić transformację macierzy antysymetrycznych do układu globalnego. W rezultacie, sumując takie macierze dla wszystkich elementów TPE, które spotykają się w tym samym węźle, uzyskuje się zerowy wynik dla macierzy antysymetrycznych, co pozwala na pozostawienie jedynie symetrycznej części macierzy sztywności, odpowiedzialnej za momenty węzłowe.

W praktyce oznacza to, że po przeprowadzeniu transformacji i uwzględnieniu wszystkich elementów TPE w strukturze, macierz sztywności całej konstrukcji pozostaje symetryczna, mimo że poszczególne elementy mają charakter asymetryczny. Taka właściwość jest istotna w kontekście analizy nieliniowej, gdyż pozwala na uproszczenie obliczeń i wprowadzenie metody przyrostowo-iteracyjnej, opartej na analizie nieliniowej typu zaktualizowanego Lagrangianu. W tej metodzie, efekty sztywności geometrycznej są traktowane jako stałe, a pozostałe efekty związane z naturalnymi deformacjami mogą być uwzględniane przy użyciu liniowej teorii małych odkształceń.

Warto zauważyć, że pomimo złożoności obliczeniowej związanej z określeniem elastycznej macierzy sztywności dla TPE, w praktyce wykorzystywane są uproszczenia, polegające na przyjęciu najlepszych dostępnych macierzy elastyczności z literatury. Na przykład, dla elementu TPE, można zastosować hybrydowy element płaski, który symuluje działania membrany, oraz element HSM do symulacji działania zginania. Tego rodzaju podejście pozwala na skuteczne rozwiązywanie problemów związanych z odpowiedzią nieliniową i postbucklingową płyt oraz powłok.

Dodatkowo, w kontekście analizy nieliniowej ważne jest uwzględnienie procesu przyrostowo-iteracyjnego, który składa się z dwóch etapów. Pierwszy etap to tzw. etap predyktora, w którym na podstawie przyrostów obciążeń i znanej sztywności struktury, obliczane są przemieszczenia. W drugim etapie, zwanym etapem korektora, aktualizuje się rozwiązanie na podstawie zaktualizowanych przemieszczeń, co pozwala na osiągnięcie pełnej równowagi w strukturze pod wpływem zmieniających się obciążeń.

Jakie są kluczowe zasady sformułowania teorii nieliniowej w analizie ciał stałych?

W analizie nieliniowej istotne jest, aby zastosować odpowiednie podejście, które umożliwia ścisłe określenie zmienności struktury ciała w zależności od obciążeń. Sformułowanie Lagrange'a, przyjęte w niniejszej książce, jest najczęściej stosowane w kontekście analizy deformacji punktów ciała, szczególnie w przypadkach, gdzie zmiany kształtu są znaczące i wymagają dokładnego śledzenia. Podejście to jest bardziej odpowiednie w analizach krokowych, które skupiają się na deformacjach materiału w wyniku przyrostu obciążeń.

W kontekście tej teorii, niezbędne jest zrozumienie, jak klasyfikowane są różne konfiguracje ciała. Na ogół przyjmuje się trzy główne konfiguracje: początkową (C0), znaną konfigurację (C1) oraz aktualną konfigurację (C2). Kluczowym aspektem jest przyjęcie jednej z tych konfiguracji jako punktu odniesienia dla obliczeń. W zależności od tego, która konfiguracja zostanie wybrana, mówić będziemy o dwóch typach sformułowań Lagrange’a: UL i TL. Sformułowanie UL jest preferowane w przypadku analizy belek, ponieważ jest bardziej efektywne obliczeniowo.

W teorii nieliniowej najczęściej przyjmuje się, że obciążenia zewnętrzne są stosowane w sposób stopniowy, gdzie każde obciążenie jest dodawane w małych krokach (incremental steps). Zmiany w konfiguracji ciała są analizowane przez porównanie kolejnych stanów deformed (C1 i C2). Chociaż deformations w ramach jednej konfiguracji (C1 do C2) są małe, nagromadzone zmiany mogą być dowolnie duże, co oznacza, że analiza musi uwzględniać te stopniowe zmiany w sposób ciągły.

W przypadku analizy nieliniowej stosowane są specjalistyczne notacje, które pozwalają na precyzyjne opisanie przekształceń geometrii ciała. W tym celu wykorzystuje się takie symbole jak $\tau_{ij}$, $t_{ij}$, oraz inne symbole odnoszące się do tensora naprężeń, przemieszczeń oraz wielkości związanych z deformacjami ciała. Ważne jest, aby każda wielkość, która zmienia się pomiędzy konfiguracjami, była dokładnie oznaczona odpowiednimi indeksami.

Zrozumienie podstawowych zasad analizy nieliniowej pozwala na bardziej precyzyjne modelowanie deformacji ciał stałych, zwłaszcza w kontekście inżynierii strukturalnej. Kluczowe jest także uwzględnienie odpowiednich tensorów odkształceń i naprężeń w obliczeniach, takich jak tensor odkształceń Green-Lagrange’a, który opisuje zmiany w konfiguracji ciała w sposób bardziej ogólny niż tradycyjne podejścia przy użyciu małych odkształceń.

Podsumowując, w analizie nieliniowej niezwykle ważne jest zrozumienie, jak deformacje i obciążenia wpływają na stan ciała w różnych konfiguracjach. Metodologia oparta na Lagrange'owskim sformułowaniu daje możliwość precyzyjnej analizy tych zmian, szczególnie w przypadkach, gdzie odkształcenia są znaczące i nie mogą być pomijane. Przyjęcie odpowiednich notacji i schematów obliczeniowych, takich jak przyrostowe podejście do zmian konfiguracji, jest kluczem do skutecznej analizy i obliczeń inżynierskich.

Ważne jest także, by pamiętać o granicach przyjętych założeń w analizach nieliniowych. Chociaż teorię tę stosuje się głównie do przypadków, gdzie odkształcenia są duże, każda analiza wymaga odpowiedniego doboru narzędzi matematycznych i fizycznych, aby zapewnić precyzyjność wyników. Z tego powodu, zastosowanie odpowiednich funkcji matematycznych i właściwych metod numerycznych jest kluczowe, by uzyskać wiarygodne wyniki w rzeczywistych problemach inżynierskich.