Jak procesy Poissona wpływają na stochastyczne układy dynamiczne?

Proces liczenia $N(t)$ można wyrazić jako całkę:

W wyniku niezależności przyrostów miary losowej Poissona (Hanson, 2007), $P(dti, dYk)$ oraz $P(dtj, dYl)$ są niezależne dla niepokrywających się przedziałów czasu i przestrzeni, tj. dla przedziałów $(ti, ti + \Delta t_i)$, $[Yk, Yk + \Delta Y_k]$ oraz $(tj, tj + \Delta t_j)$, $[Yl, Yl + \Delta Y_l]$.

Średnia i kowariancja miary losowej Poissona wynoszą odpowiednio:

Procesy stochastyczne, w tym szum Poissona, mają istotny wpływ na systemy dynamiczne. Aby dokładnie zbadać takie układy, konieczne jest opracowanie odpowiednich reguł różniczkowych. Od lat 90-tych XX wieku zaproponowano dwie różne reguły różniczkowe dla układów pobudzanych przez biały szum Poissona. Pierwszą z nich zaproponowali Di Paola i Falsone (1993), dotyczącą nienaorządowanych procesów stochastycznych typu $\delta$-skorelowanych, w tym białego szumu Poissona, z uwzględnieniem poprawek Wong-Zakai. Z kolei Hu (1993, 1994, 1995) i Grigoriu (1998) zaproponowali inną regułę, traktującą ekscytacje parametryczne i zewnętrzne w ten sam sposób, bez uwzględniania poprawek Wong-Zakai.

W tym podręczniku zastosowana zostanie reguła różniczkowa Di Paoli i Falsone. Wyniki w rozdziale 6 udowodnią prawidłowość tej reguły.

Przypuśćmy, że układ jest pod wpływem zarówno białych szumów Gaussa, jak i białych szumów Poissona, co opisuje równanie:

gdzie $X = [X_1, X_2, \dots, X_n]^T$ to wektor stochastycznych odpowiedzi, $f = [f_1, f_2, \dots, f_n]^T$, $g = [g_{ij}]_{n \times ng}$ to macierz $n \times ng$, $h = [h_{ij}]_{n \times np}$ to macierz $n \times np$, $W_g(t) = [W_{g1}, W_{g2}, \dots, W_{gng}]^T$ to wektor $ng$-wymiarowy białych szumów Gaussa, a $W_p(t) = [W_{p1}, W_{p2}, \dots, W_{pnp}]^T$ to wektor $np$-wymiarowy białych szumów Poissona, gdzie wszystkie składowe są niezależne. Równanie to można przekształcić w następujące równanie różniczkowe Stratonowicza:

gdzie $\sigma_{ik} = [gL]_{ik}$ z $LL^T = 2D$, notacja "d\circ" wskazuje na różniczkowanie zgodnie z regułą Stratonowicza, a $C(t)$ to wektor $np$-wymiarowy skumulowanych procesów Poissona, odpowiadających za $W_p(t)$.

Po dodaniu poprawek Wong-Zakai dla białych szumów Gaussa i Poissona, równanie w postaci Stratonowicza można zapisać jako równanie różniczkowe Itô:

gdzie $H_{il}^{(j)}$ to poprawki wynikające z wielokrotnych skoków w procesach Poissona.

Układ ten może być zapisany jako równanie różniczkowe różniczkowo-całkowe w postaci:

gdzie $\gamma(X, Y_l, t)$ to odpowiednia funkcja opisująca oddziaływanie procesów Poissona w układzie, a $P_l(dt, dY_l)$ to miara losowa Poissona, spełniająca równania (2.157) i (2.160).

Równania te przedstawiają stochastyczne równania różniczkowo-całkowe w sensie Itô, które odpowiadają za układy dynamiczne pod wpływem białych szumów Gaussa i Poissona.

Jak przekształcić równania Lagrange'a do równań Hamiltona?

Przekształcenie równań Lagrange'a do równań Hamiltona odbywa się za pomocą momentów uogólnionych, które definiuje się w następujący sposób:

Na podstawie twierdzenia o odwrotnej transformacji Legendre'a, funkcja generująca odwrotnej transformacji Legendre'a dla transformacji $(3.9)$ jest:

gdzie $p = [p_1, p_2, \dots, p_n]$.

Odwrotna transformacja Legendre'a dla równań $(3.9)$ daje następujące wyrażenie:

Generujące funkcje transformacji Legendre'a i jej odwrotności są związane relacją:

Z tych równań można wyprowadzić następujące równania Hamiltona:

Równania te są równoważne równaniom $(3.7)$. Współrzędne $q_i, p_i$ nazywane są współrzędnymi kanonicznymi, a przestrzeń stanów utworzona przez te współrzędne to kanoniczna przestrzeń fazowa. Funkcja $H(q, p, t)$ to funkcja Hamiltona, a układ dynamiczny opisany przez równania Hamiltona nazywany jest układem Hamiltona.

Dla układu o wymiarze $2n$, można zapisać równanie Hamiltona w postaci wektora gradientowego:

gdzie $z = [q^T, p^T]^T$ to wektor kanoniczny, a $J$ jest macierzą symplektyczną, spełniającą:

Macierz symplektyczna $J$ zachowuje pewną specyficzną strukturę, która gwarantuje, że układy Hamiltona mają odpowiednią symetrię i zachowują pewne właściwości geometryczne przestrzeni fazowej.

Przykładem układu Hamiltona jest układ wachadła połączonego z drgającą masą. Rozpoczynając od energii kinetycznej i potencjalnej tego układu, można wyprowadzić funkcję Lagrange'a i potem momenty uogólnione, a także obliczyć równania Hamiltona.

Pomimo skomplikowanego wyglądu równań, możemy zauważyć, że układy Hamiltona wykazują szczególną własność, związaną z zachowaniem energii, ponieważ dla układu autonomicznego, całkowita energia pozostaje stała, co stanowi podstawową cechę układów konserwatywnych.

Równania Hamiltona mogą być również zapisane za pomocą operatorów Poissona, które pozwalają na obliczenie zmiany dowolnej wielkości dynamicznej $F(q, p, t)$ w czasie:

Jeśli funkcja $F$ nie zależy od czasu, to mamy prostą relację:

Z operatora Poissona wynika także, że jeśli dla jakiejkolwiek wielkości $F$ zachodzi:

to $F$ jest stałą ruchu, czyli wielkością, która nie zmienia się w czasie.

W układach Hamiltona rozróżniamy również pojęcie przepływu fazowego, który opisuje sposób, w jaki układ ewoluuje w przestrzeni fazowej. Dla układów autonomicznych przepływ fazowy jest nieściśliwy, co oznacza, że objętość przestrzeni fazowej pozostaje stała w czasie, co jest określane jako twierdzenie Liouvilla.

Jak wpływają pasma częstotliwości na czas przejścia w układzie z potencjałem podwójnej studni?

Zjawisko przejścia układów dynamicznych z jednego stanu do drugiego w wyniku działania ekscytacji losowych jest szeroko badane w teorii układów stochastycznych. Często stosowaną metodą analizy jest metoda uśredniania stochastycznego, która pozwala na opisanie zachowania systemu przy dużej liczbie przypadkowych wstrząsów o małej amplitudzie. Zgodnie z badaniami przeprowadzonymi przez Zhu i współpracowników (2013), w przypadku układów z potencjałem podwójnej studni, czas przejścia między dwoma stanami jest silnie zależny od pasma częstotliwości ekscytacji.

W sytuacji, gdy system jest ekscytowany przez losowe wstrząsy, a jego energia początkowa jest mniejsza niż wartość krytyczna, przejście do innej studni potencjału staje się zdarzeniem losowym, którego czas zależy od charakterystyki ekscytacji. Przeanalizowane wykresy (rys. 4.25 i 4.26) pokazują, że różne pasma częstotliwości, określane przez parametry α1 i α2, mają istotny wpływ na odpowiedź układu. Zauważono, że dla przypadku, gdzie α1 = α2 = 3, krzywa znajduje się między tymi dla α1 = α2 = 1 i α1 = α2 = 2, co wskazuje na nieliniowy wpływ pasma częstotliwości na czas przejścia. Warto zwrócić uwagę, że wpływ ten nie zawsze jest jednostronny, co oznacza, że zmiana pasma częstotliwości nie prowadzi do prostego wydłużenia lub skrócenia czasu przejścia.

Ważnym zagadnieniem, które należy wziąć pod uwagę, jest wpływ właściwości samego układu na ten efekt. Szczególnie istotna jest naturalna częstotliwość drgań układu, która w znaczący sposób determinuje reakcję układu na różne pasma częstotliwości ekscytacji. W przypadku układów o wąskim zakresie częstotliwości naturalnych, zmiany pasma mogą prowadzić do znacznych zmian w czasie przejścia, podczas gdy w systemach o szerszym zakresie zmiany te mogą być mniej wyraźne.

W kontekście układów nieliniowych, szczególne znaczenie ma rozróżnienie między przypadkami rezonansu a nierezonansu. Gdy częstotliwość ekscytacji harmonijnej zbliża się do częstotliwości naturalnej układu, efekt ekscytacji harmonijnej staje się dominujący i nie może zostać pominięty. W takich przypadkach trzeba stosować bardziej zaawansowane metody analizy, które uwzględniają zarówno ekscytacje losowe, jak i harmonijne, traktując je jako oddzielne przypadki zależnie od tego, czy częstotliwości są w rezonansie, czy nie. W układach, gdzie częstotliwość ekscytacji jest bliska naturalnej częstotliwości układu, obecność rezonansu wpływa znacząco na odpowiedź układu, prowadząc do zmiany charakterystyki przejść między stanami.

Równania opisujące dynamikę układów pod wpływem połączenia losowych i harmonijnych ekscytacji stają się bardziej złożone i wymagają zastosowania transformacji, które umożliwiają wyodrębnienie dwóch zmiennych opisujących amplitudę i fazę układu. Stosując takie podejście, można uzyskać uśrednione równania różniczkowe, które pozwalają na precyzyjniejszą analizę takich układów, szczególnie w przypadku, gdy układ jest poddany zarówno ekscytacjom losowym, jak i harmonijnym w stanie bliskim rezonansowi.

Należy zwrócić szczególną uwagę na różne rodzaje ekscytacji, które mogą wpływać na czas przejścia między stanami układu. Oprócz klasycznych analiz za pomocą metody uśredniania, warto również rozważyć bardziej zaawansowane techniki, które uwzględniają szczególne cechy układów nieliniowych. W przypadku rezonansu i nierezonansu, odpowiednia klasyfikacja i analiza wpływu ekscytacji mogą prowadzić do uzyskania bardziej precyzyjnych wyników, co jest niezbędne do lepszego zrozumienia i modelowania zjawisk przejściowych w takich układach.

Jakie są zalety i zastosowania metod średnich stochastycznych dla układów quasi-Hamiltonowskich z hałasem Gaussa?

Metody średnich stochastycznych stanowią potężne narzędzie w analizie układów dynamicznych, szczególnie w kontekście układów Hamiltonowskich. Zastosowanie tych metod w przypadku układów quasi-Hamiltonowskich, poddanych ekscytacji za pomocą szumu Gaussa o wymiarze Hurst'a, pozwala na uzyskanie przybliżonych, ale bardzo efektywnych rozwiązań dla systemów silnie nieliniowych. W kontekście układów z wieloma stopniami swobody (MDOF), które podlegają tego rodzaju ekscytacji, badanie ich odpowiedzi jest niezwykle istotne dla zrozumienia dynamiki takich systemów w różnych warunkach.

Metoda średnich stochastycznych jest wykorzystywana do uproszczenia analizy nieliniowych układów dynamicznych przez "uśrednianie" wpływu losowych fluktuacji, co znacznie upraszcza obliczenia i umożliwia uzyskanie wyników o dużej dokładności w krótkim czasie. W przypadku układów quasi-Hamiltonowskich, które mogą wykazywać cechy układów częściowo integrowalnych, podejście to staje się kluczowe, umożliwiając jednocześnie uchwycenie tych zjawisk, które nie są łatwe do modelowania przy użyciu tradycyjnych metod analitycznych.

W wyniku analizy symulacji układów z szumem Gaussa, zauważono, że odpowiedzi systemu są ściśle związane z parametrami ekscytacji, takimi jak intensywność szumu, oraz z charakterystykami samego systemu, jak np. jego stopień nieliniowości. Możliwość precyzyjnego modelowania tych zależności przy użyciu metod średnich stochastycznych jest szczególnie cenna w inżynierii, gdzie takie układy pojawiają się w wielu zastosowaniach, od systemów energetycznych po systemy mechaniczne, które muszą radzić sobie z losowymi zakłóceniami w czasie rzeczywistym.

Co więcej, oprócz bezpośredniego zastosowania metody średnich stochastycznych do analizy odpowiedzi systemów, istotnym aspektem jest także możliwość zastosowania tych technik do prognozowania długoterminowego zachowania systemów w warunkach chaotycznych, gdzie standardowe metody analityczne stają się niewystarczające. Wprowadzenie równań stochastycznych, takich jak równanie (7.91), umożliwia uchwycenie subtelnych efektów chaotycznych, które mają kluczowe znaczenie dla stabilności systemów w długim okresie.

Z perspektywy czytelnika ważne jest, by dostrzec, że metody średnich stochastycznych nie stanowią jedynego narzędzia analitycznego dostępnego w kontekście tego typu układów. Są one jednak wyjątkowe w tym, że pozwalają na uproszczenie skomplikowanych układów, eliminując konieczność pełnego rozwiązywania nieliniowych równań różniczkowych. Dzięki temu stanowią idealne narzędzie w analizach, które wymagają zarówno szybkości obliczeń, jak i wysokiej dokładności wyników.

Jednakże przy stosowaniu tego podejścia warto mieć na uwadze, że metoda średnich stochastycznych jest przybliżeniem, które w pewnych warunkach może prowadzić do utraty niektórych detali układu, zwłaszcza jeśli system jest bardzo czuły na zmiany parametrów wejściowych. Ważnym aspektem jest więc odpowiednia kalibracja modelu oraz wybór odpowiednich parametrów dla szumu Gaussa, tak aby zachować równowagę między dokładnością a szybkością obliczeń.