Jak Geometria Sztywności Wpływa na Ruch Ciał Sztywnych w Metodach Elementów Skończonych?

Macierz sztywności geometrycznej $[kg]$ jest funkcją początkowego wektora sił ${1f}$ , które działają na element w punkcie $C_1$ . Dla elementu belki, który znajduje się w równowadze w punkcie $C_1$ , można zapisać następujące zależności:

1Fxa = -1Fxb \quad (3.42a)

1Fyb = -1Fya = - Mza + 1Mzb \quad (3.42b)

W wyniku tych równań, początkowe siły węzłowe ${1f}$ mogą zostać zapisane jako:

{1f}^T = \left( - \frac{2Mza}{L} + \frac{Mzb}{L} \right)

gdzie przedstawiono to wizualnie na rysunku 3.6(a). Z teorii wiadomo, że wektor przemieszczeń ${u}$ powinien reprezentować wszelkie rodzaje przemieszczeń elementu, jakie występują w trakcie przyrostowego kroku od $C_1$ do $C_2$ , w tym przemieszczenia sztywne. Dla celów obliczeniowych przyjmujemy, że element podlega obrotowi sztywnemu $\theta_r$ , zakładając, że ma on małą wielkość dla uproszczenia operacji. Zatem wektor przemieszczeń ${u}_r$ można zapisać jako:

{u}_r^T = \left( 0, 0, \theta_r, 0, L\theta_r, \theta_r \right)

Aby przeprowadzić test ruchu ciała sztywnego, należy sprawdzić, czy wszystkie składniki w przyrostowym równaniu elementu (3.30) mogą współdziałać w celu reprezentowania ruchu ciała sztywnego. Po pierwsze, w przypadku sił konserwatywnych, wektor sił ${1f}$ po sztywnym obrocie jest taki, jak pokazano na rysunku 3.6(b). Z łatwością można wykazać, że macierz sztywności sprężystej $[ke]$ generuje zerowe siły po obrocie sztywnym, tzn.:

[ke] \cdot {u}_r = {0}

Wynik ten jest oczekiwany, ponieważ wiadomo, że macierz sztywności sprężystej $[ke]$ , jak podano w równaniu (3.31), jest dokładna dla elementu belki na podstawie hipotezy Bernoullego-Eulera. Następnie stwierdzamy, że macierz sztywności geometrycznej $[kg]$ generuje siły po sztywnym obrocie:

[kg] \cdot {u}_r = \left( - Mza + Mzb \right)

Rysunek 3.6(c) przedstawia te siły. Jak widać, siły generowane przez macierz sztywności geometrycznej $[kg]$ w wyniku obrotu sztywnego nie są zerowe ani w równowadze. Kolejnym krokiem w teście jest podstawienie wszystkich obliczonych składników do przyrostowego równania sztywności, aby sprawdzić, czy wynikające siły ${2f}$ przewidywane przez równanie dla elementu skończonego w $C_2$ po sztywnym obrocie $\theta_r$ mogą faktycznie spełniać zasadę ruchu ciała sztywnego. W tym celu obliczamy siły ${2f}$ zgodnie z równaniem (3.30), podstawiając do niego równania (3.43)–(3.46):

{2f}^T = \left( - Mza + Mzb \right)

Siły ${2f}$ można również uzyskać jako sumę sił przedstawionych na rysunkach 3.6(b) i 3.6(c). Z rysunku 3.6(d) widać, że początkowe siły ${1f}$ , działające na element skończony, zostały obrócone o kąt $\theta_r$ , a ich wartości pozostają niezmienione. Potwierdza to zdolność wyprowadzonego elementu skończonego, a zwłaszcza macierzy sztywności geometrycznej $[kg]$ , do obsługi ruchu ciała sztywnego.

Warto zauważyć, że powyższy test został przeprowadzony dla przypadku obrotu sztywnego, ale nie dla przypadku przesunięcia sztywnego, ponieważ ten drugi jest trywialny. Teoretycznie test powinien być przeprowadzony dla wszystkich możliwych rodzajów ruchów sztywnych elementu skończonego. Kolejną obserwacją z testu ruchu ciała sztywnego jest to, że siły elementu ${2f}$ , działające na element belki po obrocie sztywnym, w odniesieniu do osi $C_1$ , można powiązać z początkowymi siłami ${1f}$ następującą zależnością:

{21f} = [T] \cdot {11f}

gdzie indeks "1" został dodany, aby oznaczyć, że oba wektory sił są odniesione do osi $C_1$ . Macierz $[T]$ odpowiadająca za transformację z osi $C_2$ na $C_1$ ma postać:

[T] = [R]

Dla małych obrotów sztywnych $\theta_r$ , macierz obrotu $[R]$ jest dana wzorem:

[R] = \begin{bmatrix} \cos \theta_r & -\sin \theta_r & 0 \\ \sin \theta_r & \cos \theta_r & 0 \\ 0 & 0 & 1

Zawartość tej strony internetowej jest chroniona obowiązującymi przepisami prawa autorskiego, w tym między innymi ustawą o prawie autorskim oraz odpowiednimi przepisami Unii Europejskiej. Wszelkie wykorzystanie treści, w tym powielanie, rozpowszechnianie, publiczne udostępnianie, modyfikacja lub inne przetwarzanie, jest zabronione bez uprzedniej pisemnej zgody właściciela praw, chyba że prawo wyraźnie na to pozwala. Użytkownicy mogą korzystać z treści wyłącznie do celów osobistych, w zakresie określonym przepisami prawa autorskiego. Każde inne wykorzystanie, w tym komercyjne, wymaga uprzedniej pisemnej zgody właściciela praw. Znaki towarowe, nazwy handlowe, logotypy i inne oznaczenia widoczne na tej stronie mogą być zarejestrowanymi znakami towarowymi ich odpowiednich właścicieli. Wszelkie użycie bez zgody odpowiedniego właściciela praw jest zabronione. Operator strony internetowej nie gwarantuje dokładności, kompletności ani aktualności podanych informacji i nie ponosi odpowiedzialności za jakiekolwiek szkody lub straty wynikające z ich użycia, chyba że przepisy prawa nakazują inaczej.

Powielanie materiałów jest dozwolone tylko wtedy, gdy zawarty jest link do pandia.org.

Dla optymalnego komfortu przeglądania zaleca się korzystanie ze strony na ekranach o minimalnej szerokości 1200 pikseli.

Jak Geometria Sztywności Wpływa na Ruch Ciał Sztywnych w Metodach Elementów Skończonych?

Jak zastosowanie reguły ciała sztywnego wpływa na analizę nieliniową w ramach konstrukcji?

Jak obliczać siły w elementach kratowych w analizie nieliniowej?

Jak zaktualizować geometrię elementu przestrzennego w analizie z wykorzystaniem dużych obrotów?