Jak transformować równania pracy wirtualnej w analizie nieliniowej strukturalnej?

Równanie pracy wirtualnej stanowi fundament dla formułowania równań sztywności przy analizie nieliniowej struktur. W kontekście przyjętej konfiguracji początkowej C2 oraz konfiguracji referencyjnej C1, można wykorzystać następujące przekształcenia równań, które są niezbędne do dalszej analizy. Relacje wyrażone w równaniach (1.113), (1.121) oraz (1.122) pozwalają na przekształcenie układu równań z konfiguracji C2 do C1. Takie przekształcenia prowadzą do ogólnego wyrażenia dla równania pracy wirtualnej, które przyjmuje postać:

To równanie, stosując odpowiednią terminologię, może być zaprezentowane w następujący sposób:

Zatem przy pomocy równań takich jak (1.123), możemy uzyskać wyrażenie pracy zewnętrznej, które jest niezbędne w kontekście analizy strukturalnej w zależności od zmieniających się konfiguracji. Równanie (1.123) przyjmuje postać:

Zatem zmiany energii odkształceń i energii potencjalnej, które są odpowiedzialne za równowagę ciała, wyrażają się za pomocą tej formuły. Ponadto, analizując różnicę między pracą wykonaną przez zewnętrzne siły na konfiguracji C2 i C1, można uzyskać istotne wnioski na temat zmiany energii struktury podczas przejścia między tymi konfiguracjami.

Równanie to jest stosunkowo ogólne i może być używane w wielu zastosowaniach, w tym w badaniu analiz nieliniowych przy wykorzystaniu klasycznej formuły UL (Unilateral). W zależności od przyjętej metody, zmienia się także sposób, w jaki składniki naprężenia i odkształcenia są interpretowane w analizie nieliniowej. Przyjmując odpowiednie przekształcenia i przy korzystaniu z układów konwencjonalnych, takich jak sztywności materiału wyrażonego w macierzy 1Cijkl, możliwe jest uzyskanie wyważonego rozwiązania. Jest to istotne w kontekście wstępnej analizy nieliniowych struktur szkieletowych.

Znaczącą rolę w analizie nieliniowej odgrywa zależność między naprężeniami a odkształceniami. Dla wielu materiałów, szczególnie w analizach elastycznych, przyjmuje się relację, w której naprężenia można wyrazić jako funkcję odkształceń. W przypadku bardziej złożonych materiałów, takich jak niektóre trójelementowe belki czy elementy po bucklingu, stosowanie przyjętych wniosków na temat naprężeń może prowadzić do błędnych wyników. Dlatego konieczne jest uwzględnienie specyfiki materiałów w takich przypadkach, np. przez modyfikację układów równań, aby uzyskać poprawne wyniki.

Dla zaawansowanych problemów, takich jak analiza postbucklingu, kluczowe jest uwzględnienie zależności między naprężeniami ścinającymi a odkształceniami. Szczególnie w kontekście hipotezy Bernoulliego-Eulera dla belki, należy pamiętać, że naprężenia ścinające nie są wprost związane z odkształceniami. W takich przypadkach konieczne jest stosowanie reguły sztywności ciała sztywnego, co pozwala na rozwiązanie problemów, które w innych warunkach mogłyby sprawiać trudności.

Równania nieliniowe w analizie struktur szkieletowych wymagają zaawansowanego podejścia do analizy, szczególnie jeśli chodzi o duże odkształcenia. W takich przypadkach, zamiast korzystać z uproszczonych formuł, należy zwrócić szczególną uwagę na dokładność uwzględnianych danych, szczególnie w przypadku materiałów poddanych dużym deformacjom. Ważne jest również, aby pamiętać, że przyjęte równania są nieliniowe, co wymaga stosowania przybliżeń w celu uzyskania rozwiązań. W tym celu przyjmuje się szereg założeń dotyczących macierzy sztywności, co pozwala na uzyskanie liniowych równań, które mogą zostać rozwiązywane w sposób iteracyjny.

Stąd też, dla prawidłowej analizy nieliniowej struktur, istotnym aspektem jest właściwa interpretacja równań sztywności, tak aby uwzględnić zarówno składniki liniowe, jak i nieliniowe. Proces przekształcania tych równań z konfiguracji C2 do C1 pozwala na uzyskanie dokładniejszych wyników, które mają fundamentalne znaczenie w analizach związanych z dużymi odkształceniami, takich jak te występujące w trussach, belkach i innych elementach strukturalnych.

Jak rozwiązywać problemy odkształceń w ramach przy użyciu elementów belkowych i metod numerycznych?

W rozwiązywaniu problemów odkształceń, takich jak ten przedstawiony w analizie, niezwykle istotne jest stosowanie odpowiedniej liczby elementów belkowych. Większa liczba elementów pozwala na zminimalizowanie błędów, które mogą wynikać z niedokładności w modelowaniu geometrii. Pomimo zastosowania jedynie 26 elementów w omawianym przypadku, uzyskane wyniki są bardzo bliskie tym, które osiągnął Harrison (1978), używając dokładniejszej siatki 50 elementów. Warto podkreślić, że samoadaptacyjne właściwości metody GDC (Global-Deflection-Curve) w rozwiązywaniu problemów złożonych, jak reakcje postbuckling, zostały tutaj wyraźnie udowodnione.

Przykład ten pokazuje, że nawet przy stosunkowo małej liczbie elementów można uzyskać wyniki, które są bliskie teoretycznym wartościom, co daje podstawy do efektywnego modelowania złożonych układów. Zastosowanie samoadaptacyjnych metod obliczeniowych, jak ta w przypadku metody GDC, umożliwia uzyskanie bardziej precyzyjnych wyników bez potrzeby nadmiernego zwiększania liczby elementów, co znacząco poprawia efektywność obliczeniową.

W rozważaniach nad ramą kątową poddawaną jednorodnemu zginaniu, której model przedstawiono na rysunku 7.18, trzy wymiary tej ramy zostaną w pełni ujawnione w zakresie postbuckling, ponieważ nie jest ona ograniczona do odkształceń w płaszczyźnie. W ramach tego układu, którego cechy geometryczne zostały starannie określone, zastosowano podejście numeryczne oparte na 10 elementach, przy czym tylko lewa połowa ramy była analizowana, zgodnie z symetrią układu. Ramę poddano analizie w dwóch przypadkach obciążeń, z których pierwsze dotyczyło momentu aplikowanego MzA = −250 N-mm, a drugie momentu MzA = 150 N-mm.

Wszystkie te wyniki wskazują, że zastosowana metoda jest skutecznym narzędziem do analizy zachowań postbuckling w trójwymiarowych ramach, gdzie zachodzi istotne zjawisko rotacji poza płaszczyzną ramy. Zjawisko to jest szczególnie istotne w przypadku bardziej złożonych układów, jak np. łuk okrągły poddany jednorodnemu zginaniu.

Ostatni problem, który należy rozważyć, dotyczy zjawiska odkształcenia w łuku okrągłym pod wpływem jednorodnego zginania. Problem ten dotyczy części półokrągłego łuku zawieszonego w podporze, którego jedno z ramion jest obciążone momentem zginającym. Aby sprowokować odkształcenie poza płaszczyzną łuku, wprowadzono niewielką imperfekcję w postaci momentu skręcającego na końcu B, który wynosi 1/500 wartości momentu zginającego. Analiza tego układu również daje wyniki zbliżone do wartości teoretycznych, potwierdzając efektywność modelowania łuku za pomocą elementów prostych belek.

Obliczenia obciążenia wykazały, że krytyczne momenty zginające dla tego układu wynoszą 970,1 N-mm w przypadku momentu pozytywnego oraz −943,0 N-mm dla momentu negatywnego. Zauważalna jest zgodność tych wartości z wartościami uzyskanymi przy użyciu innych metod analitycznych, co potwierdza, że modelowanie belek prostych, mimo że nie uwzględnia krzywizny łuku, może skutecznie przewidywać zachowanie układu w zakresie postbuckling, jeśli uwzględni się odpowiednie właściwości stawów łączących elementy.

Jak opisać deformacje elementów belkowych w analizie nieliniowej przy użyciu układów współrzędnych?

W przypadku analizy nieliniowej elementów belkowych, jednym z głównych wyzwań jest sposób opisu deformacji, które mogą występować w czasie zmian konfiguracji. W standardowym podejściu do analizy, zakłada się, że belka, w swojej początkowej konfiguracji, jest prostą linią. Jednakże, kiedy zaczynamy brać pod uwagę deformations w analizie nieliniowej, musimy uwzględnić, że belka może ulegać zakrzywieniu już w początkowej konfiguracji (C1). Bez odpowiednich metod matematycznych, przejście od analizy prostych belek do analizy belek krzywych w konfiguracji C1 stałoby się niezwykle skomplikowane i trudne do przeprowadzenia w kontekście inżynierskim. W związku z tym, metoda, która opiera się na założeniu, że deformacje w każdym kolejnym kroku przyrostu są małe, staje się kluczowa.

W takich przypadkach zastosowanie układów współrzędnych, które są związane z pierwotnym kształtem belki, może być niezwykle pomocne. Istnieje koncepcja tzw. współrzędnych przenoszonych, której celem jest opisanie deformacji w sposób bardziej efektywny w kontekście małych przesunięć i rotacji w każdym z kroków przyrostowych. Jest to podejście, które nie wymaga od razu przejścia na teorię belek krzywych, lecz pozwala traktować belkę jako prostą linię w każdym z kroków, przy czym za pomocą odpowiednich układów współrzędnych możemy śledzić zmiany zachodzące w czasie.

Przykład elementu belkowego o długości L, jak przedstawiono na rysunkach, pozwala wyobrazić sobie sposób, w jaki można rozwiązywać problem przyrostowych deformacji. W tym przypadku, element belki ma 12 stopni swobody: trzy przesunięcia i trzy rotacje w obu węzłach, co pozwala na pełną kontrolę nad ruchem elementu w przestrzeni. Przesunięcia te, jak i momenty działające na element, są ściśle związane z siłami wewnętrznymi, które powstają w wyniku deformacji w każdym kroku obliczeniowym.

Siły wewnętrzne, takie jak siła osiowa, siły tnące oraz momenty zginające, są ściśle związane z naprężeniami, które występują w obrębie przekroju poprzecznego belki. Stąd, kluczowym elementem analizy jest określenie naprężeń w różnych punktach przekroju i ich powiązanie z siłami i momentami. W tym celu używa się równań, które pozwalają na obliczenie naprężeń na podstawie wyjściowych obliczeń sił i momentów działających na belkę.

W odniesieniu do metod numerycznych, takich jak metoda elementów skończonych, każde przesunięcie, każda rotacja oraz każda siła muszą być odpowiednio przypisane do odpowiednich węzłów elementów. W ten sposób można uzyskać dokładny opis zmian w zachowaniu belki w procesie deformacji.

Ponadto, podczas przeprowadzania analizy nieliniowej, niezwykle ważne jest, aby uwzględnić wpływ momentów, które mogą występować, nawet jeśli zostały one wywołane przez siły konserwatywne. Moment obrotowy generowany przez pary sił konserwatywnych może prowadzić do powstania dodatkowych momentów, zwłaszcza w przestrzeni 3D, co wymaga zastosowania zaawansowanych metod obliczeniowych w celu ich właściwego uwzględnienia.